- •4.3.1. Диамагнетики
- •4.3.2. Парамагнетики
- •4.4. Ферромагнетики. Природа ферромагнетизма
- •Намагничивание ферромагнетика. Этапы намагничивания
- •4.6. Явление гистерезиса
- •4.7. Граничные условия для векторов в и н
- •5. Электромагнитная индукция
- •5.1. Явление электромагнитной индукции
- •5.2. Природа электромагнитной индукции
- •5.3. Явление самоиндукции
- •5.4. Взаимная индукция
- •5.5. Ток смещения
- •5.6. Уравнение Максвелла для циркуляции вектора н
- •5.7. Уравнение Максвелла для циркуляции вектора е
- •5.8. Энергия магнитного поля
- •6. Гармонические Колебания
- •Гармонические колебания. Параметры гармонических колебаний
- •6.2. Формы представления гармонических колебаний
- •6.3. Сложение гармонических колебаний
- •6.3.1. Сложение одинаково направленных гармонических колебаний с равными частотами
- •6.3.2. Сложение одинаково направленных колебаний с разными частотами. Биения
- •6.3.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •Гармонический осциллятор
- •6.4.1. Пружинный маятник
- •6.4.2. Математический маятник
- •6.4.3. Колебательный контур
- •6.5. Энергия гармонического осциллятора
- •7. Затухающие колебания
- •7.1. Затухающие колебания пружинного маятника
- •7.2. Затухающие колебания в колебательном контуре
- •7.3. Характеристики затухающих колебаний
- •7.4. Критическое затухание
5.6. Уравнение Максвелла для циркуляции вектора н
Как показано в разд. 3.11, циркуляция вектора магнитной индукции равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охваченных контуром,
.
По определению напряжённости магнитного поля
B = oH
(выражение записано для магнитного поля в вакууме).
Заменив вектор магнитной индукции на вектор напря-жённости получим выражение для циркуляции вектора Н:
.
Сократив о и учитывая не только токи проводимости, но и ток смещения, получаем
.
Сила тока равна потоку вектора плотности тока (см. разд. 1.19):
.
С учётом последнего и принимая во внимание то, что плотность тока смещения равна производной от вектора электрического смещения по времени, получаем окончательное выражение для циркуляции вектора напряжённости магнитного поля
.
Читается это уравнение так: циркуляция вектора Н по любому замкнутому контуру равна полному току через поверхность, ограниченную этим контуром.
Уравнение показывает, что магнитное поле порождается как токами проводимости, так и изменяющимся электрическим полем.
5.7. Уравнение Максвелла для циркуляции вектора е
Как было показано в разд. 5.2, эдс электромагнитной индукции равна циркуляции вектора Е по контуру, пронизы-ваемому магнитным полем, .
В свою очередь, в соответствии с законом Фарадея, эдс индукции равна производной от магнитного потока по времени (см. разд. 5.1) .
Учитывая, что магнитный поток по определению (см. разд. 3.8) равен , можем записать следующее соотношение:
и окончательно
.
Полученное уравнение и есть уравнение Максвелла для циркуляции вектора напряжённости электрического поля Е.
Данное уравнение Максвелла показывает, что изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле.
Уравнение Максвелла о циркуляции вектора Н и уравнение Максвелла о циркуляции вектора Е показывают, что переменные электрическое и магнитное поля неразрывно связаны между собой. Каждое из этих полей, изменяясь, порождает другое. Такая система связанных переменных электрического и магнитного полей называется электромагнитным полем (подробнее см. разд. 10).
5.8. Энергия магнитного поля
Рассмотрим изображённую на рисунке схему.
Переключение ключа из положения 1 в положение 2 вызывает отключение источника эдс от цепи. Опыт показывает, что это не вызывает мгновенного прекращения электрического тока.
Для поддержания тока в цепи необ-ходимо затрачивать энергию. Откуда она берётся?
Можно предположить, что ток в такой цепи существует за счёт энергии магнитного поля, созданного током, протекавшим в цепи.
Следовательно, магнитное поле должно обладать некоторой энергией.
Найдём величину энергии магнитного поля.
В контуре с индуктивностью L и током I
Ф = LI.
Изменение тока на dI означает изменение магнитного потока на dФ = LdI.
Ранее было установлено (см. разд. 3.9), что при изменении магнитного потока на dФ совершается работа dA = IdФ.
Следовательно, в данном случае должна быть совершена работа
dA = IdФ = LIdI.
Конечная работа, совершённая в рассматриваемом контуре при изменении тока от Iо до 0,
.
Работа отрицательна, так как энергия контура уменьшается.
Энергия контура уменьшается до нуля, значитсовершённая работа равна по величине начальному значению энергии магнит-ного поля:
Таким образом, энергия, запасённая в магнитном поле,
.
Выражение для расчёта энергии магнитного поля можно записать и в иной форме:
.
Выражения для расчёта энергии, запасённой в магнитном поле, можно перевести и в другую форму. Сделать это можно следующим способом.
Как известно, для соленоида L = on2V.
Тогда .
Поскольку для бесконечного соленоида В = onI,
или
,
где – напряжённость магнитного поля.
Обратите внимание: в полученное выражение входят только характеристики магнитного поля. Величины, характеризующие источник поля (например, соленоид), отсутствуют.
Это означает, что носителем энергии является само магнитное поле. Энергия, запасённая в магнитном поле, рассредоточена по всему пространству, занимаемому магнитным полем.
Если магнитное поле неоднородно, то величина в разных точках различна.
В этом случае удобно использовать объёмную плотность энергии магнитного поля:
.
(это энергия магнитного поля, запасённая в единице объёма).
Энергия, запасённая в конечном объёме неоднородного магнитного поля, может быть найдена следующим образом:
.
Важно отметить, что последнее выражение позволит получить правильный результат только в линейных средах, или средах, в которых В и Н связаны линейно, т. е. когда магнитная прони-цаемость среды, в которой существует магнитное поле, не зависит от напряжённости магнитного поля (т. е. в пара- и диа-магнетиках).