Тер.Вер методичка

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

А.А. ПОЗДЕЕВ, Д.В. МОХОВНЕВ, Е.Н. БЕЛОУСОВА

ТЕОРИЯ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Учебно-методическое пособие

НОВОСИБИРСК

2009

УДК 519.2(075.8) П 471

Рецензенты: Е.Г. Подружин, д-р техн. наук, проф. В.Е. Левин, д-р техн. наук, проф.

Работа подготовлена на кафедре прочности летательных аппаратов

иутверждена Редакционно-издательским советом университета

вкачестве учебно-методического пособия для студентов II курса ФЛА

(специальности 153300, 160100, 080502, 160201, 280200)

дневного отделения

Поздеев А.А.

П 471 Теория вероятностей : учеб.-метод. пособие / А.А. Поздеев, Д.В. Моховнѐв, Е.Н. Белоусова. – Новосибирск : Изд-во НГТУ,

2009. –76 с.

ISBN 978-5-7782-1123-0

Пособие состоит из двух частей, которые, в свою очередь, составлены из нескольких разделов. Каждый раздел содержит теоретическое введение, примеры решения задач и условия задач (25 вариантов в каждом разделе). Первая часть посвящена случайным событиям, вторая – случайным величинам.

		УДК 519.2(075.8)
ISBN 978-5-7782-1123-0	©	Поздеев А.А., Моховнев Д.В.,
		Белоусова Е.Н., 2009
	©	Новосибирский государственный
		технический университет, 2009
	2

ВВЕДЕНИЕ

В соответствии с графиком самостоятельной работы по курсу «Теория вероятностей» студенты обязаны выполнить индивидуальное практическое задание. Настоящая работа состоит из двух частей: «Случайные события» и «Случайные величины», которые, в свою очередь, включают в себя разделы. В каждом из разделов приведено 25 вариантов задач. Студент обязан решить одну задачу из каждого раздела. Номера задач назначаются преподавателем.

Указания по оформлению заданий

1.Текстовая часть заданий выполняется на листах писчей (белой или в клетку) бумаги формата А4 (210 297 мм). Листы нумеруются и сшиваются в тетрадь с обложкой из плотной бумаги.

2.Текст пишется четко и аккуратно. Слева оставляются поля 2 см

для сшивания, справа, сверху и снизу – 0,5 см.

3.Приводятся условия задач и, если необходимо, поясняющие рисунки.

4.Текстовая часть должна представлять последовательное изложение теоретических положений и решений предложенных задач. Все используемые обозначения должны совпадать с лекционными обозна-

чениями или быть объяснены. Не допускается приведение формул и вычислений без текстового комментария.

3

Часть 1

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Р а з д е л I

КОМБИНАТОРИКА

При изучении процедур случайного выбора, задач о размещении и упорядочении азартных игр мы имеем дело с конечным пространством элементарных событий . Всем точкам этих пространств приписывают равные вероятности. Чтобы найти вероятность некоторого события A, мы должны разделить число элементарных событий, составляющих A, (благоприятные случаи) на общее число элементарных событий (возможные случаи). Подсчет числа случаев облегчается использованием нескольких стандартных правил.

Для выявления общих закономерностей при подсчете числа случаев рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Сколькими способами можно расставить на полке в определенном порядке три книги A, B, C?

I	II					III	Решение. Для подсчета числа способов удоб-
A	B					C	но построить граф (дерево). При построении де-
	C					B	рева необходимо учитывать порядок расположе-
	A					C	ния книг.
B							Таким образом, три книги на полке можно
	C					A
							расставить шестью способами (A-B-C, A-C-B, B-
	A				B
C							A-C, B-C-A, C-A-B, C-B-A), или, как говорят, чис-
	B				A
							ло перестановок из трех книг равно 6.

Чтобы «увидеть» правило подсчета числа перестановок, решим эту задачу другим способом. Требуется заполнить три места на полке:

	1		2		3
		4

На первое место можно поместить или книгу A, или книгу B, или книгу C, т. е. первое место может быть занято тремя способами. Второе место может быть заполнено двумя способами для каждого случая заполнения первого места. Третье место может быть заполнено только одним способом. Тогда общее число перестановок находится перемножением числа способов заполнения первого, второго и третьего

мест: 3 2 1 = 6.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же элементов, отличающихся только порядком их расположения.

Формула для числа перестановок

Рассмотрим множество, состоящее из n элементов. Необходимо найти число отличных друг от друга перестановок элементов этого множества. Перестановки будем создавать с помощью приема, изложенного в предыдущей задаче.

Имеется n ячеек, которые нужно заполнить n элементами множества.

№1 2 3 … n

Первую ячейку заполняют одним из n элементов. Это можно сделать n способами. Вторая заполняется одним из оставшихся n – 1 элементов. Это можно сделать n – 1 способами для каждого случая заполнения первой ячейки. Аналогично третья ячейка заполняется n – 2 способами для каждого случая заполнения первой и второй ячеек. И так далее. И, наконец, последняя, n-я ячейка, заполняется только одним способом. Тогда число различных случаев заполнения ячеек определяется перемножением числа способов заполнения каждой ячейки: n (n–1) (n–2) … 1 = n!

Таким образом, число перестановок из n элементов определяется по формуле

Pn n !

Теперь рассмотрим такие перестановки, в которых участвуют не все элементы, а только часть из них.

5

Пример 2. Сколькими способами из семи книг можно отобрать три и расставить их на три места на книжной полке?

Решение. На первое место можно поставить любую из семи книг семью способами. На второе место можно поставить любую из оставшихся шести книг шестью способами. На третье место можно поставить одну из пяти книг пятью способами. Тогда общее число размещений трех книг из семи равно произведению числа способов расстановки книг: 7 6 5 = 210.

Запишем произведение по-другому:

7 6 5	7 6 5 4 3 2 1			7!			7!
	4 3 2 1						3)!
				4!	(7
Число размещений из 7 объектов по 3 равно: A 3								7!			.
					7			(7 3)!

Размещением из n элементов по m при 1 m n называется вся-

кая комбинация, объединяющая в определенном порядке m какихнибудь элементов из множества данных n элементов. Две такие комбинации считаются различными, если они отличаются либо своим составом, либо порядком следования входящих в него элементов, либо и тем и другим.

Можно		показать, что число размещений из n по m равно
A m	n!		.
n	(n m)!

Пример 3. Сколько пятибуквенных слов можно составить из букв слова «учебник»? Под словом понимается просто набор букв, не имеющий смысла.

Решение. В слове «учебник» 7 букв. Для получения пятибуквенного слова нужно из этих семи букв выбрать пять, и расположить их в определенном порядке. Такая комбинация букв называется размещением. Тогда число слов равно числу размещений из семи по пять:

A 5			7!			7!	7 6 5 4 3 2520 .
7	(7		5)!		2!
					6

Пример 4. Сколько различных слов, содержащих все буквы, можно составить из слова «корнет»? Сколько среди них таких, в которых буквы «к» и «о» стоят рядом?

Решение. Решим первую часть задачи. Поскольку при построении слов мы используем все буквы, меняя их местами, то полученные слова являются перестановками из шести букв слова «корнет». Число таких слов равно числу перестановок из шести элементов: Р6 = 6! = 720.

Рассмотрим вторую часть задачи. Если буквы «к» и «о» стоят рядом, то их можно считать за одну букву. Таких слов будет Р5 = 5! = 120. Однако можно считать одной буквой и буквосочетание «ок». Таких слов тоже будет 120. Таким образом, число слов, в которых буквы «к» и «о» стоят рядом, 2 120 = 240.

Два основных принципа комбинаторики

1. Представим себе, что из города A в город B можно добраться либо одним из m авиарейсов, либо одним из n поездов, либо одним из k теплоходов. Очевидно, что из A в B можно попасть m + n + k способами. Этот пример иллюстрирует следующее общее положение.

Комбинаторный принцип сложения. Предположим, что та или иная задача решается любым из k методов, причем первый метод можно применить n1 способами, второй метод – n2 способами, …, k-й метод – nk способами. Тогда рассматриваемая задача решается

n1 + n2 + … + nk способами.

2. Вообразим далее, что из пункта A в пункт C можно добраться только через пункт B, причем A и B связаны m путями, а B и C n путями. Тогда, очевидно, A и C связаны m n различными путями. При этом два пути из A в C считаются разными, если они различаются хотя бы на одном из участков AB или BC.

	m		n
A		B		C

Рассмотренный пример допускает следующее обобщение.

7

Комбинаторный принцип умножения. Предположим, что та или иная задача решается за k последовательных этапов: n1 способами на первом этапе, n2 способами на втором этапе,…, nk способами на k-м этапе. Пусть далее число способов решения задачи на каждом следующем этапе не зависит от того, какими именно возможными способами она решалась на всех предыдущих этапах. Два решения считаются разными, если они получены по-разному хотя бы на одном из этапов. В этих условиях задачу можно решить n1 n2 … nk способами.

Пример 5. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3,4,5, если: а) цифры не повторяются; б) повторяющиеся цифры допускаются; в) числа нечетные и цифры не повторяются?

Решение. а) Задача решается в три этапа: заполнение первого, второго и третьего разряда числа цифрами.

Первый разряд заполняется одной из пяти цифр, т. е. пятью способами: n1 = 5.

Второй разряд заполняется одной из четырех оставшихся цифр: n2 = 4.

Третий разряд заполняется одной из трех оставшихся цифр: n3 = 3.

Тогда n1 n2 n3 = 5 4 3 = 60 трехзначных чисел с неповторяющимися цифрами.

Этот ответ можно было получить, используя готовую формулу числа

размещений из пяти элементов по три: A	3			5!			5!	5 4 3 60 .
	5			3)!
		(5				2!
б) В этом случае каждый разряд		заполняется пятью цифрами:
n1 = n2 = n3 = 5. Следовательно, n1 n2 n3 =				5 5 5 = 125 трехзначных
чисел с повторяющимися цифрами.

в) Чтобы число было нечетным, необходимо, чтобы последняя цифра была нечетной. Будем составлять число с конца, т. е. справа налево:

3 2 1

В нашем случае три нечетных цифры «1», «3», «5». Тогда n1 = 3 – первую позицию можно заполнить тремя способами. Вторую позицию можно заполнить четырьмя оставшимися цифрами n2 = 4, а третью – тремя оставшимися n3 = 3. Тогда n1 n2 n3 = 3 4 3 = 36 – трехзначных нечетных чисел с неповторяющимися цифрами.

8

Сочетания

Пример 6. Сколькими способами можно выбрать три книги из четырех A, B, C и D, если порядок выбора не важен?

Решение. Если бы нас интересовало не только, какие три книги из четырех были выбраны, но и порядок выбора, тогда число способов

выбора было бы равно числу размещений из четырех по три: A 34 24 .

Если порядок не важен, то существует только четыре возможных выбора: BCD; ACD; ABD; ABC. Каждый выбор назовем сочетанием из

четырех по три. Число сочетаний из четырех по три равно C43 4 .

Дадим общее определение сочетанию.

Сочетанием из n элементов по m при 1 m n называется всякая комбинация, объединяющая m каких-нибудь элементов из множества данных n элементов. Две такие комбинации считаются различными, если какой-нибудь из данных n элементов входит в одну из них, но не входит в другую.

Говорят также, что сочетания отличаются друг от друга своим составом. В перестановках и размещениях порядок элементов учитывается, а в сочетаниях не учитывается.

Найдем связь между числом сочетаний из n по m Cnm и числом раз-

мещений из n по m Anm .

Пусть из n элементов мы выбрали m. Если нас не интересует порядок выбора, то это можно сделать Cnm способами. Если порядок выбора нас интересует, то элементы в каждом сочетании можно разместить Pm способами, т. е. вначале выбрали элементы, а затем их упорядочи-

ли и таким образом получили размещение. В соответствии с комбинаторным принципом умножения эти две последовательные операции

можно сделать	Cm P	способами. Таким образом,					Am Cm P		. Следо-
	n m						n	n m
вательно, число сочетаний равно
		Cm	Anm		n!
					m! n m !
		n	Pm
				9

Пример 7. Имеем колоду в 52 карты. Сколькими способами можно сдать 13 карт, если порядок сдачи не интересен.

Решение. Число способов равно числу сочетаний из 52 по 13:

	C 1352		52!			6.35	1011
			13! (52	13)!

ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ I

1. В меню санатория 11 наименований блюд, из которых можно выбирать на свой вкус по 3 блюда каждый день. Сколько дней человеку понадобится пробыть в санатории, чтобы ни одно из сочетаний блюд не повторилось?

2. Сколько различных вариантов хоккейной команды можно составить из 9 нападающих, 5 защитников и 3 вратарей, если в состав команды должны войти 3 нападающих, 2 защитника и 1 вратарь?

3.Сколькими способами можно упорядочить множество {1; 2;…; 2n} так, чтобы каждое четное число имело четный номер?

4.Алхимик использует семь ингредиентов для приготовления эликсира жизни. Сколько существует различных порядков вливания их

всосуд?

5.Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные пятизначные числа без повторяющихся цифр:

а) сколько всего получится таких чисел?

б) сколько среди них будет начинаться с цифры 5?

6.Каждый из 9 человек обменялся рукопожатиями с восемью остальными. Сколько было рукопожатий?

7.Сколько диагоналей имеет выпуклый 15-угольник; выпуклый n-угольник?

8.Из отряда солдат в 50 человек назначаются в караул 4 человека. Сколькими способами это можно сделать? Сколько среди них таких, что в число караульных попадет рядовой Иванов?

9.На флагштоке 5 мест и 5 флагов: 2 красных и 3 белых. Сколько различных сигналов можно изобразить, используя все флаги одновременно?

10.В шахматном кружке 12 юношей и 8 девушек. Для участия в соревнованиях из них нужно составить команду, в которую должны войти 9 юношей и 3 девушки. Сколькими способами это можно сделать?

10