Математический анализ в примерах и задачах

6.4. Основные методы интегрирования

e2x sin xdx e2x(2sin x cosx) C . # 5

Задачи для самостоятельного решения

Найти интегралы методом непосредственного интегрирования.

1.

dx

2.

x

x3ex x2

3. (

1 z

)2dz .

.

dx .

x

2

x

3

z

3

x2

4

dx.

dx

4.

(

1)(x

1)dx. 5.

x

6.

.

x

x

x

3 3x2

7.

3 2x

2 3x

dx.

8.

cos2x

dx.

2

x

cos

2

x sin

2

x

9.		1	2x	2			dx.	10. 2sin2	x	dx.
	x	2	(1 x		2	)
								2

2

11. ctg xdx.

	dx				2
12.				.	13.	x	1	dx.
	cos2x sin	2				2
			x			x	1

Найти интегралы методом подведения под знак дифференциала.

14. tg3 xd(tgx).

17. sindx2 5x .

20. x2 5x3 2 dx.

23. sin3 xcosxdx

dx

26. . (arcsinx)31 x2

28. (cos(2x π)) 2dx . 4

31. exdx . ex 1

15.	dx		.
	(2x 3)	5

18. 2xx2 1 dx .

21.			x4dx			.
			4 x5
24.				sin xdx				.
			1 2cosx

27.sin(2x 3)dx.

29.ex sinexdx.

32.	sin2x		dx.
	2
	1 cos	x

16.8 2x dx.

19.x1 x2 dx.

22.		(6x 5)dx		.
		2
2		3x 5x 6

25.lnx x dx .

30.e x5 x4dx.

33.xdx .

x2 1

1 x4

Глава 6. Неопределенный интеграл

34.		dx		.
		2
	2x 9
		x
37.		e dx	.
	e	2x
		4

40. xctg(x2 1)dx.

43. 3 x dx.

3 x

46.		dx			.
		x(x 1)
49.		dx		.
		2 3x	2

35.						dx					.
					4 9x2
38.						sin xcosxdx
						cos	2		x sin			2	x
41.			1 x						dx.
				1 x2

44. x dx. x 4

47.		1 x x2						dx .
			(1 x2)3
			x	2
50.				dx		.
			x	6
				2

36.			xdx		.
			4
		x		1
. 39.				dx		.
		x	2	2x 5

42. x(1 x2)dx.

45. x2 1dx. x2 1

48. x3dx . x8 4

51.ln x 3dx.

xln x

Найти интегралы методом замены переменной.

52.

4x 3

dx.

53.

dx

.

54.

x

dx.

3

3

1

3

x2 4 x

(x 2)

x 1

dx.

lntg x

dx.

1 x2

55.

dx.

56.

1 ln x

57.

4

sin x cosx

xln x

x

58.

1 x2

dx.

59.

e2xdx

.

60.

dx

.

2

x

4 ex 1

x2 x2 a2

Найти интегралы методом интегрирования по частям.

xsin2xdx.

x

63. xarctg xdx .

61.

62. xe

dx.

64.

xcos

x

dx .

65.

x

arctg x

dx .

66. xcos2 xdx.

2

sin

x

1 x2

67.

ln(x2

1)dx.

68.

x2dx

.

69. x2 ln(1 x)dx.

2

2

(1 x

)

70.

x(arctgx)

dx .

71. arcsin

dx.

72. eax cosbx dx.

x

2

1 x

6.4. Основные методы интегрирования
73. e3x(sin2x cos2x)dx.	74. cosln xdx.	75.	a2 x2 dx.

76. sin2 xdx. ex

6.5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

а) Интегралы вида

		dx				dx
			и					(6.2)
ax2		bx c
						ax2 bx c

сводятся к табличным 13-16 (см. разд. 6.3) после выделения из квадратного трехчлена полного квадрата.

				Пример. Найти интеграл																																						dx							.
																																		2x2								5x 7
									dx											1								dx											1																				dx															=
								2									2									2		5					7					2														5							25								25					7
		2x							5x 7														x								x									x2						2								x
																												2					2
																																																				4															16
																																																											16													2
																																						5																											5
		1									dx												1								d	x														1			1													x
																																						4
																																																														4						C
=																																																								arctg
		2										2													2								5 2													2
										5							31																								31											31												31
							x																					x
																																																				4										4
										4							16																							16
																																	4
=			2			arctg					4x				5				C . #
		31										31
					б) Интегралы вида
																				mx n									dx					и											mx n													dx.													(6.3)
															ax2								bx c
																																												ax2 bx c

При интегрировании таких функций сначала в числителе создаётся

дифференциал квадратного трехчлена:

d(ax2 bx c) (2ax b)dx .

Числитель преобразуется следующим образом:

n

m

2an

m

2an

mx n m x

2ax

(2ax b)

b .

m

2a

m

2a

m

После этого первый из интегралов (6.3) по свойству 5 раздела 6.2 разбивается на два:

				Глава 6. Неопределенный интеграл
	m		2ax b	dx	2an mb		dx	,
	2a ax2 bx c				2a	ax2 bx c
первый из которых берётся по формуле 2 таблицы								раздела 6.3,

а второй – интеграл (6.2), рассмотренный раньше. Аналогично берётся и второй интеграл из (6.3)

Пример.

Найти интеграл

x 3

dx.

3 2x x

2

x 3

1

2x 6

1 ( 2x 2) (2 6)

dx 2

dx 2

dx

3 2x x2

3 2x x2

3 2x x2

1

2x 2

dx 4

dx

2

3 2x x

2

3 2x

x

2

1

2x 2

dx 4

dx

2

3 2x x

2

4 (x

1)

2

1

1(3 2x x2)

2

x 1

x 1

4arcsin

C 3 2x x2 4arcsin

C.

2

12

2

2

в) Интегралы вида

dx

.

(6.4)

(mx n)

ax2 bx c

1

Эти интегралы приводятся к интегралам (6.3) подстановкой

t.

mx n

dx

Пример. Найти интеграл

.

(x 1)

x2 2

dx

1

1

1

1 2

t x 1

dx

dt; x2 2 1

2

t

2

t

2

x 1

t

(x 1) x 2

6.4. Основные методы интегрирования

2 1

2 1

2t 1 t2

1 t

2 dt t

dt

1

2

1

=

2

2

2

t

t

t

t

t

1 2t t2

1 2t t2

t

dt

t 1

1

1

arcsin

C arcsin

x 1

C

2 (t 1)2

2

2

arcsin

2 x

C .

2(x 1)

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы

dx

77.

dx

78.

dx

.

79.

.

x

2

3x 10

5 2x x2

12x 9x2 2

80.

dx

.

81.

8x 11

dx.

82.

4 3x

dx.

x x

2

2,5

5x

2

5 2x x2

6x 18

83.

3x 1

dx.

84.

(x 2)dx

.

85.

3x 5

dx.

2

x

2 2x 2

x2 4x 5

x

2x 2

86.

4x 8

dx.

87.

dx

.

88.

dx

.

3x

2

2x 5

x 1 x2

(x 1) x2 2x

89.

dx

.

x

x

2

x 1

6.6. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ

Функция называется дробно-рациональной или рациональной дробью, если она представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены степени m и n соответственно. Для такой функции используют обозначение R(x):

R(x)	Pm(x)	.	(6.5)
	Qn(x)

Если m n , дробь (6.5) называется правильной, если же m n –

дробь (6.5) неправильная.

Если дробь (6.5) неправильная, то в этой дроби можно выделить целую часть, т.е. представить её в виде:

Глава 6. Неопределенный интеграл

	Pm(x)	T	(x)	Sr (x)	,	(6.6)
	Q (x) m n			Q (x)
	n			n
где Tm n(x) и Sr(x) – многочлены, причем						r n, а значит, дробь

Sr(x) – правильная. Выделение целой части производится делени-

Qn(x)

ем числителя Pm(x) на знаменатель Qn(x) “уголком”.

Пример.

x3 2x2

4

Выделить целую часть дроби

.

x2 x 1

Разделим “уголком” числитель на знаменатель

x x 4

x x

x x 4

x

x x 4

x x

x

Целая часть T (x) x ; S1(x) = – 2x + 3.

x

x

x

Итак,

x

. #

x

x x

x

Дроби вида

A

,

A

,

Mx N

,

Mx N

,

(x a)k

x

(x2 px q)k

x a

2 px q

(6.7)

(k 2), p2 4q 0 называются простейшими или элементарными.

Правильную рациональную дробь Pm(x) можно раз-

Qn(x)

ложить на сумму простейших дробей указанных четырёх типов (6.7). Это разложение зависит от разложения на множители Qn(x).

Пусть

Q (x) (x a)k	...(x2	px q)l...,	(6.8)
n
где (x a)k соответствует действительному корню			a мно-

гочлена Qn(x) кратности k , а (x2 px q)l – паре комплекс-

6.4. Основные методы интегрирования
			p
ных сопряженных корней Q (x)кратности	l				q ,
n			4

k... l ... n.

Вразложении Pm(x) на элементарные дроби сомно-

Qn(x)

жителю (x a)k из (6.8)

будет соответствовать сумма k

дробей вида

A1

A2

...

Ak

,

x a

(x a)2

(x a)k

а сомножителю (x2 px q)l

из (6.8) – сумма l дробей

M1x N1

M2x N2

...

Mlx Nl

.

(x2 px q)2

(x2 px q)l

x2 px q

О нахождении коэффициентов – в разделе 6.8.

Пример. Не определяя коэффициентов, записать разложение правильной дробно-рациональной функции

R(x)	5x 13
	x3(x 4)(x2 2x 2)(x2 5)2
на элементарные дроби.
В разложении знаменателя дроби R(x)			на множители со-
множитель x3 соответствует действительному корню x 0 кратно-
сти 3, x 4 – действительному простому корню			x 4, x2			2x 2 –
паре простых комплексных сопряженных корней 1 i ;						(x2 5)2 –
паре комплексных сопряженных корней x				i кратности 2. То-
			5

гда разложение R(x) на элементарные дроби будет выглядеть так:

R(x)

A

B

C

D

Ex F

Kx L

Mx N

. #

x

x2

x3

x

2 2x 2

(x2 5)2

x 4

x2

5

6.7. Интегрирование простейших рациональных…

6.7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

Рассмотрим интегрирование каждой из простейших дробей (6.7).

Дробь I типа. A dx Aln x a C. x a

Дробь

II

типа.

				Глава 6. Неопределенный интеграл
	A	dx A (x a) k dx		A(x a) k 1					C .
	(x a)k			k 1
	Дробь III типа.		Mx N				p
					dx ,				q .
			x2 px q

Создадим в числителе дифференциал знаменателя, т.е. выражение (2x p)dx .

Mx N

=M

x

N

M

2x

2N

M

dx =

dx=

M

dx

x2 px q

x2 px q

2

x2 px q

2N

(2x p)

p

M

M

=

dx

2

x2 px q

M

2x p

2N pM

dx

=

dx

2

x2 px q

2

x2 px q

=

M

ln(x2 px q)

2N pM

dx

=

2

2

2

p

p2

x

q

2

4

=

M

ln(x2 px q)

2

N pM

arctg

2x p

C .

2

4q p2

4q p2

Дробь IV типа.

Mx N

dx,

p2

q 0,

k 2. Ин-

(x2

px q)k

4

тег-

рирование этих дробей после выделения в числителе дифференциала квадратного трехчлена x2 px q и выделения полного квадрата в этом трехчлене сводится в вычислению двух интегралов

1) (x2	px q) k (2x p)dx	1	;
		(k 1)(x2 px q)k 1

6.4. Основные методы интегрирования

2)		dt
				.	Предварительно сделана замена пере-
	(t2 a2)k
		p				p	2	a2
менной x			t и		q				. Этот интеграл вычисляет-
2					4

ся по рекуррентной формуле:

	dt		1		t		2k 3		dt
										.
	(t2 a2)k		2a2(k 1)		(t2 a2)k 1		2a2(k 1)		(t2 a2)k 1

6.8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

Пусть R(x) Pm(x) – правильная рациональная дробь.

Qn(x)

Чтобы её проинтегрировать, нужно Pm(x) разложить на

Qn(x)

сумму элементарных дробей, результат интегрирования которых выражается элементарными функциями (логарифм, степенная, арктангенс).

Если R(x) Pm(x) – неправильная рациональная дробь,

Qn(x)

то R(x) можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (см. раздел 6.6), об интегрировании которых говорилось выше (см. раздел 6.7).

Пример. Найти интеграл 2x2 5x 13 dx.

(x 1)(x 2)(x 3)

Под интегралом стоит правильная рациональная дробь. Знаменатель её имеет действительные простые корни x1 1, x2 2, x3 3. Разложим подынтегральную дробь на элементарные:

2x2 5x 13		A			B			C	.
(x 1)(x 2)(x 3)		x
			1 x			2 x 3

Приведя к целому виду обе части этого тождества, получим

2x2 5x 13 A(x 2)(x 3) B(x 1)(x 3) C(x 1)(x 2).

Полагая последовательно x 1, x 2, x 3, получаем сис-

Глава 6. Неопределенный интеграл

6.8. Интегрирование рациональных дробей

тему уравнений:

x 1

6 6A A 1;

x 2

15 15B B 1;

x 3

20 10C C 2.

2x2 5x 13

dx

dx

dx

2

dx

(x 1)(x 2)(x 3)

x 1

x 2

x 3

=ln

x 1

ln

x 2

2ln

x 3

C.#

Пример. Найти интеграл

2x3 5x2 6x 5

dx.

(x 1)2(x2 1)

Под интегралом – правильная рациональная дробь. Разложение на элементарные дроби имеет вид:

	2x3 5x2 6x 5		A		B		Cx D	,
					(x 1)2
	(x 1)2(x2 1)		x 1				x2 1
2x3 5x2 6x 5 A(x 1)(x2			1) B(x2 1) (Cx D)(x 1)2 .
(6.9)

Коэффициенты А, В, С, D можно найти, приравнивая коэффициен-

ты при одинаковых степенях x многочленов, стоящих справа и слева в (6.9):

	x3	2 A C
	x2	5 A B D 2C	(6.10)
	x1	6 A C 2D
	x0	5 A B D

Решив систему уравнений, получим

A 2; B 1; C 0; D 2,

	2x3 5x2 6x 5			2		dx		dx
		dx			dx		2
	(x 1)2(x2 1)			x 1		(x 1)2		x2 1
	2ln	x 1		1	2arctgx C .#

x1

За м е ч а н и е. Часть коэффициентов можно найти до решения системы (6.10), подставляя в обе части (6.9) значения действительных корней знаменателя. В нашем