Математический анализ в примерах и задачах

Министерство образования Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

=============================================================

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Часть 1

НОВОСИБИРСК

2002

УДК 517 (076.1) М 34

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, проф.

Ю.И. Соловьёв,

д-р техн. наук, проф.

Г.М. Шумский

Коллектив авторов:

С.Н. Веричев, Г.Б. Корабельникова, В.Н. Максименко, А.А. Шалагинов, Э.Б. Шварц

Работа подготовлена на кафедре инженерной математики НГТУ для студентов всех факультетов

ивсех форм обучения

М34 Математический анализ в примерах и задачах. Часть 1 /

С.Н. Веричев, Г.Б. Корабельникова, В.Н. Максименко и др.; Под ред. В.Н. Максименко: Учеб. пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ,

2002 г. – 140 с.

ISBN 5-7782-0385-3

Настоящее пособие включает в себя теоретические сведения, задачи и упражнения по следующим разделам курса высшей математики: предел и непрерывность, дифференциальное и интегральное исчисления функций одной действительной переменной, их приложения к задачам геометрии и механики.

Типовые задачи даны с подробными решениями. Приведены задачи для самостоятельного решения. Все задачи снабжены ответами.

УДК 517 (076.1)

ISBN 5-7782-0385-3	© Новосибирский государствен-
ный

технический университет, 2002 г.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

– знак логического следования

– знак равносильности (эквивалентности)

– знак принадлежности

– знак соответствия

: =	– равенство по определению

– квантор общности

– квантор существования! – «существует точно один»

{a,b,c, } – множество, состоящее из элементов a,b,c,

– пустое множество

	A B				– объединение множеств
	A B				– пересечение множеств
	A\ B				– разность множеств
		, U \ A			– дополнение множества А до универсального мно-
	A
	A B					жества U
					– множество А является подмножеством множества В
	A B				– множество А является собственным подмножеством
						множества В
{x				P(x)}	– множество элементов x, удовлетворяющих условию
						P(x)
	f : X Y				– функция, отображающая множество X в (на) мно-
						жество Y
	f 1 : Y X					– функция, обратная к функции f , отображающая
						множество Y в (на) множество X
	D( f )				– область определения функции		f
	E( f )				– множество значений функции		f
	f g				– композиция функций f и g , т.е. сложная функция,
						составленная из функций f и g
[a,b]					– замкнутый промежуток (отрезок, сегмент) с началом a
(a,b)						и концом b
					– открытый промежуток, интервал
[a,b), (a,b]						– полуоткрытый отрезок

a,b

– промежуток (любой из вышеперечисленных)

O(a,ε) : ={ x

:

x a

}

–

« » – окрестность точки a

O (a, ): ={ x

:

0

x a

}–

проколотая « » – окрестность

un

точки a

– последовательность с

«n»-м членом un

N : ={1,

2, , n, } – множество натуральных чисел

Z : ={ n, , , , , ,n, }

– множество целых чисел

R

– множество действительных чисел

R

– множество положительных действительных чисел

Ro

– множество неотрицательных действительных чисел

R

– множество отрицательных действительных чисел

C

– множество комплексных чисел

Rn

– «n» – мерное арифметическое пространство

– «k » принимает все целые значения от 1 до n.

k , n

ПРЕДИСЛОВИЕ

Основой математической подготовки инженера является общий курс высшей математики. Опыт показывает, что успешному усвоению этого курса, помимо работы с учебниками и конспектами лекций, способствует использование различного рода вспомогательных изданий – справочников и методических справочных пособий, отражающих объем и структуру материала, изучаемого в конкретном вузе.

Настоящее учебное пособие состоит из трех частей. Предлагаемая читателю первая часть пособия по курсу математического анализа разработана на кафедре инженерной математики НГТУ и включает в себя главы с первой по восьмую. Она содержит около 600 задач по разделам: предел и непрерывность, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной действительной переменной, их приложения к задачам геометрии и механики.

Пособие имеет следующую структуру: каждый параграф содержит формулировки основных определений и теорем; задачи и упражнения с подробными решениями; набор задач и упражнений для самостоятельного решения с ответами. Такая структура книги делает ее удобной для самостоятельного овладения предметом при минимальной помощи со стороны преподавателя. Начало разобранных задач обозначено символом , а завершение решения задач – символом . В некоторых случаях для наиболее употребительных определений и теорем дается вторая (краткая) их запись с помощью кванторов и логических символов. В конце каждой книги приведен список литературы, использованной авторами при подготовке материала и предлагаемой студентам для изучения.

Настоящее пособие может быть использовано студентами всех факультетов НГТУ и других технических вузов, а также преподавателями при подготовке и проведении практических занятий.

Приведенное количество задач не только удовлетворит потребности студентов в практическом закреплении знаний по соответствующему разделу курса, но и даст возможность преподавателю разнообразить выбор задач в зависимости от уровня подготовки студентов. Ряд предлагаемых задач и упражнений может быть использован преподавателем для проведения контрольных работ.

Для наглядности часть задач иллюстрируется рисунками.

Г Л А В А 1

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1 . Понятие функции состоит из трех частей: 1) области определения D; 2) множества T, содержащего область значений E; 3) правила, которое для каждого элемента из области D задает единственный элемент из области T.

2 . Для функций действительной переменной их области определения D и области значений E принадлежат множеству действительных чисел R. Если обозначить функцию символом f, а элементы D и E – символами x и y , то функция f по определенному правилу ставит в соответствие каждому элементу x D единственное значение y E , что записывается в виде

f :D E

или y f (x).

По традиции x называют независимой переменной (аргументом), а y – зависимой переменной – функцией. Иногда функцию обо-

значают тем же символом, что и значение, и пишут y = y(x).

3 . Способы задания функций:1) аналитический (т.е. математической формулой, называемой аналитическим выражением и дающей возможность вычислить значение функции); 2) графический; 3) при помощи таблицы; 4) при помощи словесного описания.

4 . Функция определена для x R, если значение f(x) конечное и вещественное. Множество значений x, для которых функция опре-

делена, образует область определения (область существования)

D R. В простейших случаях D есть открытый промежуток (интервал) (a; b): a < x < b, или полуоткрытые промежутки [a; b): a x < b, (a; b]: a < x b, или закрытый промежуток (отрезок, сегмент) [a; b]: a x b, где a и b – некоторые числа или символы – и + (в последних случаях равенства исключаются). Если функция задана аналитически и об области определения ничего не сказано, то ее считают множеством всех чисел, при которых формула, задаю-

1.1. Основные понятия, определения

9

щая значение функции, имеет смысл, и называют естественной об-

ластью определения функции D(f).

5 . Множество всех значений, которые функция принимает на элементах своей области определения, есть область значений

E R.

6 . Если считать, что x – некоторая точка М числовой оси, а соответствующее значение y = f(x) – точка M другой числовой оси, то функцию называют отображением. Тогда точка M – образ точки М, а точка М – прообраз точки M .

7 . Сложная функция (композиция фунций). Если функция y = f(u) отображает область определения E в область значений L, а функция u = g(x) отображает свою область определения D в область

значений E1, при этом E1 E , тогда сложная функция
y = f (g(x))	(1.1)
отображает D в L. Запишем иначе: если f :E L и	g :D E1,
где E1 E , то сложная функция
f g:D L.	(1.2)
Из (1.1) и (1.2) следует ( f g)(x) f (g(x)), т.е. функция f g
реализует идею: “ применяй g, затем применяй f ”.	F(x, y) 0
8 . Неявная функция. Пусть дано уравнение вида

и пусть существует такое множество X, что для каждого x0 X су-

ществует, по крайней мере, одно число y, удовлетворяющее уравнению F(x0, y) 0. Обозначим одно из таких чисел через y0 и поста-

вим его в соответствие числу x0 . В результате имеем функцию f ,

определенную на множестве X и такую, что F x0, f (x0) 0 для всех x0 X . В этом случае говорят, что функция f задается неявно

уравнением F(x, y) 0. Уравнение F(x, y) 0 может задавать не одну, а некоторое множество неявно заданных функций.

9 . Основныеэлементарныефункции: постояннаяy=C(C–const);

степенная	y x ;	показательная y ax (a > 0);	логарифмическая
y loga x,	(a> 0,	a 1); тригонометрические	y sin x, y cosx,
y tgx, y ctgx;		обратные тригонометрические y arcsin x,
y arccosx, y arctgx, y arcctgx .

10 . Элементарной функцией называется всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и композиций (суперпозиций) основных элементарных функций.

10 Г л а в а 1. Действительные функции одной…

11 . Классы элементарных функций

1) Целые рациональные функции:

y a	xn a xn 1	a	2	xn 2	... a	n 1	x a	,a const	(i	0,n	), n N .
0	1						n	i

Сумма, разность и произведение целых рациональных функций есть целая рациональная функция.

2) Дробные рациональные функции:

y a0xn a1xn 1 ... an . b0xm b1xm 1 ... bm

Заметим, что класс целых рациональных функций содержится

вклассе дробных рациональных функций.

3)Алгебраические функции: между y и x существует зависимость вида

p0(x)yn p1(x)yn 1 ... pn 1(x)y pn(x) 0,

где p0(x), p1(x),..., pn(x) – многочлены относительно x; при этом y

удовлетворяет определенным требованиям. Классы 1), 2) содержатся в классе алгебраических функций.

4) Трансцендентные функции – это всякие функции, не яв-

ляющиеся алгебраическими. Можно показать, что показательная, логарифмическая, прямые и обратные тригонометрические функции, степенная с иррациональным показателем являются трансцендентными.

Пример. Определить область определения D( f ) функций:

а) y arcsin(1 x) lg(lgx); б) y lg(sin( / x)).

а) Так как функция arcsinx определена при x 1, а функция

lgx – при x>0, то x должен удовлетворять нескольким условиям одновременно, т.е. D( f ) получается пересечением множеств:

D( f ) (x 0) (lg x 0) (1 x 1)

(x 0) (x 1) ( 1 1 x 1)=

(x 1) (0 x 2) (1 x 2) ; D( f ) (1;2].

б) Так как функция sinx определена x R, lgx – при x > 0 и функция / x определена x R, кроме x = 0, то

	D( f ) (x 0) sin		0
		x

(x 0) (2 k / x (1 2k) )

=(x 0) (1/ (2k 1) x/ 1/2 k)

(x 0) (1/(2k 1) x 1/2k),

k 1, 2,... .

1.1. Основные понятия, определения	11
Так как для любого k следует x 0, то имеем
D( f ):1/(2k 1) x 1/2k, k 1, 2,... .
Пример. Сложную функцию y arcsin lg(tg23x)	представить
цепочкой из основных элементарных функций.
y arcsin z, z lgu, u tgv, v 2w, w 3x;

y – “пятисложная” функция.

Пример. Функция y f (x)задана в неявном виде уравнением

x2 y2 R2. Написать функцию в явном виде.

Решив уравнение F(x, y) x2 y2 R2 0 относительно y,

получим в явном виде две однозначные функции y R2 x2

и y R2 x2 с одной и той же областью существования, но с различными областями значений. Обе они удовлетворяют исходному уравнению, и выбор конкретной из них, если необходимо, определяется из геометрических, или физических, или иных соображений.

Задачи для самостоятельного решения

Найти области определения данных функций:

y 1/(x3 x).

1.

y lg(x 3).

2.

y

.

3.

5 2x

4.

y 1/

x2 4x.

5.

y arccos((1 2x)/4). 6.

y arcsin

.

2x

7.

y 1/

x

x

.

8.

y logx 2.

9. y arcsin((x 3)/2) lg(4 x).

10.

y lgsin(x 3)

16 x2 .

11.

y

16 x2 .

sin x

y lg 1 lg(x2 5x 16) .

12.

y

x2 3x 2 1/

3 2x x2 .

13.

14. В шар радиуса R вписывается прямой конус. Найти функциональную зависимость площади боковой поверхности S конуса от его образующей x. Указать область определения этой функции.

15. Пусть функция f(u) определена при 0 < u < 1. Найти область определения функций: a) f (sin x), б) f (ln x).

16. Дано:		y z2,	z 3		x 1	,	x at . Выразить y как функцию t.
17. Дано:		y sinx, v lny, u					1 v2 . Выразить u как функцию x.
В задачах 18–21 сложные функции представить с помощью це-
почек элементарных функций:
18.	y sin3 x.		19.	y sin(x3).							20. y lgtgx.
21.	(3x 1)2		22.		f (x) x			3	x,		(x) sin2x.
	y 5	.

12				Г л а в а 1. Действительные функции одной…
Найти:		а) f ( ( /12)),			б) ( f (2)),	в) f ( (x)), г) f ( f (x)),
		д) ( (x)).				y f (x),
Написать в явном виде функцию							неявно заданную
уравнениями:
23.	x2		y2	1.	24. x3 y3	a3.	25. 2xy 5.
	a2
			b2
26. lgx lg(y 1) 4.					27. (1 x)cos y x2 0.

1.2.НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ФУНКЦИЙ

Ограниченные функции. Функция f(x) называется ограничен-

ной сверху (снизу) в области D, если существует такое число M, чтоx D выполняется f (x) M ( f (x) M).

Функция f(x) называется ограниченной в D, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. существуют такие числа M и N (M<N), чтоx D выполняется M f (x) N .

Пример. а) Функция y x2 ограничена снизу на всей числовой

оси, ибо для всякого числа M 0 выполняется x2 M , но не ограничена сверху.

б) Функция y tgx не ограничена на всей числовой оси, но ог-

раничена на [0; /4], ибо x [0;						/4] выполняется 0 tgx 1,
т.е. существуют числа M 0 , N 1						и такие, что M tgx N .
в)	Функция y sin x ограничена на всей числовой оси, ибо
M 1	выполняется		sin x		M ( M sin x M).

Задачи для самостоятельного решения

Какие из функций в указанной области ограничены сверху, ог-

раничены снизу, ограничены, не ограничены?
28. y		2		, 0 x 2.			29. y ctgx,		/4 x /3.
	x 1
30. y 2 x, x .							31.	y 3x 3 x, x .
32. y 3x 3 x,					x .		33.	y lgcosx, /2 x /2.
Монотонные функции. Пусть: 1) функция f(x) определена в D;
2) x1,x2 D		приращение функции f						f(x2) f(x1). Функция f(x)
называется монотонно возрастающей (убывающей) в D в строгом
смысле, если для x1 x2 выполняется								f (x1) f (x2) или f 0
f (x1) f (x2)			или		f 0 ,	и называется неубывающей (невозрас-
тающей), если				f (x ) f (x )		или	f 0	(f (x ) f (x ) или f 0 ,
			1		2			1	2

или f 0).