При движении груза вниз от отметки до отметкисо шкива сматывается нить длиной. Учитывая, что длина окружности шкива равнаи каждый оборот шкива соответствует углурадиан, найдем угол поворота шкива при движении груза вниз:

радиан. (4.4)

Очевидно, что при дальнейшем вращении тела до момента, когда груз остановится на отметке , оно повернется на угол

радиан.

Тогда общий угол поворота тела, соответствующий переходу груза от отметки до отметки, равен

радиан. (4.5)

Подставляя (4.2) и (4.3) в (4.1), найдем

.

Отсюда, используя (5), получаем формулу для оценки модуля вектора момента тормозящей силы

. (4.6)

Вывод формулы для косвенных измерений момента инерции тела с учетом момента тормозящей силы

Рассмотрим систему тело–груз в начальный момент времени, когда груз находится на отметке , а в качестве конечного выберем тот момент времени, когда груз опустится до нижней отметки, соответствующей полной длине нити. Опять будем исходить из энергетического соотношения (4.1).

Для выбранных начального и конечного состояний получим

, (4.7)

где – момент тормозящей силы (6);– угол поворота тела, соответствующий перемещению груза от отметкидо(4.4).

Начальная механическая энергия системы тело-груз равна

. (4.8)

Конечная механическая энергия системы складывается из кинетической энергии вращательного движения тела и кинетической энергии поступательного движения груза в момент прохождения им отметки :

, (4.9)

где – момент инерции тела;– угловая скорость вращения тела в момент(см. рис. 4.1);– скорость поступательного движения груза в момент.

Строго говоря, в процессе движения груз за счет упругого растяжения нити опускается чуть ниже отметки , тормозится нитью, а затем за счет упругого сжатия нити возвращается на эту отметку.

Считая движение системы равноускоренным, для скорости груза на отметке получаем

, (4.10)

где – время, за которое груз опустится от отметкидо.

Угловая скорость вращения тела в тот же момент времени равна

, (4.11)

где – радиус шкива, на который намотана нить.

Подставляя (4.7), (4.8), (4.9) в (4.1), получаем

.

Из этой формулы, учитывая (4.4), (4.10) и (4.11), выражаем момент инерции :

, (4.12)

где – момент тормозящей силы, который вычисляется по формуле (4.6).

Получение формул для определения погрешностей косвенных измерений момента тормозящей силы и момента инерции тела

Методика получения оценок истинных значений величин и погрешностей при прямых и косвенных измерениях описана в [1]. При выполнении данной лабораторной работы прямыми будут измерения длины и времени. Остальные величины, входящие в рабочие формулы (4.6) и (4.12), измеряются заранее и их истинные значения с указанием погрешностей приведены в таблице исходных данных, помещенной около экспериментальной установки.

Выполнив прямые многократные измерения величин и(см. задание к работе) и проведя их статистическую обработку по методике, описанной в [1], найдитеидля выбранного значения доверительной вероятности. Эти величины будут в дальнейшем использованы для оценки истинного значения и погрешности при косвенных измерениях.

Подставляя в рабочую формулу (4.6) истинные значения всех аргументов, получаем оценку истинного значения момента тормозящей силы

, (4.13)

где черта над величиной означает «оценка истинного значения».

Абсолютная погрешность косвенных измерений величины определяется формулой [1]

С помощью этой формулы, взяв частные производные по всем аргументам, получим

2

В формулу (4.14) входят пять квадратичных членов, вклад каждого из них в погрешность величины неодинаков. Поэтому, чтобы упростить вычисления, прежде чем применять эту формулу, необходимо оценить вклад каждого квадратичного слагаемого и оставить в формуле только наибольшие. Эта оценка, кроме того, позволит выявить те величины, точность измерения которых определяет точность получаемого результата.

Оценку истинного значения величины момента инерции тела, определяемого в опытах с помощью формулы (4.12), получим, подставив в нее истинные значения входящих аргументов:

. (4.15)

Абсолютная погрешность косвенных измерений величины определяется формулой [1]

.

С помощью этой формулы, взяв частные производные по всем аргументам, получим

В формулу (4.16) входит шесть квадратичных членов. Один из них (пятый) связан с погрешностью величины , которая определяется формулой (4.14). Как было сказано выше, прежде чем применять формулу (4.16), необходимо оценить вклад каждого квадратичного слагаемого, сохранив только наибольшие.