Минобрнауки россии

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева»

(НГТУ)

Лабораторная работа по численным методам №1

Тема: «Теория погрешностей и решение СЛАУ»

Выполнила:

Студентка группы 10-ПМ

Хитева Д.В.

Проверила:

Катаева Л.Ю.

Н. Новгород, 2012 г.

Содержание

1. Постановка задачи

2. Теоретический материал

3. Excel

4. Fortran

5. C++

6. Вывод

7. Список использованной литературы

Постановка задачи

Изучить теорию погрешностей и методы решения систем линейных уравнений в теории. Реализовать свои знания на практике.

Основная задача теории погрешностей состоит в оценке погрешности результата вычислений при известных погрешностях исходных данных.

Необходимо найти решения системы линейных уравнений методами: Гаусса, простой итерации, Зейделя, Крамера, главных элементов, квадратных корней, Халецкого. Написать данные методы решения на языках программирования: С++ и Fortran, а так же выполнить ручной счет, проверить его в Excel и выявить какой из методов более эффективный.

Необходимым и достаточным условием существования единственного решения СЛАУ является условие det A≠0, т.е. определитель матрицы A не равен нулю. В случае равенства нулю определителя матрица A называется вырожденной и при этом СЛАУ либо не имеет решения, либо имеет их бесчисленное множество.

Теоретический материал Источники и классификация погрешностей результата

Получить точное значение при решении задачи на машине практически невозможно. Получаемое решение всегда содержит погрешность и является приближенным. Источники погрешности:

• Погрешность математической модели

• Погрешность в исходных данных

• Погрешность численного метод.

• Погрешность округления или отбрасывания.

Погрешность математической модели определяется выбором математической модели. Так для описания падения тела с высоты и имеющего скоростьиспользуются уравнения:

при допущении, что тело обладает средней плотностью, значительно превышающей плотность воздуха, а его форма близка к шару. В этом случае можно пренебречь сопротивлением воздуха.

Если учитывать силу сопротивления , действующую на тело массой, тогда движение тела можно описать с помощью уравнений:

Погрешность в исходных данных определяется: погрешностью измерения или погрешностью вычислений, с помощью которых они были получены.

Погрешность численного метода определяется точностью выбранного числено метода и вычислительного средства.

Типы погрешностей.

Пусть α* – точное (и никогда неизвестное) значение некоторой величины, а α – приближенное значение этой же величины.

Абсолютной погрешностью приближенного значения α называется величина:

Относительной погрешностью приближенного значения α называется величина:

Так как точное значение α* как правило, неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида:

,

Величины иназывают предельной абсолютной и относительной погрешностью соответственно. В вычислениях вместо абсолютной и относительной погрешностей будем использовать предельные погрешности.

Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Значащую цифру называют верной в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре или верной в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Особенности машинной арифметики

Вещественные числа в ЭВМ представляются в экспоненциальном виде (с плавающей точкой):

, где m - мантисса ,b-основание системы счисления n - порядок

Погрешности вычислений.

1. Абсолютная погрешность суммы или разности нескольких чисел не превосходит суммы абсолютных погрешностей этих чисел.

2. Относительная погрешность суммы:

3. Относительная погрешность разности:

4. Относительные погрешности произведения и частного:

5. Абсолютная погрешность дифференцируемой функции многих переменных:

Обусловленность будем определять как отношение

Задачи с большим отношением называют плохо обусловленными, иначе - хорошо обусловленными. Плохо обусловленные задачи лучше не решать, а подумать над другим способом представления модели, выбрать иной метод или изменить алгоритм . Часто это возможно.

Способ записи формулы влияет на точность результата.

Метод Крамера

Рассмотрим систему из n уравнений с n неизвестными: