Сопрамат / зао 2012-13 весна / Пример на кручение

Пример. Кручение.

Для вала, нагруженного, как показано на рис. требуется построить эпюру крутящих моментов и при заданном значении[τ] =120 мПа определить диаметр вала на прочность и проверить на жесткость при циклическом нагружении.

Решение.

1) для построения эпюры крутящих моментов определим их значения, используя метод сечений. Для этого разделим вал на3 участка и определим Т, начиная со свободного конца, чтобы не определять момент заделки.

Крутящий момент в произвольном поперечном сечении численно равен сумме моментов относительно продольной оси z вала (бруса) всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого поперечного сечения.

Т = Σ М

I участок. Т = М1 = 0,5 кН · м;

II участок. Учитывая правило знаков Т = М1 +(–) М2 = 0,5 –2 = –1,5 кН · м.

III участок. Т = М1 – М2 + М3 = –1,5 + 1,8 = 0,3 кН · м.

1) Строим эпюру крутящих моментов и находим Тmax = 1500 Н · м

M 3 =1,8	M 2 = 2	M1=0,5
А	В	С	D
III уч.	II уч.	I уч.
		z1
z3	z2
0,5	0,5	0,5м
0,3		+	0,5
			эп. Т
+
	_		кН*м
		1,5
+	7,5		эп.
				-3
	_	_	рад*10
	29,8		17,37
	Рис.

3) Определим диаметр вала, принимая, что наибольшее касательное напряжение возникает посередине длинной стороны опасного поперечного сечения. Условие прочности при кручении имеет вид

1

				t max =		/ Т max /		£ [t ]
						Wp
где / Т max / – максимальный			крутящий момент, взятый по абсолютной величине.
Определяется из эпюры Т; W р – полярный момент сопротивления.
Для сплошного круглого вала
				Wp =		pd 3
						16
Диаметр вала определяется по формуле
		16 * Т max
d = 3			= 3		16 * 1500				= 39,9 мм
		p * [t ]			3,14 * 120 * 106

Из условия на прочность принимаем d = 40 мм.

Проверим вал на жёсткость. При циклическом нагружении допускаемый относительный угол закручивания [j] = 0,25град/м = 4,36*10–3 рад/м.

Жёсткость вала G*Jp =8*1010 (pd4/32)=20096 н*м2.

Определим углы закручивания начиная с заделки, т.к в т.А j =0, т.е jА=0. В точке В:

			j В = jА				+	Т III *l III	= 0 + 7,5*10-3 рад
								G * I p
В точке С:
j С = jВ	+		Т II *l II				=7,5*10-3 + (- 37,3)*10-3 = - 29,8*10-3 рад
			G * I p
В точке D:
j D = jC	+	Т I *l I			=- 29,8*10-3 + 12,1*10-3 = - 17,37*10-3 рад
			G * I p

Определим относительный угол на каждом участке.

j I	=	jD -jC				= 24,86 * 10 -3 рад / м;
				l I
отн
j II	=			jС -jВ		= -44,6 * 10 -3 рад / м;
				l II
отн
j KII	=		jВ -jА			= -17 ,37 * 10 -3 рад / м;
отн				l III

j max отн = -44,6 * 10 -3 рад / м .

jотнmax > [j], условие жёсткости не выполняется.

Для того, чтобы вал деформировался в заданных пределах, необходимо увеличить его диаметр:

d = 4		32* Т max				32* 1500		= 108 мм
			= 4
		G * [jотн ]				8* 1010 * 4,36 * 10 -3

2