Сопрамат / 1 факультет зао 2012-13 весна / РАСЧЕТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

РАСЧЕТ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

Стальной стержень длиной l = 2,3 м сжимается силой Р = 300 кН. Условия закрепления стержня и форма его перечного сечения показаны на рис:

Требуется найти:

1)размеры поперечного сечения стержня

2)величину критической силы и коэффициент запаса устойчивости пр скаемом напряжении на сжатие σ = 160 МПа.

Решение.

Определим основные геометрические характеристики сечения стержня.

Главные моменты инерции сечения Jx, Jy найдем, вычитая из момент ции круглого сечения момент инерции квадрата, получим:

Площадь сечения

Минимальный радиус инерции

Расчет производим последовательными приближениями, предварительно

задавшись	значением	коэффициента	уменьшения	основного	допускаемог
напряжения	φ = 0,5. Сечение будем считать подобранным удовлетворительно,

если действующее в стержне напряжение σи допускаемое напряжение на устойчивость σу отличаются не более чем на 5%.

В первом приближении задаемся φ1 = 0,5.

1

						F Tran			sf
					D
			Y	P						or	e
	B	Y								m
B									buy		r
											2
											0
A								to			.
							here
					Click
	w										m
			w		w.					o
									.
						A BBYY				c

Тогда из условия устойчивости:

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

Находим

Отсюда

м,

м.

Гибкость стержня

,

где µ– коэффициент приведения длины, величина которого зависит от способа закрепления стержня. Для стержня, защемленного с одного конца µ = 2.

Тогда

.

По значению λ из таблицы для коэффициентов φ найдем соответствующее значение : φ1 табл:

при λ = 190 φ= 0,21,

при λ = 200 φ= 0,19.

Используя процедуру линейной интерполяции, получаем:

.

Так как значительно отличается от φ1, то повторим расчет с другим значением φ.

В качестве второго приближения возьмем

.

Тогда	м 2 ,				м,

2

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

						F Tran			sf
					D
			Y	P						or	e
	B	Y								m
B									buy		r
											2
											0
A								to			.
							here
					Click
	w										m
			w		w.					o
									.
						A B BYY				c

м, .

Из таблицы для коэффициента j подбираем:

.

В третьем приближении принимаем

,

м 2 ,

м,

м,

.

.

Проверяем:

, что допустимо.

Критическая нагрузка может быть вычислена:

при

- по формуле Эйлера:

,

при

- по формуле Ясинского:

.

Для малоуглеродистых сталей предельная гибкость

= 100,

а = 310 МПа, b =1.14 МПа,

МПа.

3

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

В нашем случае λ = 153,3 > 100. Следовательно, критическая сила равна

кН.

Коэффициент запаса устойчивости равен:

.

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

В большинстве случаев для достижения удовлетворительного результата достаточно двух-трех приближений. В тех случаях, когда в первом приближении получается слишком большая гибкость(λ > 200), можно порекомендовать в качестве начального приближения принять φ= 0,1...0,2, либо воспользоваться приближенной формулой для вычисления φ (λ) :

,

где

.

В частности, для малоуглеродистых сталей .

4