ИНДИВИДУАЛНЫЕ ЗАДАНИЯ ПЕРВОГО УРОВНЯ

Условия к заданиям:

1. A, B  некоторые множества, ય  универсальное множество. Найдите AB, AB, A\B, B\A, A, B, AB.

2. На диаграмме Эйлера отметьте области, соответствующие данному множеству X.

3. Упростите теоретико-множественные выражения, данные в задаче 2.

4. Высказывание задано формулой F. Удалите все возможные скобки так, чтобы получилось высказывание, равносильное исходному. Затем расставьте приоритет выполнения операций и постройте таблицу истинности данного высказывания.

5. Упростите данную формулу исчисления высказываний.

6. P(x), T(x,y)  предикаты, определенные на множестве A. Найдите области истинности данных предикатов.

7. Найдите область истинности предиката P(x), определенного на множестве действительных чисел.

8. F  соответствие из A в B. Проверьте выполнимость свойств соответствия (всюду определенность, однозначность, соответствие «на», разнозначность). Выясните, является ли данное соответствие отображением.

9. F  отображение из A в B. Проверьте выполнимость свойств отображения (сюръективность, инъективность, биективность).

10.   бинарное отношение, определенное на множестве M. Проверьте выполнимость свойств бинарного отношения (рефлексивность, симметричность, транзитивность, антирефлексивность, антисимметричность, линейность) .

Вариант 1

1. 1) A = {2, 5, 4, 6, 7, 1}, B = {1, 4, 8, 9, 5}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A = (2; 9), B = (; 0], ય = R.

2.  1) X = (A\B)A; 2) X = ((A \(C\B) )(B\C).

3.  См. пункт 2.

4.   ((( X)  ( (Z  ( Y)))) & (X  Y))

5.   X &  Z  (X   Y)

6. A = {0, 1, 3, 5, 4, 1}; P(x) = «x  3»; T(x,y) = «x  натуральный делитель числа y».

7.   P(x) = «».

8.   1)  A = {2, 5, 4, 6}, B = {1, 8, 9, 5}, F = {(5,5), (4,1), (6,8), (2,9)};

      2)  A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y)  xy  четное число}.

9.   A = N (множество натуральных чисел); B = R (множество действительных чисел); xA F(x) = 7x²2x+1.

10. M = Z (множество целых чисел). Бинарное отношение  задано по правилу: a  b  (a + 1)b кратно 10.

Вариант 2

1. 1) A = {1, 5, 3, 7, 8}, B = {4, 8, 1, 6}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A = [12; +), B = (3; 20], ય = R.

2.  1) X = A(B\AB); 2) X = (AB ) (C \B).

3.  См. пункт 2.

4. (((Y & ( X))  ( Z))  (Y  Z))

5.   (X &  Z  Z V  Y)  X

6. A = {2, 1, 0, 4, 5}; P(x) = «x  простое число»; T(x,y) = «x+2y  делится на 3».

7.   P(x) = «2x1+x+3=10».

8.   1)  A = {1, 3, 6, 8}, B = {4, 1, 6}, F = {(3,4), (1,6), (8,1), (6,4)};

      2)  A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y)  x  делитель числа y}.

9.   A = B = Q (множество рациональных чисел); xA F(x) =  x+24.

10. M  множество точек плоскости. На плоскости задана фиксированная окружность a. Бинарное отношение  задано по правилу: A  B  через точки A и B можно провести прямую, пересекающую a.

Вариант 3

1. 1) A = {3, 4, 7, 2}, B = {9, 1, 2, 5, 3}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A = [13; 1), B = (10; 10), ય = R.

2.  1) X = A\B (BA); 2) X = (CB)\(AB \C).

3.  См. пункт 2.

4.   (X  ( ((X V Z)  ( Y))))

5.    ( X V  Y)   (X & Z   Y)

6. A = {1, 3, 7, 2}; P(x) = «x²5x > 0»; T(x,y) = «xy  положительное четное число».

7.   P(x) = «».

8.   1)  A = {4, 3, 9, 6}, B = {8, 6, 4, 3, 5}, F = {(3,5), (9,8), (4,4), (6,3)};

      2)  A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y)  x  остаток от деления y на 3}.

9.   A = Q⁺ (множество положительных рациональных чисел); B = R (множество действительных чисел); xA F(x) = ln x+5.

10. M = N (множество натуральных чисел). Бинарное отношение  задано по правилу: a  b  каждая цифра числа a меньше всех цифр числа b.

Вариант 4

1. 1) A = {2, 4, 6, 7, 9}, B = {1, 4}, ય = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

2) A = (; 9), B = (3; +), ય = R.

2.  1) X = ((AB)\A); 2) X = A((BC)C )B.

3.  См. пункт 2.

4.   (((X & (Y  Z)) V Y)  ( X))

5.   (X   Y) & Z   X

6. A = {2, 1, 5}; P(x) = «3x+5 делится на 4»; T(x,y) = «xy  простое число».

7.   P(x) = «23x1<4».

8.   1)  A = {1, 3, 4, 9}, B = {4, 9, 1, 6}, F = {(3,1), (1,6), (9,6), (4,1)};

      2)  A = B = N (множество натуральных чисел); F = {(x,y)  x  произведение первой и последней цифр числа y}.

9.   A = B = R (множество действительных чисел); xA F(x) = 3+2e^x+4.

10. M = Z (множество целых чисел). Бинарное отношение  задано по правилу: a  b  |a + b| = b².