- •Глава VIII
- •§ 45. Графическая последовательность
- •§ 46. Критерии графичности последовательности
- •§ 47. Реализация графической последовательности с максимальной связностью
- •§ 48. Гамильтонова реализация графической последовательности
- •§ 49. Расщепляемые графы
- •§ 50. Пороговые графы
- •§ 51. Пороговое разложение графа
- •§ 52. Степенное множество графа
§ 51. Пороговое разложение графа
Поскольку граф с одним ребром является пороговым, то любой граф G можно представить в виде объединения
G = G1 U G2 U ... U Gt
пороговых графов G, с совпадающими множествами вершин. Назовем такое представление пороговым разложением графа G. Минимальное число t компонент в пороговых разложениях графа G назовем пороговым числом графа G и обозначим через th(G).
Параметр th(G) связан с минимизацией числа линейных неравенств, задающих булеву функцию. Рассмотрим эту связь. Пусть
— система линейных неравенств с вещественными коэффициентами и правыми частями, В — {0, 1}, Вп — множество всех бинарных векторов (х1 ,х2 ,.., хп) длины п. Определим булеву функцию ƒ: Вп->В, положив f (х1 ,х2 ,.., хп) = 0 тогда и только тогда, когда вектор (х1 ,х2 ,.., хп) удовлетворяет системе (1). Будем говорить, что функция f определяется системой неравенств (1). Тем самым множество нулей булевой функции, определяемой системой линейных неравенств, совпадает с множеством (0, 1)-решений этой системы.
Теорема 51.1. Любая булева функция определяется некоторой системой линейных неравенств.
Известно, что всякая булева функция ƒ от п переменных может быть задана своей совершенной дизъюнктивной нормальной формой (совершенной д. н. ф.):
где (σ1, σ2, ... , σn) пробегает множество всех единиц функции ƒ,
(см., например, [32]).
Легко видеть, что каждая конъюнкцияg вида
определяется одним линейным неравенством. В самом деле, пусть, для определенности,
Рассмотрим неравенство
Бинарный вектор х = (х1 ,х2 ,.., хп) не удовлетворяет этому неравенству только при условиях
х1= х2 = …= хп =1
Но эти же условия необходимы и достаточны для того,чтобы вектор х был единицей функции ƒ. Аналогично, конъюнкция
определяется неравенством
Итак, каждая элементарная конъюнкция, входящая в совершенную д. н. ф. функции ƒ, определяется одним линейным неравенством. Очевидно, что функция ƒ определяется системой этих неравенств.
Минимальное число t неравенств в системах, задающих функцию ƒ, называется пороговым числом функции ƒ и обозначается через t(f). Если функция ƒ графическая, т. е. ƒ = 0 или ƒ — монотонная булева функция, все нижние единицы которой имеют норму 2, то, как показано в 28, этой функции соответствует граф G t , множество характеристических векторов независимых подмножеств вершин которого совпадает с множеством нулей функции ƒ.
Теорема 51.2. Для любой графической функции f верно равенство
t(f) = th(Gt). (2)
Пусть ƒ — графическая функция,
Gt = Gi U G2 U ... U Gt
пороговое разложение графаGt. Тогда система fGt всеx независимых подмножеств вершин графа Gt есть пересечение
Аналогичных систем для пороговых графов Ga. Множество характеристических векторов элементов системы fGa совпадает с множеством бинарных решений линейного неравенства, являющегося разделяющим для графа Ga. Из неравенства (3) следует, что множество бинарных решений системы из t таких неравенств есть множество характеристических векторов элементов из fGf, т. е. множество нулей функции f. Следовательно, эта система неравенств задает функцию f, и потому t(f) ≤ t. Итак, t(f) ≤ th(Gi).
Обратно, пусть функцияf задается некоторой системой линейных неравенств (1). Следующим образом построим t графов G'h (k = 1, t) : VG'h = {1,2, ...,n}, ij € EG'h тогда и только тогда, когда i ≠ j и αki + αkj > βk. Очевидно , что
Предположим, что какой-либо из графов G'h не является пороговым. Тогда в нем есть порожденный подграф, запрещенный следствием 50.3; пусть это подграф, показаный на рис. 50.2, где пунктирные линии означают отсутствие соответствующих ребер. Из определения графа G'h следует, что
то последняя система неравенств противоречива, следовательно, G'h — пороговый граф. Итак, (3')—пороговое разложение графа Gf. Поэтому th(Gf) ≤ t и, следовательно, th(Gf) ≤ t(f). Равенство (2) доказано.
Вычисление порогового числа произвольного графа G и, тем более, построение соответствующего порогового разложения графа — крайне трудные задачи. Пороговое число можно оценить с помощью числа независимости ao(G), однако последнее так же трудно вычислимо.
Теорема 51.3 (В. Хватал, П. Хаммер, 1977 г.).Для любого непустого графа G порядка п верно неравенство
Пусть S — наибольшее независимое множество вершин графа G%
VG\S = {u1 ,u2, ..., uh}.
Обозначим черезEi множество ребер графа G, инцидентных вершине ui (i = 1, k). Поскольку ребра, входящие в Еi, составляют звезду, являющуюся согласно теореме 50.9 пороговым графом, то и граф Gi = (VG, Еi ) пороговый. Но
Следовательно, (6) — пороговое разложение графаG. Поэтому th(G) ≤ k= п — ao (G), т. е. верно неравенство (4). Пусть теперь в графе G нет треугольников и пусть
— пороговое разложение с минимальным числом компонент. В пороговом графе G< также нет треугольников. Из теоремы 50.9 следует поэтому, что граф Gi является звездой или получается из звезды в результате присоединения изолированных вершин. В любом случае в графе Gi есть вершина ui инцидентная всем его ребрам. Так как U EGi = EG, то множество VG\{ u1 , u2, ..., ut) независимо в графе G. Следовательно, ao(G) ≥ n — th(G), что вместе с неравенством (4) приводит к равенству (5).
Заметим, что равенство (5) может быть верным и для графа с треугольниками. Таков, например, граф на с. 51.1.
Поскольку для любого n-вершинного графа G верно равенство ao(G)+ β0(G) = n (теорема 25.5), где βo(G)— число покрытия графа G, то из предыдущей теоремы вытекает
Следствие 51.4. Для любого графа G, не содержащего треугольников, верно равенство th (G)= βo(G).
В частности, любой двудольный граф не содержит треугольников. Кроме того, для двудольного графа G верно равенство (G) = a1(G), где a1(G) — число паросочетания (теорема 32.1). Поэтому из теоремы 51.3 вытекает
Следствие 51.5. Для любого двудольного графа G верно равенство th(G) = a1(G).
Таким образом, в классе двудольных графов параметр (G) вычисляется несложно.