9_Колебания систем с многими степенями св

2. Колебания упругих систем с многими степенями свободы

2.1. Свободные колебания

J_j (t)= −m_jÿ_j(t)

при j = 1, 2, ……n.

y_k(t)=δ_k1J₁(t) + δ_k2J₂(t) + ...+

+ δ_kkJ_k(t) + ... +

+ δ_kjJ_j(t) + δ_knJ_n(t)

y_k1(t)+ δ_k1 m₁ÿ₁(t)+

+ δ_k2 m₂ÿ₂(t) + ...+

+ δ_kk m_kÿ_k(t)+ ... +

+ δ_kn m_nÿ_n(t) = 0

y_k(t)=a_k sinωt,

ÿ_k(t)= −ω² a_k sinωt.

a₁δ_k1 m₁ω²+ a₂δ_k2 m₂ω²+ ...+ +a_k(δ_kk m_kω²−1)+ ... +

+a_nδ_kn m_nω² = 0

a₁δ_k1 m₁+ a₂δ_k2 m₂+ ...+

+a_k(δ_kk m_k – 1/ω²)+ ... +

+a_nδ_kn m_n = 0

k = 1, 2, ……n

1. a_k = 0 2. a_k ≠ 0

1. D(B) = ∏ λ_i

2. S_p B =∑b_ii = ∑ λ_i

Пример 6.

.

λ= 2EI/9mω²

.

(8 – λ)(4 – λ) − 3·6 = 0

λ ² – 12 λ + 14 = 0

λ ₁ = λ_max= 10,69; λ ₂ = 1,31.

Проверки:

1. D(B) = 8·4 – 3·6 = 14;

∏ λ_i = 10,69·1,31 = 14,0039

D(B) ≈ ∏ λ_i

погрешность 0,0028 %

2. S_p B =∑b_ii = 8 + 4 = 12;

∑ λ_i = 10,69 + 1,31=12.

S_p B =∑ λ_i.

(8 – λ_i)v_1i + 6v_2i = 0,

3v_1i + (4 – λ_i)v_2i = 0

.

1 – я форма колебаний:

λ ₁ = λ_max= 10,69.

(8 – λ₁)v₁₁ + 6v₂₁ = 0,

если v ₁₁ =1, v₂₁ = 0,448

2 – я форма колебаний:

λ ₂ = 1,31

(8 – λ₂)v₁₂ + 6v₂₂ = 0

если v₁₂ =1, v₂₂ = – 1,116.

2. Вынужденные

колебания

при действии вибрационной нагрузки

.F(t) = Fsinθt; q(t) = qsinθt; M(t) = Msinθt

S(t) = S sinθt; Δ(t) = Δ sinθt

y_k(t)=δ_k1J₁(t) + δ_k2J₂(t) + ... + +δ_kkJ_k(t) + ... + +δ_knJ_n(t)+Δ_kFsinθt

y_k(t)=a_k sinθt,

J_k (t)= −m_kÿ_k(t) = a_km_k θ² sinθt = J_k sinθt.

J_k=a_km_kθ²

a_k = J_k /m_kθ².

J_ksinθt/m_kθ²= δ_k1J₁sinθt+ +δ_k2J₂sinθt+ ...+ δ_kk J_ksinθt+ ...+ δ_knJ_nsinθt +Δ_kFsinθt

δ_k1J₁+ δ_k2J₂ + ...+

+ (δ_kk −1/m_kθ²)J_k +

+...+ δ_knJ_n + Δ_kF = 0

δ_k1J₁+ δ_k2J₂ + ...+ J_k + ...+ +δ_knJ_n + Δ_kF = 0

(k = 1, 2, ……n)

S_k = S_k1J₁+ S_k2J₂ + ...+

+ S_kk J_k + ...+ S_knJ_n + S_kF,

Пример 7. Построить M_дин

при F(t) = 120sinθt (кН), θ = 0,7ω_min.

Расчетная схема при sinθt =1

− 62,224J₁ + 13,5J₂ + 1620 = 0,

13,5J₁ − 40, 112J₂ +1080 = 0

J₁ = 34,387 кН, J₂ = 38,498 кН

M_дин = M₁ J₁ + M₂ J₂ + M_F

Относительные жёсткости стержней рамы:

• стойки i₁ = EI/6 = i;

• левого ригеля i₂ = 2EI/8 = 1,5i;

• правого ригеля i₃ = 1,5EI/6 = 1,5i.

Свободные колебания

Состояние 1

,

Состояние 2

Вспомогательное состояние 1

Вспомогательное состояние 2

Умножим все члены на EI/0,466m

Обозначим λ= EI/(0,466mω²)

.

(13,815 – λ)(3,94 – λ) − 2 = 0

λ ² – 17,555 λ + 52,431 = 0

λ ₁ = λ_max= 14,0135; λ ₂ = 3,7415

Проверки:

1-я проверка: D(B) = 13,815·3,94 – 2·1 = 52,4311

∏ λ_i = 14,0135·3,7415 = 52,4315

D(B) ≈ ∏ λ_i погрешность 0,003

2-я проверка: S_p B =∑b_ii = 13,815 + 3,94 = 17,755

∑ λ_i = 14,0135 + 3,7415 = 17,755

S_p B =∑ λ

Построение форм колебаний:

(13,815 – λ_i)v_1i − v_2i = 0,

−3v_1i + (3,940 – λ_i)v_2i = 0

1 – я форма колебаний.

λ ₁ = λ_max= 14,0135

(13,815 – λ₁)v₁₁ − v₂₁ = 0,

Если v₁₁ =1, то v₂₁ = − 0,1985

2 – я форма колебаний.

λ ₂ = 3,7415.

(13,815 – λ₂)v₁₂ − v₂₂ = 0,

Если v₁₂ =1, то v₂₂ = 10,0735

Вынужденные колебания

r₁₁Z₁ + R_1F = 0

R_1F = 42 кН∙м

Z₁= − R_1F / r₁₁ = − 42/14,5i (рад)

− 5,499 J₁ − 0,466 J₂ + 49,38 = 0,

− 0,466 J₁ − 15,998 J₂ − 19,551 = 0

J₁ = 9,109 кН, J₂ = −1,526 кН

M_дин = M₁ J₁ + M₂ J₂ + M_F

Пример 9. Построить M_дин

при F(t) = 6sinθt (кН)и θ = 0,8ω_min.

Расчетная схема при sinθt =1

− 25,312 J₁ + 405 = 0

J₁ = 16 кН

M_дин = M₁ J₁ + M_F

3. Учет симметрии

в задачах

динамики

Способ группировки

Симметричные колебания

Кососимметричные колебания

Расчет симметричной части

Симметричные колебания

Кососимметричные колебания

4. Приближенные

способы определения

частот свободных колебаний

• Энергетический способ

U + V = const

U_max = V_max

y(x,t) = y(x) sin ωt

• Способ приведенных масс

V=V_пр

y(x,t) = y(x) sin ωt

Способ приведенных масс

.

Энергетический способ

Погрешность 1,77%

M(x) = 0,5qlx – 0,5qx² – ql²/12

_{Граничные условия:}

x = 0 yꞌ = 0, откуда D₁ = 0

x = 0 у = 0, откуда D₂ = 0

y(x) = a(x⁴ – 2x³l + x²l²), где a = q/24EI

Способ приведенных масс

Энергетический способ