Текст

Глава 2 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ

НА ДЕЙСТВИЕ НЕПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ

2.1. Общие положения и свойства статически определимых систем

Статически определимой называют систему, в которой все реакции связей и усилия в любых сечениях могут быть определены при помощи уравнений рав-

новесия всей системы или составляющих ее частей.

Как известно из раздела «Статика» курса теоретической механики уравнения равновесия зависят от действующих на расчетную схему систем сил. Перечень этих уравнений представлен в табл. 2.1.

На основании аксиомы затвердевания, сформулированной в курсе теорети-

ческой механики мы вправе любую систему твёрдых тел (расчётную схему со-

оружения) в состоянии равновесия рассматривать как одно твёрдое тело. Затем,

мы можем систему тел разделить на отдельные твёрдые тела (элементы расчёт-

ной схемы), заменив действие связей их реакциями, и рассмотреть равновесие отдельных тел. В некоторых случаях выгоднее разделить расчётную схему не на отдельные элементы, а на их совокупность, и рассмотреть равновесие каж-

дой части. Таким образом, при расчёте сооружения мы вправе использовать не одну расчётную схему, а несколько.

Всё выше сказанное позволяет сформулировать еще один основной принцип строительной механики, обычно называемый методом сечений: под действи-

ем внешних и внутренних сил любая отсечённая часть расчётной схемы, или вся схема, отделённая от опор, должны находиться в равновесии.

41

Таблица 2.1

Уравнения равновесия

	Номера групп	Уравнения равновесия для различных систем сил
	уравнений
	1		Силы на одной прямой
		Алгебраическая сумма:		∑ F=0.
	2	Сходящиеся силы на плоскости
		Суммы проекций:		∑ X=0;		∑ Y =0.
		Параллельные силы на плоскости
		Две формы записи для силы параллельных оси y):
	3	∑ Y=0;	∑ M0 =0 и		∑ M0 =0;		∑ MA =0,
		0, A – произвольные (моментные) точки на плоскости, прямая
			0А не параллельна силам.
	4		Пара сил на плоскости
		Алгебраическая сумма:		∑ M=0.
		Произвольная плоская система сил
		Три формы записи уравнений:
		∑ X =0;		∑ Y =0;		∑ M0 =0;
	5	∑ U =0;		∑ MA =0;		∑ MB =0;
		∑ M0 =0;		∑ MA =0;		∑ MB =0,
		0, А, В – произвольные (моментные) точки, не лежащие на од-
				ной прямой;
		U – произвольная ось, не перпендикулярная АВ.
	6	Сходящиеся силы в пространстве
		Суммы проекций:	∑ X =0;		∑ Y =0;		∑ Z =0.
			Пары сил в пространстве
	7	Суммы моментов:	∑ Mx =0;		∑ My =0;		∑ Mz =0.

42

				Оконч. табл. 2.1
	Произвольная система сил в пространстве
8	Суммы проекций	∑ X =0;	∑ Y =0;	∑ Z =0;
	суммы моментов:	∑ Mx =0;	∑ My =0;	∑ Mz =0.
	Параллельные силы в пространстве
9	Для сил, параллельных оси z:
		∑ Z =0;	∑ Mx =0;	∑ My =0.

Примечание: В табл. 2.1 при записи уравнений равновесия принята сокра-

щённая запись без указания индексации сил и пар сил, входя-

щих в уравнения.

Как видно из табл. 2.1, в общем случае для плоского тела уравнений равно-

весия – 3 , для пространственного – 6. При расчленении расчётной схемы на отдельные элементы (при общем числе элементов – n) мы получим общее число уравнений равновесия: для плоских расчётных схем – 3 n, для пространствен-

ных – 6 n.

В подразд. 1.5 при проведении кинематического анализа были получены со-

отношения для определения степени свободы расчётных схем и даны понятия о числе необходимых, недостающих и избыточных связей.

Таким образом, исходя из соотношения количества связей в расчётных схе-

мах, количество уравнений равновесия и обязательного условия геометриче-

ской неизменяемости, можно сделать вывод, что статически определимой на-

зывается геометрически неизменяемая расчётная схема, не содержащая избы-

точных связей.

Степень свободы такой расчётной схемы W = 0, реакции связей такой схе-

мы, как внешние, так и внутренние, можно определить, используя только урав-

нения равновесия.

Следовательно, в статически определимой расчётной схеме число неиз-

вестных реакций в связях, подлежащих определению, равно числу независимых уравнений равновесия, которые можно составить для этой схемы.

43

Геометрически неизменяемая, но содержащая избыточное число связей рас-

четная схема, является статически неопределимой.

Таким образом, в статически неопределимой расчётной схеме число неиз-

вестных реакций в связях, подлежащих определению, всегда больше числа неза-

висимых уравнений равновесия, которые можно составить для данной схемы.

Статически определимые расчетные схемы обладают рядом характерных свойств:

1. Усилия в сечениях и реакции в связях статически определимых систем не зависят от размеров сечений ее элементов, напряжений, деформаций и физико-

механических свойств материала.

2. Каждой нагрузке статически определимой расчетной схемы соответству-

ет единственная система значений реакций и усилий, т.е. единственное и дейст-

вительное решение.

3.Влияние нагрузки на статически определимую расчетную схему, со-

стоящую из нескольких элементов (дисков), зависит от ее расположения.

Например, для расчетной схемы (рис. 2.1, а), схема образования, полученная на основании подразд. 1.5, показана на рис. 2.1, б. В этой схеме диск Д1 – ос-

новной, так как связан тремя связями с основанием в точке А. Диски Д2 и Д3 –

второстепенные, так как присоединены к основному по принципу последова-

тельного опирания. Если силой F загрузить диск Д1 (рис. 2.1, в), то реакции в связях и усилия возникнут только в этом диске; диски Д2 и Д3 будут нерабочи-

ми. Если же силой F загрузить диск Д2 (рис. 2.1, г), то реакции в связях и уси-

лия возникнут как в диске Д2, так и в основном диске Д1, точка В которого яв-

ляется опорой для диска Д2; диск Д3 останется нерабочим.

Следовательно, нагрузка расположенная на основном диске расчетной схе-

мы, вызывает усилия только в этом диске; нагрузка, расположенная на второ-

степенном (прикрепленном) диске, вызывает усилия как в этом диске, так и в том, который является основой для его прикрепления.

44

4. Если нагрузка, представляющая собой систему уравновешенных сил, при-

ложена к части статически определимой расчетной схемы, то усилия во всех остальных ее частях равны нулю.

На рис. 2.2, а показан пример такой нагрузки: она состоит из двух сил F, на-

правленных навстречу друг другу по линии, соединяющей узлы А и В простой балочной фермы. Можно утверждать, что опорные реакции фермы и усилия в стержнях, кроме выделенных на рис. 2.2, б, равны нулю.

5. Изменение геометрической структуры, размеров и формы какойлибо части статически определимой расчетной схемы при условии, что она остается геометрически неизменяемой, и не меняются условия ее сопряжения с другими частями, не оказывает никакого влияния на усилия в этих частях схемы.

Например, на рис. 2.3 а и б изображены расчетные схемы, отличающиеся друг от друга формой и геометрической структурой элемента DE; остальные части схем одинаковы. При действии одинаковой нагрузки в виде сосредото-

ченной силы F, усилия в частях ABD и BCE, будут одинаковы.

6.При возможных эквивалентных преобразованиях нагрузки, приложенной

кчасти статически определимой расчетной схеме, усилия в остальных частях остаются без изменения.

Например, в трехшарнирной раме, состоящей из двух дисков AB и BC (рис. 2.4, а), левая часть загружена равномерно распределенной нагрузкой q на уча-

стке длиной l. Если нагрузку q заменить ее равнодействующей R=ql (рис. 2.4,

б), то реакции в опорных связях А, В и шарнире С не изменятся. Следовательно,

усилия в незагруженной части ВС также останутся низменными.

7. В статически определимой расчетной схеме появление начальных де-

формаций, вызванных изменением температуры, неравномерной осадкой опор или неточностью изготовления стержней, не приводит к появлению усилий.

45

2.2. Усилия в поперечных сечениях элементов расчетных схем

Сопротивление тел, оказываемое действующим на них нагрузкам, обуслав-

ливается наличием в этих телах внутренних сил, природа которых объясняется теорией молекулярного строения материи. При действии на тело внешних сил внутренние силы изменяются – появляются дополнительные внутренние силы,

которые в дальнейшем и будем называть внутренними силами или усилиями.

Эти усилия и являются предметом нашего изучения, так как именно они харак-

теризуют способность тела сопротивляться внешним воздействиям.

При определении внутренних сил применяется метод сечений, сформулиро-

ванный в подразд. 2.1.

Рассмотрим элемент конструкции, на который действует произвольная сис-

тема внешних сил, находящихся в равновесии. Мысленно рассечём элемент плоскостью I (рис. 2.5, а) и отбросим одну из частей тела (например, правую),

заменив её действие на оставшуюся часть внутренними силами. Эти силы в общем случае являются произвольными и могут быть приведены к главному моменту M ГЛ и главному вектору RГЛ (рис. 2.5, б), действующими в центре тя-

жести сечения 0.

Главный вектор по правилу параллелепипеда сил можно разложить на три направления по местным координатным осям. В результате получим три силы:

N, Qy и Qz. Аналогично разложив вектор главного момента, получим Mx, My и

Mz.

Полученные силовые факторы носят названия (рис. 2.5, в):

N – продольной силы в сечении;

Qy и Qz –	поперечных сил в сечении в направлении осей y и z соответственно;
Mx =MK –	крутящего момента в сечении;
My и Mz –	изгибающих моментов в сечении в плоскостях x0z и x0y соответст-
венно.

46

Указанные силовые факторы (усилия в сечении) могут быть определены из уравнений равновесия (табл. 2.1) для отсечённой части элемента или части расчётной схемы.

В случае действия плоской произвольной системы сил (рис.2.6, а), проводя сечение I-I, получим три силовых фактора (рис.2.6, б и в):

N – продольную силу в сечении;

Q – поперечную силу в сечении;

M =Mгл – изгибающий момент в сечении в плоскости действия нагрузки.

Для плоской системы три усилия в сечении могут быть определены из урав-

нений равновесия (табл. 2.1) для отсечённой части элемента или расчётной схемы.

Указанным усилиям соответствуют следующие виды деформаций:

• растяжение или сжатие – при появлении в поперечном сечении продоль-

ной силы N;

• сдвиг в направлении какой либо оси – при появлении в поперечном сече-

нии соответствующей этому направлению поперечной силы Q;

•кручение – при появлении в поперечном сечении крутящего момента Mк ;

•изгиб в какой-либо плоскости – при появлении в поперечном сечении из-

гибающего момента, действующего в этой плоскости.

Появление в поперечном сечении нескольких видов усилий приводит к сложным видам деформации (сложному сопротивлению).

Из курса сопротивления материалов известны правила определения усилий,

основанные на методе сечений. Напомним их для случая плоского изгиба:

•изгибающий момент М в любом сечении стержня численно определяется как алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на стержень по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно центра тяжести этого сечения.

•поперечная сила Q в любом сечении стержня численно определяется как сумма проекций всех сил, действующих на стержень по одну сторону от рас-

сматриваемого сечения, на нормаль к оси стержня в этом сечении.

47

• продольная сила N в любом сечении стержня численно определяется как сумма проекций всех сил, действующих на стержень по одну сторону от рас-

сматриваемого сечения, на касательную к оси стержня в этом сечении.

При плоском изгибе должны выполняться следующие дифференциальные зависимости:

dQ	= −q(x) ,	dM	= Q ,	dM 2	= −q(x) .	(2.1)
				dx2
dx		dx

Для горизонтально ориентированного стержня используются следующие правила знаков для поперечной силы и изгибающего момента:

•поперечную силу считать положительной, если она направлена так, что стремится повернуть элемент стержня по часовой стрелке, т.е. действует по отношению к рассматриваемому сечению по часовой стрелке (рис.2.7, а);

•изгибающий момент считать положительным, если он изгибает элемент стержня выпуклостью вниз, вызывая растяжение нижних волокон (рис. 2.7,

б);

Примечание. При построении эпюры изгибающих моментов ее ординаты

принято откладывать со стороны растянутого волокна сечения без проставле-

ния знака.

• продольную силу считать положительной, если она направлена от рас-

сматриваемого сечения (рис.2.7, в).

Дифференциальные зависимости (2.1), как указано в курсе сопротивления материалов позволяют сформулировать ряд положений, облегчающих построе-

ние эпюр изгибающих моментов и поперечных сил и служащих проверками правильности их построения.

• На участке, где отсутствует распределённая нагрузка (q = 0), поперечная сила постоянна, изгибающий момент изменяется по линейной зависимости,

тангенс угла наклона эпюры M равен поперечной силе Q . В принятой местной системе координат положительное значение этого угла определяется поворо-

том по часовой стрелке от оси x в сторону положительного направления оси y.

48

•Если поперечная сила на участке равна нулю, эпюра М постоянна –

чистый изгиб.

• На участке действия равномерно распределённой нагрузки поперечная си-

ла изменяется по линейному закону (тангенс угла наклона эпюры Q равен ин-

тенсивности нагрузки q), а изгибающий момент – по квадратичной зависимо-

сти, у которой выпуклость направлена в сторону действия нагрузки. При этом перепад ординат эпюры Q равен величине действующей на участке нагрузки,

те. ql, а «подвеска» параболы соответствует балочной эпюре изгибающих мо-

ментов.

Если на этом участке поперечная сила в одном из сечений равна нулю, то из-

гибающий момент в этом сечении принимает экстремальное значение Mэкс

(максимум или минимум), и касательная к эпюре M параллельна оси стержня.

• На участке действия распределённой нагрузки, изменяющейся по линей-

ному закону, поперечная сила изменяется по квадратичной зависимости, а из-

гибающий момент – по кубической. Выпуклость эпюры Q устанавливается в зависимости от характера изменения распределённой нагрузки по дифференци-

альной зависимости (2,1). Выпуклость эпюры M обращена в сторону действия распределённой нагрузки.

• В сечении, где приложена внешняя сосредоточенная сила F, на эпюре Q

будет скачок, равный значению этой силы и направленный в ту же сторону (при обходе участка стержня слева направо). Эпюра M в указанном сечении будет иметь перелом, направленный в сторону действия силы.

• В сечении, где приложена внешняя сосредоточенная пара, на эпюре M бу-

дет скачок, равный моменту пары, а углы наклона эпюры M слева и справа от места приложения пары – одинаковые. При обходе стержня слева направо ука-

занный скачок будет направлен сверху вниз, если внешняя пара действует по часовой стрелке, и снизу вверх при направлении пары против часовой стрелки.

На эпюре Q изменений не будет.

Все выше приведённые положения позволяют строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по участкам стержня без составления аналитиче-

49

ских выражений для Q и M, а непосредственно по их значениям в расчётных сечениях.

Все выше приведённые положения позволяют строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по участкам стержня без составления аналитиче-

ских выражений для Q и M, а непосредственно по их значениям в расчётных сечениях.

2.3. Балки и простейшие рамы

Определение усилий в сечениях простых балок достаточно широко пред-

ставлено в курсе сопротивления материалов, поэтому здесь не приводится.

В сечениях статически определимых рам и балок с ломаной осью (которые часто также называют рамами) возникают, как правило, не только поперечная сила и изгибающий момент, но и продольная сила – сжимающая или растяги-

вающая.

При построении эпюр усилий правило знаков для продольной и поперечной сил остаётся прежним, а для изгибающего момента его обычно не вводят, но ординаты эпюры M, как и в простых балках, откладывают со стороны растяну-

тых волокон. Ординаты эпюры Q для горизонтально ориентированных стерж-

ней принято откладывать так же, как было принято в курсе сопротивления ма-

териалов. Для остальных стержней ординаты эпюры Q и ординаты эпюры N от-

кладываются так, чтобы чертёж расчёта был нагляден, с обязательным простав-

лением знака усилия.

При действии ортогональной нагрузки эпюра N на расчётных участках все-

гда постоянна. Она может быть переменна лишь в случае действия нагрузки,

направленной по оси стержня.

Для определения усилий Q, M и N в сечениях расчётной схемы, как и ранее,

используется метод сечений.

Так, для сечения k балки с осью ломаного очертания (рис. 2.8, а) усилия можно определить из равновесия одной из отсечённых частей расчётной схемы

(рис. 2.8, б) – верхней или нижней. Очевидно, что в данном случае определение

50