2.5. Погрешность косвенных измерений.

Задача ставится так: пусть искомая величина z определяется через другие величины а, b, с …, полученные при прямых измерениях

z = f (a, b, с…,). (1.12)

Необходимо найти среднее значение функции и погрешность ее измерений, т.е. найти доверительный интервал

z = z ± z (1.13)

при надежности  и относительную погрешность ε_z=z/<z>.

Что касается <z>, то оно находится путем подстановки в правую часть (1.11) вместо а, b, с… их средних значений

z = f (<a>, <b>, <с>…). (1.14)

Абсолютная погрешность косвенных измерений z является функцией абсолютных погрешностей прямых измерений и вычисляется по формуле

(1.15)

Здесь – частные производные функции f по переменным a, b.

Если величины а, b, с… в функцию z = f (a, b, с…) входят в виде сомножителей в той или иной степени, т.е. если

z = a^k·b^l·c^m, (1.15)

то сначала удобно вычислить относительную погрешность

(1.16)

а затем абсолютную

∆z = ε_z<z>. (1.17)

Формулы для z и ε_z часто приводятся в справочной литературе.

Примечание. Погрешность округления при вычислениях - см. п2.3.3.

3. Порядок обработки результатов измерений

3.1. Прямые измерения.

1). Вычислить среднее значение для n измерений:

2). Найти погрешности отдельных измерений: x_i = x_i – <x>

3). Вычислить квадраты погрешностей

отдельных измерений:

4). Вычислить сумму квадратов погрешностей

отдельных измерений:

5). Задать надежность  и по таблице определить коэффициенты Стьюдента t_α,n и t_α,∞. (для учебных целей при выполнении лабораторной работы принимаем  = 0,95).

6). Определить систематические погрешности:

а) действительную приборную погрешность

(стандартное отклонение)

(для определения x_пр – см. п.2.3.1.)

б) погрешность округления при измерении

( - см. п.2.3.3.)

7). Найти полную погрешность результата измерений (полуширину доверительного интервала):

8). Найти относительную погрешность

9). Записать окончательный результат в виде x = <x> ± x, ε = …, при  =…

3.2. Косвенные измерения.

1. Для каждой величины, измеренной прямым способом, входящей в формулу для определения искомой величины z = f(a, b, c…), провести обработку, как указанно выше.

Определить среднее значение искомой величины z = f(<a>, <b>, <c>…)

Оценить полуширину доверительного интервала для результата косвенных измерений , где производные … вычисляются при a = <a>, b = <b>.

Определить относительную погрешность результата

Если зависимость z от a, b, c… имеет вид z = a^kb^lc^m, где k, l, m – любые действительные числа, то сначала следует найти относительную ошибку

а затем абсолютную z = ε(z).

Окончательный результат записать в виде z = <z> ± z…%, при  =…

Примечание:

При обработке результатов прямых измерений нужно следовать следующему правилу: численные значения всех рассчитываемых величин должны содержать на один разряд больше, чем исходные (определенные экспериментально) величины.

При косвенных измерениях вычисления производить по правилам приближенных вычислений.

В окончательной записи абсолютной погрешности следует оставлять только одну значащую цифру. (Если этой цифрой окажется 1 или 2, то после нее сохраняют еще одну цифру).

Среднее значение округляется до того же результата, что и абсолютная погрешность.

Например:

V = (375,21 ± 0,02) см³ = (3,7521 ± 0,0002)·10² см³

I = (5,530 ± 0,013) А

А = (57,5 ± 0,7)·10^-2 Дж