Примеры решения задач контрольных работ

Примеры решения задач контрольных работ

ТЕМА 1. Системы линейных уравнений. Матрицы и действия с ними. Определители и их основные свойства. Методы решения систем линейных уравнений. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб. для вузов.-5-е изд., стер. - М.: Физматлит, 2002. – 317 с. Беклемишев Д. В. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии: - М.: Физматлит, 2003. – 303 с. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учеб. пособие для втузов / ред. Ефимов Н. В. – 17-е изд., стер. – СПб: Профессия, 2001. – 199 с. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов: в 3т.-5-е изд., стер.-М.:Дрофа.- (Высшее образование. Современный учебник). т.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.-2003.-284 с. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я -6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.1. -2002.-304 с. Решение типового варианта контрольной работы. Задача 1. Вычислить определитель . Решение. Для вычисления определителя третьего порядка будем использовать известную формулу Саррюса (правило треугольников), которое может быть записано следующей формулой: Ответ: 0. Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера. Решение: Решим систему матричным способом, для этого вычислим обратную матрицу , где - алгебраические дополнения к элементам матрицы.	- матрица невырожденная. Решим систему методом Крамера. Главный определитель системы:
. Разложим определитель по элементам первой строки, пользуясь формулой . Запишем и вычислим вспомогательные определители Тогда ; ; Ответ: Решим систему методом Гаусса, для этого составим расширенную матрицу системы и упростим ее приведением к треугольному виду.     Таким образом, система равносильна системе	Находим ; ; Ответ: , , При решении всеми методами одной и той же системы, мы получим один ответ. Задача 3. Выполнить действия: Решение. Выполним решение по действиям. = Ответ: . Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Если , , то произведением матрицы называется матрица , такая, что , где
. Пример: Произведение не определено, так как число столбцов матрицы А (3) не совпадает с числом строк матрицы В (2). Произведение определено. ТЕМА 2. Векторная алгебра. Линейные действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число). Нелинейные действия с векторами (скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение). Решение задач с помощью векторной алгебры. Условие коллинеарности, условие перпендикулярности, условие компланарности векторов. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Бугров Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский.-М. : Наука, 1980.-175 с. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д. В. Клетеник. - М. - Наука, 1975. - 239 с. Привалов И.И. Аналитическая геометрия / И. И. Привалов. - М.: Гос. изд-во физ. - мат. лит-ры, 1961. - 229 с. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П. Е. Данко, А. Г. Попов. - М. : Высшая математика, 1974. - 415 с. Решение типового варианта контрольной работы. Задание 1: Коллинеарны ли векторы и , разложенные по векторам и , где Решение:1. Вычислим проекции векторов на оси координат:	2. Два вектора коллинеарны, если их проекции на оси координат пропорциональны, следовательно, проверим пропорциональность проекций векторов на оси координат: не коллинеарны. Задание 2: Перпендикулярны ли векторы ? Решение: Два вектора перпендикулярны , если их скалярное произведение равно 0,скалярное произведение векторов, заданных проекциями на оси координат, вычисляется по формуле:, где вычислим скалярное произведение: векторы не перпендикулярны. Задание 3: Компланарны ли векторы ? Решение: Три вектора компланарны, если смешанное произведение векторов равно 0, смешанное произведение векторов вычисляется по формуле: , где вычислим смешанное произведение векторов: векторы не компланарны. Задание 4: При каком значении векторы где , перпендикулярны? Решение: 1) Для определения , при котором векторы перпендикулярны, необходимо использовать условие перпендикулярности двух векторов (это условие было рассмотрено в задании 2) мы сможем найти из условия: , для этого найдем проекции
векторов и на оси координат, заданных координатами точек начала и конца вектора. В этом случае проекции вектора на оси координат равны разности координат точек, задающих конец и начало вектора Итак: векторы и перпендикулярны при и при Задание 5: Даны точки: Найти: пр; ; ; орт вектора ; ; ; Решение: 1. Из определения скалярного произведения следует, что проекцию вектора на вектор можно вычислить по формуле: пр где скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: где и длина вектора: итак ,в нашем случае, формула принимает вид: для нахождения необходимо найти проекции векторов на оси координат, заданных координатами точек начала и конца векторов, скалярное произведение и длину соответствующего вектора:	на основании формулы, выше написанной, получим : пр; 2. Для нахождения длины вектора воспользуемся формулой:, для этого найдем проекции векторов на оси координат (смотри пункт 1), так же найдем сумму векторов по правилу сложения векторов, заданных проекциями на оси координат: Итак: 3. Угол между векторами можно найти из определения скалярного произведения: в нашем случае формула принимает вид: находим проекции векторов на оси координат (смотри пункты 1 и 2), вычисляем скалярное произведение векторов, заданных своими проекциями на оси координат, вычисляем длины векторов:
Итак 4. Направление вектора определяется углами , образованными им с осями координат Косинусы этих углов (направляющие косинусы вектора) определяются по формулам: Направляющие косинусы вектора связаны соотношением мы имеем вектор единичной длины, такой вектор называется ортом для нахождения орта вектора необходимо каждую проекцию вектора на оси координат разделить на его длину орт вектора . 5. Скалярное произведение векторов вычисляем по формуле: (см. пункты 1 и 2), вычислим проекции векторов на оси координат и скалярное произведение векторов: Итак: 6. Векторное произведение векторов вычисляется по формуле:	, где Находим проекции векторов на оси координат: Итак: 7. Смешанное произведение векторов вычисляется по формуле: , где Итак Задание 6: Даны координаты вершин пирамиды: Вычислить: объем пирамиды; длину ребра ; площадь грани Решение: 1. Объем пирамиды равен объема параллелепипеда, а объем параллелепипеда вычисляется на основании геометрического смысла смешанного произведения объем параллелепипеда, построенного на векторах как на
ребрах равен: Найдем проекции соответствующих векторов на оси координат: Тогда объем пирамиды равен: 2. Длина ребра ; (смотри пункт 5,3) 3. Площадь грани вычисляется по формуле: так как грань треугольник, а площадь треугольника можно вычислить как половину площади параллелограмма, а площадь параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, на которых построен параллелограмм на основании свойств векторного произведения найдем проекции векторов на оси координат: ТЕМА 3. Аналитическая геометрия Уравнения линии в декартовой системе координат. Параметрические уравнения линии. Плоскость, прямая на плоскости и в пространстве. Линии второго порядка. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб. для вузов.-5-е изд., стер. - М.: Физматлит, 2002. – 317 с. Беклемишев Д. В. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии: - М.: Физматлит, 2003. – 303 с. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учеб. пособие для втузов / ред. Ефимов Н. В. – 17-е изд., стер. – СПб: Профессия, 2001. – 199 с. Привалов И. И. Аналитическая геометрия: Учеб. – 33-е изд., стер. – СПб; М.: Лань, 2004. – 299 с. Письменный Д.Т. Конспект лекций по	высшей математике: Полн. курс.-2-е изд.-М.: Айрис-пресс, 2004.-603 с. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа.- (Высшее образование. Современный учебник). т.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.-2003.-284 с. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах: учеб. пособие в 3 т.-СПб: Политехника. т.1. -2003.-704 с. Решение типового варианта контрольной работы Задача №1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;-3), В(5;1),С(3;-4). Не находя координаты вершины D, найти: уравнение стороны AD; уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; длину высоты BK; уравнение диагонали BD; тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж. Решение. Сначала построим чертеж. Построим в прямоугольной декартовой системе координат точки , , . Построим отрезки и . Рис. 1 Достроим полученный рисунок до параллелограмма и нанесем на чертеж высоту BK. Рис. 2
Составим уравнение прямой AD. а) Предварительно найдем уравнение прямой BС. Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид (3.1) По условию , . Подставим координаты точек и в уравнение (3.1): , т.е. . Запишем полученное уравнение в общем виде, то есть в виде . Для этого в последнем уравнении избавимся от знаменателей и проведем преобразования, перенося все слагаемые в левую часть равенства: или . Из этого уравнения выразим : ; . Получили уравнение вида - уравнение с угловым коэффициентом. б) Воспользуемся тем фактом, что противоположные стороны параллелограмма параллельны. Составим искомое уравнение прямой AD как уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой . Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид (3.2) где направление определяется угловым коэффициентом . Условие параллельности двух прямых и имеет вид (3.3) По условию задачи , прямая . Подставим координаты точки в уравнение (3.2): . Так как прямая параллельна прямой , то в силу формулы (3.3) их угловые коэффициенты совпадают. Угловой коэффициент прямой равен , следовательно, уравнение прямой имеет вид . Запишем уравнение прямой в общем виде. Для этого раскроем скобки и все слагаемые перенесем в левую часть равенства: . Умножим обе часть равенства на (-2) и получим общее уравнение прямой : . Запишем уравнение прямой в виде с угловым коэффициентом. Для этого выразим из общего уравнения: .	2) Составим уравнение высоты , проведенной из вершины на сторону как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой . Условие перпендикулярности двух прямых и имеет вид (3.4) Подставим координаты точки в уравнение (3.2): . Так как высота перпендикулярна прямой , то их угловые коэффициенты связаны соотношением (3.4). Угловой коэффициент прямой равен , следовательно, угловой коэффициент высоты равен и уравнение прямой имеет вид . Запишем уравнение высоты в общем виде: . Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом: . 3) Найдем длину высоты как расстояние от точки до прямой . Расстояние от точки до прямой представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую и определяется формулой (3.5) Так как перпендикулярна , то длина может быть найдена с помощью формулы (3.5). По условию , прямая определяется уравнением . В силу формулы (3.5) длина высоты равна = 4) Найдем уравнение диагонали как уравнение прямой, проходящей через точки и , где - середина отрезка . а) Если и , то координаты точки - середины отрезка , определяются формулами , (3.6) По условию , . В силу формул (3.6) имеем: , . Следовательно . б) Так как точка пересечения диагоналей является их серединой, то точка (середина отрезка ) является точкой пересечения диагоналей и диагональ проходит через точку . Воспользуемся уравнением (3.1). По условию ,
. В силу формулы (3.1) уравнение прямой (диагонали ) имеет вид: или . Запишем это уравнение в общем виде: . Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом: . 5) Найдем тангенс угла между диагоналями и . а) Найдем уравнение диагонали как уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Воспользуемся уравнением (3.1). По условию , . Следовательно, . Общее уравнение диагонали имеет вид , уравнение с угловым коэффициентом – вид , угловой коэффициент прямой равен . б) Уравнение диагонали имеет вид , ее угловой коэффициент . в) Тангенс угла между прямыми и определяется формулой Следовательно, . Отсюда . Задача №2. Условие задачи №2 несколько различается в зависимости от номера варианта контрольной работы. Приведем решения простейших задач, входящих в это задание. 1) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , , . Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точки , , имеет вид: (3.7) Тогда уравнение плоскости в силу уравнения (3.7) имеет вид	или . Запишем полученное уравнение в общем виде, т.е. в виде . Для этого раскроем определитель по первой строке . После преобразований получим: . 2) Найти нормальный вектор плоскости . Решение. Нормальный вектор - это вектор, перпендикулярный плоскости. Если плоскость задана общим уравнением , то нормальный вектор имеет координаты . Рис. 3 Для плоскости нормальным является вектор =. Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору = так же является нормальным вектором плоскости . Таким образом, при каждом ненулевом вектор с координатами будет являться нормальным вектором рассматриваемой плоскости. 3) Найти косинус угла между плоскостями и . Решение. Угол между двумя плоскостями и представляет собой угол между их нормальными векторами и определяется равенством Для плоскости координаты нормального вектора определяются равенствами , , . Для плоскости - равенствами , , . Следовательно, =
4) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно плоскости : . Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку , имеет вид (3.8) Подставим в уравнение (3.8) координаты точки : . Условие параллельности плоскостей и имеет вид (3.9) Так как плоскости и параллельны, то в качестве нормального вектора плоскости можно взять нормальный вектор плоскости , т.е. в формуле (3.9) отношение можно принять равным единице. Следовательно, уравнение плоскости примет вид . Запишем это уравнение в общем виде: . 5) Найти расстояние от точки до плоскости : . Решение. Расстояние от точки до плоскости представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, и определяется формулой (3.10) Для плоскости координаты нормального вектора определяются равенствами , , . Следовательно, 6) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки и . Решение. Уравнения прямой, проходящей через точки и имеют вид (3.11) Так как , , то в силу (3.11) получим уравнения или .	7) Найти направляющий вектор прямой . Решение. Направляющий вектор - это вектор, параллельный прямой. Если прямая задана каноническими уравнениями , то направляющий вектор имеет координаты Рис. 4 Для рассматриваемой прямой направляющим вектором является вектор . Отметим, что любой вектор, коллинеарный вектору так же является направляющим вектором прямой . Таким образом, при каждом ненулевом вектор с координатами будет являться направляющим вектором рассматриваемой прямой. 8) Найти косинус угла между прямыми и . Решение. Угол между двумя прямыми и представляет собой угол между их направляющими векторами и определяется равенством Для прямой координаты направляющего вектора определяются равенствами , , . Для прямой - равенствами , , . Значит, = 9) Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку параллельно прямой : .
Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид . Здесь - координаты точки, через которую проходит прямая. В канонические уравнения прямой подставим координаты точки . Получим: . Условие параллельности прямых и имеет вид (3.12) Так как прямые и параллельны, то в качестве направляющего вектора прямой можно взять направляющий вектор прямой , т.е. в формуле (3.12) отношение можно принять равным единице. Следовательно, уравнение прямой примет вид . 10) Найти угол между прямой : и плоскостью : . Решение. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Угол между прямой и плоскостью равен , где - угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости. Рис. 5 Угол между прямой и плоскостью определяется формулой Для плоскости : координаты нормального вектора определяются	равенствами , , . Для прямой : координаты направляющего вектора - равенствами , , . Синус угла между прямой и плоскостью равен = =. Следовательно, . 11) Составить уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно прямой : . Решение. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, имеет вид . Подставим в указанное уравнение координаты точки . Получим: . Условие перпендикулярности плоскости и прямой имеет вид (3.13) Так как искомая плоскость перпендикулярна прямой , то в качестве нормального вектора плоскости можно взять направляющий вектор прямой , т.е. в формуле (3.13) отношение можно принять равным единице. Следовательно, уравнение плоскости примет вид . Запишем это уравнение в общем виде: . 12) Составить канонические уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно плоскости : . Решение. Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку, имеют вид . Подставим в эти уравнения координаты точки . Получим: Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид Так как прямая перпендикулярна плоскости , то в
качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор плоскости , т.е. в формуле (3.13) отношение можно принять равным единице. Следовательно, уравнение прямой примет вид: . 13) Найти координаты точки пересечения прямой : и плоскости : . Решение. Координаты точки пересечения прямой и плоскости представляют собой решение системы (3.14) Запишем параметрические уравнения прямой : и подставим выражения для в уравнение плоскости : . Отсюда ; . Подставим найденное значение в параметрические уравнения прямой : . Следовательно, . Задача №3. К кривым второго порядка относятся эллипс (рис.6), гипербола (рис. 7 и 8), парабола (рис. 9-12). Приведем рисунки и канонические уравнения этих кривых Эллипс рис.6	Гипербола рис.7 Гипербола рис.8 Парабола рис.9 Парабола рис.10 Парабола рис.11 Парабола рис.12
Приведем примеры решения задачи №3 Пример 1. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую. Решение. Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата. Сгруппируем слагаемые, содержащие текущие координаты. Коэффициенты при и вынесем за скобки: Выделим полный квадрат: Отсюда Разделим обе части равенства на 25: Запишем полученное уравнение в каноническом виде: Выполним параллельный перенос осей координат по формулам . При таком преобразовании начало координат переносится в точку , уравнение эллипса принимает канонический вид . В нашем примере , , , . Итак, рассматриваемое уравнение определяет эллипс с центром в точке и полуосями и . рис.13 Пример 2. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую. Решение. Как и в предыдущем примере, сгруппируем слагаемые, содержащие текущие координаты: . В скобках выделим полный квадрат: ; . Отсюда . Выполним замену переменных . После этого преобразования уравнение параболы принимает канонический вид , вершина параболы в системе координат расположена в точке	рис.14 Задача №4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением . Требуется: найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от до ; построить полученные точки; построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала); составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат Решение. Сначала построим таблицу значений и : Построим эти точки в полярной системе координат. Полярная система координат состоит из начала координат (полюса) и полярной оси . Координаты точки в полярной системе координат определяются расстоянием от полюса (полярным радиусом) и углом между направлением полярной оси и полярным радиусом (полярным углом). Для того, чтобы построить точку , необходимо построить луч, выходящий из точки под углом к полярной оси; отложить на этом луче отрезок длиной . рис.15
Построим все точки, определенные в таблице и соединим их плавной линией рис.16 Запишем уравнение рассматриваемой кривой в прямоугольной декартовой системе координат. Для этого воспользуемся формулами перехода от декартовой к полярной системе координат. Если полюс совпадает с началом координат прямоугольной декартовой системы координат, полярная ось – с осью абсцисс, то между прямоугольными декартовыми координатами и полярными координатами существует следующая связь: , Откуда рис.17 Итак, в уравнении исходной кривой , . Поэтому уравнение принимает вид . После преобразований получим уравнение . Задача №5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами ; 2) Решение. Для того, чтобы решить неравенство на плоскости, надо построить график линии . Кривая разбивает плоскость на части, в каждой из которых выражение сохраняет свой знак. Выбирая пробную точку в каждой из этих частей, найдем часть плоскости, являющуюся искомым решением неравенства.	1) Построим прямые и , заштрихуем область, в которой . Затем построим параболу и заштрихуем область, содержащую ось симметрии параболы (расположенную внутри параболы); построим прямую и заштрихуем область, лежащую выше прямой. Пересечение всех заштрихованных областей и определит множество точек, представляющих решение рассматриваемой системы. рис.18 2) Построим линию, определяемую уравнением . Эта линия представляет собой ту часть окружности или , на которой . Далее построим прямую (). Решением рассматриваемого двойного неравенства является часть плоскости, расположенная между нижней половиной окружности с центром в точке радиуса прямой . рис.19