Вопросы к экзамену, 2 семестр, Математика

Вопросы к экзамену по математике (2 семестр)

Интегрирование функции одной переменной

1. Неопределенный интеграл: определение, свойства.

2. Неопределенный интеграл (определение). Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование.

3. Неопределенный интеграл (определение). Основные методы интегрирования: интегрирование подстановкой.

4. Неопределенный интеграл (определение). Интегрирование по частям.

5. Интегрирование дробно-рациональных функций.

6. Интегрирование тригонометрических функций.

7. Интегрирование иррациональных функций.

8. Определенный интеграл: задача о площади криволинейной трапеции.

9. Определенный интеграл: определение, теорема Коши.

10. Свойства определенного интеграла.

11. Формула Ньютона-Лейбница.

12. Определенный интеграл: определение, интегрирование подстановкой, интегрирование по частям.

13. Несобственный интеграл I рода с бесконечным пределом интегрирования: определение, геометрический смысл.

14. Несобственный интеграл II от разрывной функции: определение, геометрический смысл.

15. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной, параметрической и полярной системах координат.

16. Вычисление длины плоской кривой в в прямоугольной, параметрической и полярной системах координат.

17. Вычисление объемов тела.

18. Статические моменты и координаты центра тяжести плоской кривой и плоской фигуры.

Функции нескольких переменных

1. Понятие функции нескольких переменных (ФНП). Область определения и область значений. Примеры. Предел функции. Определение. Геометрический смысл. Непрерывность функции НП. Свойства непрерывных функций.

2. Частные производные и их геометрический смысл. Частные производные высших порядков. Теорема Шварца. Дифференцируемость ФНП и полный дифференциал функции. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциалы высших порядков. Производная сложной функции. Полная производная. Инвариантность формы полного дифференциала.

3. Неявная функция. Теорема существования неявной функции. Дифференцирование неявной функции.

4. Производная по направлению. Градиент.

5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

6. Экстремум ФНП. Необходимое условие экстремума ФНП. Достаточное условие экстремума ФНП (для функции двух переменных). Нахождение наибольшего и наименьшего значений ФНП в замкнутой области.

Интегрирование функции нескольких переменных

1. Двойной интеграл: определение, условия существования и геометрический смысл. Двойной интеграл. Свойства двойного интеграла.

2. Двойной интеграл. Вычисление двойного интеграла в прямоугольной системе координат.

3. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

4. Тройной интеграл. Свойства тройного интеграла.

5. Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла в прямоугольной системе координат.

6. Вычисление тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат.

7. Приложения двойного и тройного интеграла.

8. Криволинейный интеграл первого рода: определение, свойства.

9. Вычисление криволинейного интеграла первого рода в прямоугольной и параметрической системах координат; в полярных координатах.

10. Криволинейный интеграл второго рода. Его свойства.

11. Вычисление криволинейного интеграла второго рода в прямоугольной и параметрической системах координат.

12. Приложения криволинейных интегралов.

13. Интегралы по замкнутому контуру. Формула Грина.

14. Условие независимости интеграла от линии интегрирования.

15. Полный дифференциал функции. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.

Ряды

1. Числовые ряды: определение, частичные суммы ряда. Основные виды рядов.

2. Числовые ряды. Основные свойства рядов.

3. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости.

4. Положительные ряды. Признаки сравнения.

5. Положительные ряды. Признак Даламбера.

6. Положительные ряды. Радикальный признак Коши.

7. Положительные ряды. Интегральный признак Коши-Маклорена.

8. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

9. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

10. Функциональные ряды. Область, интервал сходимости.

11. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.

12. Степенные ряды. Свойства степенных рядов.

13. Разложение функции в степенной ряд. Формулы Тейлора и Маклорена. Остаточный член формулы Тейлора. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора к функции .

14. Разложение в степенной ряд . Их области сходимости.

15. Разложение в степенной ряд . Их области сходимости.

16. Разложение в степенной ряд . Их области сходимости.