barkov_sbornik_zadach_2011

9. Термический КПД цикла Карно (имеет наибольший КПД)

η= Q1 − Q2 = T1 − T2 ,

Q1 T1

где Т1 и Т2 – термодинамические температуры нагревателя и холодильника.

10. Изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2

2

S 2 −S1 = ∫ dQ.

1 T

Примеры решения задач

№ 5. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме cV и при постоянном давлении ср неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

Р е ш е н и е.

Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами:

cV	=		i		R			,		(1)
				µ
	2
cp =		i + 2					R		,	(2)
	2			µ

где i – число степеней свободы молекулы газа; µ – молярная масса. Для неона (одноатомный газ) i = 3 и µ =20 10–3 кг/моль. Вычис-

ляя по формулам (1) и (2), получим:

cV =		3			8,31			Дж/(кг К) = 6,24 102 Дж/(кг К);
				20 10−3
2
cр =	3 + 2				8,31				Дж/(кг К) = 1,04 103	Дж/(кг К).
						20 10−3
2

61

Для водорода (двухатомный газ) i = 5 и µ = 2 10–3 кг/моль. Вычисляя по тем же формулам, получим:

cV	=	3				8,31		Дж/(кг К) = 1,04		104	Дж/(кг· К)
			2		20 10−3
cр =	5 + 2					8,31			Дж/(кг К) = 1,46	104	Дж/(кг К) .
		2					20 10−3

№ 6. Вычислить удельные теплоемкости сV и cp смеси неона и водорода, если массовая доля неона ω1 = 80 %, массовая доля водорода ω2 = 20 %. Значения удельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера.

Р е ш е н и е.

Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме сV найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на ∆T, выразим двумя способами:

Q = cV(m1+m2)∆T,	(1)
Q = (сV,1m1+ cV,2m2)∆T,	(2)

где cV,1 – удельная теплоемкость неона; cV,2 – удельная теплоемкость водорода.

Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на ∆T, получим:

cV(m1 + m2) = сV,1m1 + cV,2m2,

откуда

cV = cV ,1

m1

+ cV ,2

m2

,

(3)

m1 + m2

m1 + m2

или

cV = cV,1ω1 +cV,2ω2,

(4)

где ω1 и ω2

– массовые доли неона и водорода в смеси, ω1

=

m1

,

m1

+ m2

ω2 =

m2

.

m1

+ m2

62

Подставив в формулу (4) числовые значения величин, найдем

сV = (6,24 · 102 · 0,8 + 1,04· 104 · 0,2) Дж/(кг· К) = 2,58· 103 Дж/(кг· К).

Рассуждая таким же образом, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

cр = cр,1ω1 +cр,2ω2.	(5)
Подставим в формулу (5) числовые значения величин:

ср = (1,04 · 103 · 0,8 + 1,46 · 104 · 0,2) Дж/(кг· К) = 3,75· 103 Дж/(кг· К).

№ 7. Кислород массой т = 2 кг занимает объем V1 = 1 м3 и находится под давлением p1 = 0,2 MПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2 = 3 м3, а затем при постоянном объеме до давления p3 = 0,5 МПа. Найти изменение ∆U внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, переданную газу.

Р е ш е н и е.

Изменение внутренней энергии газа выражается формулой

∆ U= cV m∆ T=	i		R	m∆ T ,	(1)
		µ
2

где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i = 5), µ – молярная масса.

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравне-

ния Клапейрона – Менделеева pV = mµ RT :

T =	pVµ	.	(2)
	mR

Выпишем заданные величины в системе СИ: m = 2 кг, µ =

= 32 10–3 кг/моль, R = 8,31 Дж/(моль К), V1 = 1 м3, V2 = V3 = 3 м3,

р1 = р2 = 0,2 МПа = 2 105 Па, р3 = 0,5 МПа = 5 105 Па. Подставляя эти значения в выражение (2) и выполняя арифметические действия, получим:

63

T1 =

2. 105 1 32 10−3

К = 385 К;

2 8,31

T2

=

2. 105 3 32 10−3

К = 1155К = 1,16 кК;

2 8,31

T3

=

5. 105 3 32 10−3

К = 2887К = 2,89 кК.

2 8,31

Подставляя в выражение (1) числовые значения величин, вхо-

дящих в него, находим:

5

8,31

2(2887− 385)Дж=

∆ U=

3,24 106 Дж= 3,24 МДж.

2

32 10−3

Работа расширения газа при постоянном давлении выражает-

ся формулой

А= R

m

∆ T.

µ

Подставляя числовые значения величин, получим:

А= 8,31

2

(1155 − 385)Дж = 0,400 106 Дж = 0,4 МДж.

32 10−3

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е. А2 = 0. Следовательно, полная работа, совершенная газом,

равна А = А1 + А2 = 0,4 106 Дж.

Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии ∆U и работы А; Q = ∆ U + А, следовательно, Q = 0,4 106 Дж + 3,24 106 Дж =

=3,64 106 Дж = 3,64 МДж.

№8. В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0,02 кг при температуре Т = 300 К. Водород сначала расши-

рился адиабатически, увеличив свой объем в n1 = 5 раз, а затем был cжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n2 = 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершенную газом при этих процессах.

64

Р е ш е н и е.

Температуры и объемы газа, совершающего адиабатический процесс, связаны между собой соотношением

T2	V1			γ−1	T2		1
	=			, или		=			,
T1					T1		n	γ−1
	V2

где γ – отношение теплоемкости газа при постоянном давлении и постоянном объеме (для водорода как двухатомного газа γ =1,4),

n1 = V2/V1 = 5.

Отсюда получаем выражение для конечной температуры T2

	T2	=	T1	.
			nγ−1
		1

Подставляя числовые значения заданных величин, находим

Т2	=	300	К =	300	К .
		1,4−1		0,4
	5		5

Так как 50,4 = 1,91, то Т2 = 157 К.

Работа A1 газа при адиабатическом расширении может быть определена по формуле

A1	=	m	CV (T1	− T2 ) =	m		i	R (T1 − T2 ),
	µ			µ 2

где СV – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Подставив числовые значения величин: R = 8,31 Дж/(моль К)

и i = 5 (для водорода как двухатомного газа), µ = 2 10–3 кг/моль, m = 0,02 кг, T1 = 300 К, T2 = 157 К в правую часть последней формулы, получим:

А1	=	0, 02 5 8,31	(300 −157)Дж = 2,98 104 Дж.
		2 10−3 2

Работа А2 газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде

65

A2	=	m	RT2ln	V3	или A2	=	m	RT2ln	1	,
	µ		V2			µ			n2

где n2 = V2/V3 = 5.

Подставляя известные числовые значения величин, входящих в правую часть этого равенства, находим

А2 =	0,02	8,31 157ln	1	Дж = –2	10 4 Дж.
	2 10−3		5

Знак «минус» показывает, что при сжатии работа газа совершается над газом внешними силами.

№ 9. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура нагревателя Т1 = 500 К. Определить термический КПД цикла и температуру Т2 охладителя тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу А = 350 Дж.

Р е ш е н и е.

Термический КПД тепловой машины, называемый также коэффициентом использования теплоты, показывает, какая доля теплоты, полученной от нагревателя, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой

η= A ,

QН

где QН – теплота, полученная от нагревателя; А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины. Подставив числовые значения в эту формулу, получим

η= 350 = 0,35.

1000
Зная КПД цикла, можно по формуле η=	Т1 − Т2	определить
	Т1
температуру охладителя Т2:
Т2 = Т1(1 – η).

66

Подставив в эту формулу полученное значение КПД и температуру T1 нагревателя, получим:

Т2 = 500(1 – 0,35) К = 325 К.

№ 10. Найти изменение ∆S энтропии при нагревании воды массой m = 100 г от температуры t1 = 0 ° С до температуры t2 = 100 ° С и последующим превращением воды в пар той же температуры.

Р е ш е н и е.

Найдем отдельно изменение энтропии ∆S′′ при нагревании воды и изменение энтропии ∆S′′ при превращении ее в пар. Полное изменение энтропии выразится суммой ∆S′′ и ∆S′′.

Как известно, изменениеэнтропиивыражается общейформулой

∆ S= S2− S1= ∫	dQ	.	(1)
	T

При бесконечно малом изменении температуры нагреваемого тела затрачивается количество теплоты dQ = mcdT, где m – масса тела; c – его удельная теплоемкость. Подставив выражение dQ в равенство (1), получим формулу для вычисления изменения энтропии при нагревании воды:

T2 mc dT

∆ S′= ∫ T .

T1

Вынесем за знак интеграла постоянные величины и произведем интегрирование, тогда получим

∆ S′= mcln T2 . T1

Выразим заданные величины в единицах СИ: m = 0,1 кг; Т1 =

=273 К; T2 = 373 К; c = 4190 Дж/кг К; λ = 2,26 МДж/кг.

После вычислений найдем

∆S′ = 132 Дж/К.

При вычислении по формуле (1) изменение энтропии во время превращения воды в пар той же температуры постоянная

67

температура Т2 выносится за знак интеграла. Вычислив интеграл, найдем

		1	2	Q
	∆ S=		∫dQ=		,	(2)
		T2	1	T2

где Q – количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры.

Подставив в равенство (2) выражение количества теплоты Q = λm, где λ – удельная теплота парообразования, получим

∆ S′′=	λm	.	(3)
	T2

Произведя вычисления по формуле (3), найдем

∆ S ′′ = 605 Дж/К.

Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем превращении ее в пар:

∆S = ∆S′+ ∆ S ′′ = 737 Дж/К.

Варианты заданий приведены на стр. 249–274.

68

ГЛАВА 3. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

3.1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Задачи по электростатике удобно разделить на три группы. К первой можно отнести задачи о точечных зарядах и системах, сводящихся к ним, ко второй – все задачи о заряженных телах, размерами которых нельзя пренебречь, к третьей – задачи на определение емкости, потенциала или заряда какого-либо тела, расчет соединений конденсаторов и энергии электрического поля.

Решение задач первой группы основано на применении законов механики совместно с законом Кулона и вытекающих из него следствий. Такие задачи рекомендуется решать в следующем порядке:

1. Расставить силы, действующие на точечный заряд, помещенный в электрическое поле, записать для него уравнение равновесия или уравнение второго закона Ньютона.

2. Выразить силы электрического взаимодействия через заряды и характеристики поля и подставить эти выражения в исходное уравнение. Силы взаимодействияGзарядовG можно рассчитать или по

закону Кулона, или по формуле F = q E, считая, что один из зарядов находится в поле действия другого.

3.Если при взаимодействии заряженных тел между ними происходят перераспределение зарядов, к составленным уравнениям добавляют уравнение закона сохранения зарядов.

4.Далее записывают вспомогательные формулы и решают систему уравнений относительно неизвестной величины.

Проводя вычисления полезно помнить, что множитель	k =	1	,
		4πε0

входящий во многие расчетные формулы, равен 9 109 м/Ф. Именно такое значение и следует подставлять в окончательную формулу.

Во вторую группу входят задачи, связанные с расчетами напряженности и потенциала электрического поля, создаваемого сис-

69

темами точечных зарядов, заряженными плоскостями и телами сферической формы.

В задачах на вычисление напряженности электрического поля особое внимание нужно обратить на векторный характер ЕG:

–векторы напряженности электрического поля уединенного точечного заряда направлены от заряда, если он положителен,

ик заряду, если он отрицателен;

–поле заряженной плоскости однородно; векторы напряженности поля плоскости направлены перпендикулярно ее поверхности от плоскости, если ее заряд положителен, и к плоскости, если заряд отрицателен;

–для электрического поля заряженной сферы в точках, расположенных за ее пределами, векторы напряженности направлены так же, как у точечного заряда, находящегося в центре сферы; внутри сферы электрическое поле равно нулю;

–для поля шара, заряженного равномерно по объему, в точках, расположенных за его пределами, векторы напряженности направлены так же, как у сферы; внутри – как у точечного заряда, помещенного в центр шара (совпадают только направления, а не величины!); если шар проводящий, то нескомпенсированные заряды расположатся на его поверхности, что с точки зрения электростатики эквивалентно заряженной сфере;

–электрическое поле внутри проводника и внутри полой проводящей оболочки отсутствует (это справедливо независимо от наличия у проводника заряда и внешнего электрического поля).

При решении задач данной группы часто используется метод дифференцирования и интегрирования (метод ДИ).

Сущность метода ДИ заключается в следующем. Предположим, что физический закон имеет вид K = LM, где K, L, М – некоторые физические величины. Выделим столь малый промежуток dМ изменения величины М, чтобы изме-

70