Физика Учебное пособие Перминов и Вотинов

A 8,31		2	1155 385 0,400 106		Äæ 0,4 ÌÄæ.
		10 3
32

Согласно первому началу термодинамики теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии U и работы À: Q = U + À, следовательно:

Q = 0,4 · 106 + 3,24 · 106 = 3,64 · 106 Äæ = 3,64 ÌÄæ.

¹ 15. Температура нагревателя идеальной тепловой машины Ò1 = 500 К. Определить термический коэффициент полезного действия (КПД) машины и температуру Ò2 ее охладителя, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает полезную работу À = 350 Äæ.

Решение
Термический КПД тепловой машины выражается формулой
	A		T1 T2	,	(1)
	Q1		T1

ãäå À — работа, совершенная рабочим телом тепловой машины; Q1 — теплота, полученная от нагревателя. Подставив числовые значения в первую часть выражения (1), получим:

350 0,35. 1000

Используя вторую часть формулы (1), можно определить температуру охладителя Ò2:

Ò2 = Ò1(1 – ) = 500(1 – 0,35) = 325 Ê.

4.2.Тренировочные задачи

1.Три четверти пути автомобиль проехал со скоростью v1 60 км/ч, остальную часть пути — со скоростью v2 80 км/ч. Найти количество израсходованного бензина, если автомобиль находился в пути 1 ч, сред-

ний расход топлива на 100 км пути составляет 10 л. (Ответ: 6,4 л.)

281

2. Точка движется по окружности радиусом R 4 м. Закон ее движения выражается уравнением S A + Bt2, ãäå À 6 ì, Â –2 ì/ñ2. Найти: 1) момент времени t, когда нормальное ускорение точки àn 9 ì/ñ2, 2) скорость v, тангенциальное ускорение à и полное ускорение точки à

âэтот момент времени. (Ответ: 1,5 с; –6 ì/c; –4 ì/c2; 9,84 ì/ñ2.)

3.Камень, брошенный под углом 30° к горизонту, дважды был на одной высоте, спустя 3 и 5 с после начала движения. Найти начальную скорость камня и максимальную высоту подъема. (Ответ: 80 м/с; 80 м.)

4.В подъемнике (лифте), поднимающемся с ускорением 2 м/с2, находится рабочий массой 60 кг. Определить в процентах запас прочности троса подъемника, если максимальная нагрузка, на которую он рассчи- тан, равна 1000 Н. (Ответ: 28 %.)

5.Автомобиль массой 4 т движется в гору с ускорением 0,2 м/с2. Найти работу силы тяги двигателя при подъеме автомобиля на высоту 20 м, если уклон горы равен 30°, а коэффициент сопротивления 0,04. (Ответ: 888 кДж.)

6.В лодке массой Ì = 240 кг стоит человек массой m = 60 кг. Лодка плывет со скоростью v = 2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью u = 4 м/c (относительно лодки). Найти скорость лодки после прыжка человека: 1) вперед по движению лодки; 2) в сторону, противоположную движению лодки. (Ответ: 1 м/с; 3 м/с.)

7.Шарик массой 100 г подвешен на нити, выдерживающей силу натяжения 1,1 Н. На какой угол от вертикали нужно отклонить шарик, чтобы он оборвал нить, проходя положение равновесия (сопротивлением воздуха пренебречь)? (Ответ: 18,2°.)

8.Двум одинаковым колесам, находящимся в покое, сообщили оди-

наковую угловую скорость = 63 рад/с и предоставили их самим себе. Под действием сил трения первое колесо остановилось через одну минуту, а второе сделало до полной остановки N = 300 об. На какое колесо действует больший момент сил трения и во сколько раз? (Ответ: на первое колесо больше в 1,2 раза.)

9. Точка совершает гармонические колебания согласно закону: õ Àsin t, ãäå À 5 см, 2 рад/с. Найти момент времени (ближайший к началу отсчета), в который потенциальная энергия точки Wï = 10–4 Дж, а возвращающая сила F 5 · 10–3 Н. Определить также фазу колебаний в этот момент времени. (Ответ: 2,04 с; 4,07 рад.)

282

10.Экономический ущерб при полном разрыве трубы магистрального водопровода составил 50 тыс. руб., из которых 30 % составляет стоимость вытекшей воды. Утечка воды была ликвидирована через час после начала аварии. Зная, что диаметр трубы равен 30 см, определить скорость вытекания воды из трубы. Поток воды считать установившимся. Стоимость одного кубометра воды принять равной 10 руб. (Ответ: 6,4 м/с.)

11.На изделие, площадь поверхности которого 20 см2, нанесен слой серебра толщиной 1 мкм. Сколько атомов серебра содержится в покры-

òèè? = 10 500 êã/ì3; = 0,108 кг/моль. (Ответ: 117 · 1018.)

12. В баллоне объемом 0,2 м3 находится гелий при давлении 0,1 МПа и температуре 17 °С. Массу гелия в баллоне увеличили, при этом его давление повысилось до 0,3 МПа, а температура — до 47 °С. На сколько увеличилась масса гелия? Молярная масса гелия 4 г/моль. (Ответ: 0,057 кг.)

13. Какова стоимость нагрева 5 л воды от 10 °С до кипения в алюминиевой кастрюле массой 800 г, если стоимость 1 кВт·ч потраченной энергии равна 1 руб. 67 коп. Удельная теплоемкость алюминия 920 Дж/(кг·К), воды — 4200 Дж/(кг·К). (Ответ: 91 коп.)

14.Для повышения температуры газа, имеющего массу 20 кг и молярную массу 0,028 кг/моль, на 50 К при постоянном давлении необходимо затратить количество теплоты 1 МДж. Какое количество теплоты следует отнять от этого газа при постоянном объеме, чтобы его температура понизилась на 50 К? (Ответ: 703 кДж.)

15.Какова стоимость дизельного топлива, которое потребуется трактору с КПД 30 % для выполнения работы 3,78 · 107 Дж? Удельная теплота сгорания топлива 4,2 · 107 Дж/кг, плотность 800 кг/м3. Цена одного литра горючего 17 руб. за литр. (Ответ: 63 руб. 75 коп.)

5.ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

5.1.Примеры решения задач

¹1. Три точечных заряда q1 = q2 = q3 = 1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд q4 нужно поместить

âцентре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась

âравновесии?

Решение

Все три заряда, расположенных по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы ка- кой-нибудь один из трех зарядов, например q1, находился в равновесии. Заряд q1 будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю (рисунок):

F2	F3	F4	F23	F4	0,	(1)

ãäå F2 , F3 , F4 — силы, с которыми соответственно действуют на заряд q1
заряды q2, q3, q4; F23	— равнодействующая сил F2	è F3 .
Òàê êàê ñèëû F23	è F4 направлены по одной прямой в противополож-

ные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить скалярным ра-

венством F23 – F4 = 0, откуда F4 = F23.
		Выразив в последнем равенстве F23 через F2 è F3 и учитывая, что
F	3	= F	, получим F F						2F cos 2 .
		2				4	23		2
		Применяя закон Кулона и имея в виду, что q2 = q3 = q1, найдем
	q1 q4				q12	2 cos		, откуда
					4 0 r 2
4 0 r12							2

284

q4

q1r12

2cos

.

(2)

r 2

2

Из геометрических

построений

â

равностороннем треугольнике

( = 60°) следует, что

r1

r

r

r

.

2cos

2cos 30&

3

2

С учетом этого формула (2) примет вид q4

q

1

.

3

Подставив числовое значение q1 = 1 íÊë = 10–9 Кл, получим:

q4

10

9

5,77 10 10 577 ïÊë.

3

Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустой- чивым.

¹ 2. Два точечных электрических заряда q1 = 1 íÊë è q2 = –2 íÊë íàõî-

дятся в воздухе на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить напря-

женность E и потенциал поля, создаваемого этими зарядами в точке À, удаленной от заряда q1 на расстояние r1 = 9 см и от заряда q2 íà r2 = 7 ñì.

	Решение
	Согласно принципу суперпози-
ции электрических полей, каждый
заряд создает поле независимо от
присутствия в пространстве других
зарядов (рисунок). Поэтому напря-
женность			электрического поля
		E
в искомой точке может быть найде-
на как геометрическая сумма напря-
женностей E1			è E 2 полей, создавае-
мых каждым зарядом в отдельности:
E	E1 E 2 . Напряженность электрического поля, создаваемого в возду-
õå ( = 1):

285

— зарядом q1

	E1	q1	,	(1)
		4 0 r12

— зарядом q2

q

E 2 42 r 2 . (2)

0 2

Вектор E1 (см. рисунок) направлен по силовой линии от заряда q1,

так как заряд q1 положителен; вектор E 2 направлен также по силовой линии, но к заряду q2, так как заряд q2 отрицателен.

Абсолютное значение вектора Å найдем как следствие из теоремы косинусов:

E E12 E 22 2E1E 2 cos ,

(3)

где — угол между векторами E1 è E 2 , который может быть найден из

треугольника со сторонами r1, r2 è d												по теореме косинусов: d 2
r 2	r 2	2r r	cos				r 2 r 2			2r r cos , cos						d2 r12 r22	.
1	2	1 2						1	2			1 2				2r1r2
	В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение
cos вычислить отдельно:
					0,1	2			0,09 2			0,07		2
		cos													0,238.
							2 0,09 0,07

Подставляя выражение Å1 из формулы (1) и E2 из формулы (2) в равенство (3) и вынося общий множитель 1/(40) за знак корня, получим:

			E	1						q12			q22		2			q1 q2	cos .						(4)
				4 0						r14			r24					r12 r22
Подставим числовые значения величин в формулу (4) и произведем
вычисления:
E 9 109		10 9 2				2 10 9 2								2			10 9		2 10 9					0,238
									0,07												0,07		2
			0,04 4									4					0,09		2

3,58 êÂ/ì.

286

При вычислении Å знак заряда q опущен, так как знак заряда опре-

2

деляет направление вектора напряженности, а направление E 2 было уч- тено при его графическом изображении (см. рисунок).

В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал результирующего поля, создаваемого двумя зарядами q1 è q2, равен алгебраической сумме потенциалов, т. е.

= 1 + 2.

(5)

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом q на расстоянии r от него, выражается формулой

	q	.	(6)

4 0 r

В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получим

	q1		q2		1	q1			q2
				, èëè						.
	4 0 r1		4 0 r2		4 0 r1				r2

Подставляя в это выражение числовые значения физических вели- чин, получим:

			10	9		2 10	9
	9
9 10									157	Â.
			0,09			0,07

¹ 3. Точечный заряд q = 25 нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным, с поверхностной плотностью = 0,2 нКл/см2. Определить силу F, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра r = 10 ñì.

Решение

Численное значение силы F, действующей на точечный заряд q, находящийся в поле, определяется по формуле

F = qE,

(1)

ãäå Å — напряженность поля, создаваемого заряженным цилиндром. Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномер-

но заряженного цилиндра

287

E		,	(2)

2 0 r

где — линейная плотность заряда.

Выразим линейную плотность через поверхностную плотность . Для этого выделим элемент цилиндра длиной и выразим находящийся на нем заряд q двумя способами: q = S = 2 R ; q = .

Приравняв правые части этих равенств и сократив на , получим= 2 · R . С учетом этого формула (2) примет вид E R 0 r. Подставив это выражение в (1), получим искомую силу F:

		F			qR	.			(3)
					0 r
Подставим в (3) числовые значения величин:
F	2,5 10 8 2 10 6	1		H 5,65			10	4	H 565 ìêÍ.
	8,85 10 12 10

Направление силы F совпадает с направлением напряженности E,

àпоследняя направлена перпендикулярно поверхности цилиндра.

¹4. Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью v1 = 106 м/с, чтобы скорость его возросла в n = 2 ðàçà.

Решение

Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу À сил электростатического поля. Эта работа определяется произведением заряда электрона å на разность потенциалов U:

À = eU.

(1)

Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона:

A Wê 2	Wê1		mv22		mv12	,	(2)
		2		2

ãäå Wê1 è Wê2 — кинетические энергии электрона до и после прохождения ускоряющего поля; m — масса электрона; v1 è v2 — его начальная и конечная скорости.

288

Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим

eU	mv22		mv12	,	èëè eU			mn2 v12		mv12	,
2		2			2				2
ãäå n = v2/v1. Отсюда искомая разность потенциалов
					U	mv12	n2 1 .				(3)
						2e

Подставим числовые значения физических величин в формулу (3):

	9,1 10 2 106	2
U			22 1 8,53 Â.
	2 1,6 10 19

¹ 5. Конденсатор емкостью Ñ1 = 3 мкФ заряжен до разности потенциалов U1 = 40 В. После отключения от источника тока конденсатор соединен параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью Ñ2 = 5 мкФ. Какая энергия W израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Решение

Энергия W, израсходованная на образование искры,

W = W1 – W2,

(1)

ãäå W1 — энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W2 — энергия, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов. Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

W	CU 2	,	(2)
2

ãäå Ñ — емкость конденсатора или батареи конденсаторов; U — разность потенциалов.

Выразив в формуле (1) энергии W1 è W2 по формуле (2) и принимая во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

2			C C	U	2
			1	2 2
W	C1U1					,	(3)
2		2

289

ãäå U2 — разность потенциалов на зажимах батареи параллельно соединенных конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остается прежним, выразим разность потенциалов U2 следующим образом:

U 2			q		C1U1	.
			C 2
	C1			C1 C 2

Подставим выражение U2 в формулу (3):

2			C C C					2	U		2	2					2	2
			1			2
W	C1U1							1			1		C1U1			C1		U1			.
																	1
2										2		2						C	2
					1	C	2								2 C
			2	C

После преобразований имеем:

W 1 C1C 2 U12 .

2 C1 C 2

Подставим числовые значения и вычислим W:

	1 3 10 5				5	10 6
W							1600 1,5 ìÄæ.
	2 3			10 6
					5 10 6

¹ 6. Потенциометр с сопротивлением Rï = 100 Ом подключен к батарее, ЭДС которой = 160 В и внутреннее сопротивление r = 50 Ом. Определить показание вольтметра с сопротивлением RV = 500 Ом, соединенного с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра. Какова разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра?

Решение

Показание U1 вольтметра, подключенного к точкам À è Â (рисунок), определяется по формуле

U1 = I1R1,

(1)

ãäå I1 — сила тока в неразветвленной части цепи; R1 — сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра.

290