7. Алгебра событий
О.1: Суммой двух событий Aи B называется событие C=A+B, состоящее в появлении хотя бы одного из событий A или B. Если события Aи B совместные, то их сумма означает наступление или события A, или события B, или обоих событий Aи B. Если события Aи Bнесовместные, то их сумма означает наступление или события A, или события B. О. 2: Произведением двух событий Aи B называется событие C=AB, состоящее в одновременном появлении A и B.
Аналогично определяются сумма и произведение n событий. Свойства суммы и произведения событий: Пусть даны следующие события: 1)D - достоверное; 2) H - невозможное;
3)
A
- случайное; 4)
- противоположное A.
Тогда справедливы следующие соотношения:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
Пример 8: Произведено два выстрела по
мишени. Событие А={попадание при первом
выстреле}; Событие В={попадание при
втором выстреле}; Событие
;
Событие А∙В={попадание ил при обоих
выстрелах}
8. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей
О.
1. Два события Aи
B
называются зависимыми, если вероятность
появления каждого из них зависит от
того, появилось ли другое событие или
нет. О. 2. Два события Aи
B
называются независимыми, если вероятность
появления каждого из них не зависит от
того, появилось ли другое событие или
нет. О. 3. Вероятности независимых событий
называются безусловными. Пусть Aи
B
зависимые события. О.4. Условной
вероятностью события B
называется вероятность этого события,
вычисленная в предположении, что событие
A
уже произошло. Обозначается
или PA(B).
Условная вероятность события A
определяется аналогично. Теорема 1. Если
Aи
B
независимые события, то их условные
вероятности совпадают с обычными
вероятностями, т. е
,
.
Пример 1. В ящике находятся 10 красных
шаров и 5 синих. Последовательно извлекают
два шара. Найти вероятность того, что
второй извлеченный шар синий, если:
выборка осуществляется без возвращения;
выборка осуществляется с возвращением.
Решение: Событие A
– {1-й извлеченный шар красный}; Событие
B
- {2-й извлеченный шар синий}.
В
первом случае события Aи
B
зависимые, а во втором не зависимые. 1)
;
2)
.
Пусть даны два события Aи
B
и требуется найти вероятность их
совместного появления. Теорема 2. Если
Aи
B
зависимые события, то вероятность их
совместного появления (произведения)
равна произведению вероятности одного
из этих событий на условную вероятность
другого, вычисленную при условии, что
первое событие произошло, т. е.
,
.
Следствие:
Вероятность совместного появления
(произведения) нескольких зависимых
событий
равна произведению вероятности одного
из этих событий на условные вероятности
всех остальных, причем вероятность
каждого последующего события вычисляется
в предположении, что все предыдущие уже
произошли, т. е.
*
.
Пример
2. В урне 10 красных, 5 синих и 3 зеленых
шара. Каждое испытание состоит в том,
что наудачу извлекают один шар, не
возвращая его обратно. Найти вероятность
того, что при первом испытании появится
синий шар, при втором – красный и при
третьем – зеленый шар. Решение: События
зависимые. Событие A
-;{1-й извлеченный шар синий} Событие B
-{2-й извлеченный шар красный}; Событие
C
- {3-й извлеченный шар зеленый}
Теорема 3. Если события Aи
B
независимые, то вероятность их совместного
появления (произведения) равна произведению
их вероятностей, т. е.
.
Следствие: Вероятность совместного
появления (произведения) нескольких
независимых событий
равна произведению вероятностей данных
событий, т. е.
Пример
3. В примере 2 выборка осуществляется с
возвращением. Решение. События независимые
