Вопросы к экзамену по Математике (2 семестр)
.pdfВопросы к экзамену по дисциплине ¾Математика¿ (2 семестр)
1.Множества. Элемент множества. Пустое множество. Подмножество. Операции над множествами. Числовые множества. Множество действительных чисел и его основные свойства. Геометрическое изображение множества действительных чисел.
2.Абсолютная величина действительного числа и е¼ свойства. Переменные и постоянные величины. Числовые промежутки. Окрестность точки.
3.Понятие функции. График функции. Способы задания функции. Основные характеристики функции.
4.Понятие обратной функции. Достаточное условие существования обратной функции. Построение графика обратной функции по графику прямой функции. Неявно заданные функции одной переменной. Параметрическое задание функции.
5.Основные элементарные функции их характеристики и графики. Элементарные функции. Алгебраические и трансцендентные функции.
6.Бесконечная числовая последовательность. Общий член последовательности. Монотонные и ограниченные числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся числовые последовательности.
7.Предел функции по Гейне и по Коши (в точке, односторонние, при x ! 1). Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
8.Эквивалентные бесконечно малые функции и основные теоремы о них (без доказательств). Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов.
9.Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции в интервале и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация.
10.Понятие производной. Физический, геометрический и химический смысл производной. Правая и левая производные. Определение дифференцируемости функции. Приложение производной: уравнения касательной и нормали к кривой.
11.Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Использование дифференциала для установления приближ¼нных формул.
12.Производные высших порядков. Производные высших порядков явно заданной функции. Механический смысл производной второго порядка. Формула Лейбница для n-ой производной произведения двух функций. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически.
13.Монотонность функций. Определение возрастающих, убывающих, невозрастающих и неубывающих функций. Необходимое условие монотонности функции (без доказательства), достаточное условие монотонности функции (без доказательства).
14.Локальный экстремум функции одной переменной. Определение локального максимума (минимума) функции. Необходимое условие существования экстремума функции (без доказательства) и его геометрический смысл. Стационарные точки, критические точки.
15.Выпуклость и точки перегиба графика функции. Определение выпуклости вверх (вниз). Достаточные условия выпуклости вверх (вниз) графика функции (без доказательства) их геометрический смысл. Определение точки перегиба. Необходимое и достаточные условия существования точки перегиба (без доказательств).
16.Асимптоты графика функции. Общее определение асимптоты, определения вертикальной и наклонной асимптот. Порядок нахождения асимптот графика функции.
17.Понятие первообразной функции. Теорема о разности двух первообразных одной функции (без доказательства). Определение неопредел¼нного интеграла и его геометрическая интерпретация. Основные свойства неопредел¼нного интеграла.
18.Неопредел¼нный интеграл. Основные методы интегрирования: метод непосредственного интегрирования, метод интегрирования заменой переменной (подстановкой), метод интегрирования по частям.
19.Алгебраический многочлен. Определение. Корни многочленов. Основные свойства корней. Разложение алгебра- ического многочлена с вещественными коэффициентами на произведение неприводимых вещественных множителей.
20.Рациональная дробь. Определение. Простейшие рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби с вещественными коэффициентами на сумму простейших дробей (без доказательства). Способы определения коэффициентов разложения.
21.Классы функций, интегрируемых в элементарных функциях. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей. Интегрирование квадратичных иррациональностей.
22.Понятие интегральной суммы и е¼ предела. Определение определ¼нного интеграла, его геометрический смысл. Необходимое и достаточное условие существования определ¼нного интеграла. Основные свойства определ¼нного интеграла.
23.Определ¼нный интеграл. Основные методы интегрирования: метод непосредственного интегрирования, метод интегрирования заменой переменной (подстановкой), метод интегрирования по частям.
24.Интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы I рода). Основные понятия и определения. Теоремы сравнения. Абсолютная сходимость.
25.Интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы II рода). Основные понятия и определения. Теоремы сравнения. Абсолютная сходимость.
26.Интегралы, зависящие от параметров. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметров.
27.Понятие площади плоской фигуры (квадрируемость фигуры). Вычисление площади плоской фигуры, заданной: в прямоугольных координатах, в декартовых координатах, параметрическими уравнениями.
28.Понятие длины дуги кривой (спрямляемость кривой). Вычисление длины дуги кривой, заданной: в прямоугольных координатах, в декартовых координатах, параметрическими уравнениями.
29.Понятие объема тела (кубируемость тела). Вычисление объема тела по площадям плоских сечений, объема тела вращения.
30.Понятие площади кривой поверхности (квадрируемость поверхности). Вычисление площади поверхности вращения.
31.Понятие функции нескольких переменных. Область определения и множество значений функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня.
32.Предел функции нескольких переменных. Последовательности точек евклидова пространства. Сходящиеся последовательности и их свойства. Определения предела функции нескольких переменных (по Гейне и по Коши).
33.Непрерывность функции нескольких переменных. Определение непрерывности функции в точке (формальное, по Гейне, по Коши). Точки разрыва функции нескольких переменных. Непрерывность функции на множестве. Частное и полное приращение функции. Разностная форма условия непрерывности функции.
34.Основные теоремы о непрерывных функциях (без доказательства).
35.Производные функции нескольких переменных. Определение частной производной. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных.
36.Дифференциал функции нескольких переменных. Определение, инвариантность формы первого дифференциала. Применение полного дифференциала в приближ¼нных вычислениях.
37.Производная по направлению. Градиент. Связь между производной по направлению и градиентом. Свойства градиента. Геометрическая интерпретация градиента.
38.Локальный экстремум функции нескольких переменных. Определение локального максимума и минимума функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума функции нескольких переменных (без доказательства) и его геометрический смысл. Стационарные точки, критические точки.
39.Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области.
40.Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов.
Сформулировать и доказать . . .
1. . . . основные теоремы о бесконечно малых функциях.
2. . . . теорему о связи между функцией, е¼ пределом и бесконечно малой функцией. 3. . . . теорему об арифметических операциях над функциями, имеющими предел. 4. . . . теорему о пределе промежуточной функции.
5. . . . первый замечательный предел.
6. . . . второй замечательный предел.
7. . . . основные теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях.
8. . . . теорему об устойчивости знака непрерывной в данной точке функции.
9. . . . теорему об арифметических операциях над непрерывными в данной точке функциями. 10. . . . теорему непрерывности сложной функции.
11. . . . необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции.
12. . . . теорему о связи между понятиями дифференцируемости и непрерывности функции. 13. . . . теорему о дифференцировании сложной функции.
14. . . . теорему о дифференцировании обратной функции.
15. . . . теорему о дифференцировании суммы, разности, произведения и частного функций. 16. . . . теорему Ролля.
17. . . . теорему Лагранжа.
18. . . . теорему Коши.
19. . . . теорему Лопиталя.
20. . . . теорему Тейлора.
21. . . . необходимое условие монотонности функции.
22. . . . достаточное условие монотонности функции.
23. . . . необходимое условие экстремума функции.
24. . . . достаточное условие экстремума функции первого порядка. 25. . . . достаточное условие экстремума функции второго порядка. 26. . . . достаточное условие экстремума функции n-го порядка.
27. . . . достаточное условие выпуклости вверх (вниз) графика функции. 28. . . . необходимое условие перегиба графика функции.
29. . . . достаточное условие перегиба графика функции.
30. . . . необходимое и достаточное условие существования у графика функции наклонной асимптоты.
31. . . . теорему о разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших рациональных добей. 32. . . . теорему о существовании первообразной у любой непрерывной функции.
33. . . . формулу Ньютона-Лейбница.
34. . . . необходимое условие дифференцируемости функции нескольких переменных. 35. . . . достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных. 36. . . . теорему о дифференцировании сложной функции нескольких переменных.
37. . . . теорему о дифференцировании функции, заданной неявно.
38. . . . теорему о независимости смешанной производной от порядка дифференцирования. 39. . . . необходимые условия экстремума функции нескольких переменных.
40. . . . достаточные условия экстремума функции двух переменных.