- •Лекции по курсу «сопротивление материалов» Основные понятия и определения
- •Физическая и математическая модель
- •Геометрические характеристики сечения
- •Изменение геометрических характеристик при параллельном переносе координатных осей
- •Изменение геометрических характеристик при повороте координатных осей
- •Геометрические характеристики сложных сечений
- •Метод сечений. Внутренние силы
- •Напряжение. Напряженное состояние в точке тела
- •Интегральные характеристики напряжений в точке
- •Нормальные напряжения в плоскости поперечного сечения
- •Закон парности касательных напряжений
- •Напряжения на наклонных площадках
- •Главные площадки и главные напряжения
- •Экстремальные свойства главных напряжений. Круговая диаграмма Мора
- •Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения
- •Математическая модель механики твердо деформируемого тела
- •Деформированное состояние тела
- •Касательные напряжения при кручении
- •Касательные напряжения при изгибе. Формула Журавского
- •Теории (гипотезы) прочности
- •Растяжение (сжатие) стержней
- •Кручение стержней
- •Изгиб стержней.
- •Внецентренное растяжение и сжатие
- •Оглавление
- •Литература
Изменение геометрических характеристик при параллельном переносе координатных осей
Пусть известны геометрические характеристики сечения относительно осей ХY. Требуется определить геометрические характеристики сечения относительно осей Х1Y1. Известно, что оси этих двух систем координат параллельны (рис.10). Координаты любой точки в новой системе координат можно выразить через координаты в прежней системе координат следующим образом:
х1 =х-а, (9)
у1=у-b.
Рис.10
Запишем геометрические характеристики в новой системе координат по определению и сделаем замену «новых» координат на предыдущие:
Sх1===-= Sх – bF;
Sу1===-= Sy – aF;
Iх1====
=-+= Iх-2bSх + b2F; (10)
Iу1====
=-+= Iy-2aSy + a2F;
Iх1у1====
=--+= Iху - aSy – bSx + abF.
Необходимо помнить, что координаты а и b, входящие в формулы, необходимо подставлять с учетом их знака.
Рассмотрим частный случай. Пусть оси Х1Y1– центральные, тогда
Sх1=Sх -bF=0,
Sу1=Sу - аF=0.
Следовательно
b=Sх/F=ус, (11)
a=Sy/F=хс,
где хс, ус - координаты центра тяжести сечения в произвольной системе координат ХY.
Изменение геометрических характеристик при повороте координатных осей
Рис.11
Пусть известны геометрические характеристики сечения относительно осей ХY. Требуется определить геометрические характеристики сечения относительно осей Х1Y1. Известно, что оси этих двух систем координат повернуты друг относительно друга на уголи имеют общее начало координат (рис.11). Координаты любой точки в новой системе координат можно выразить через координаты в прежней системе координат:
х1=хcos+ysin, (12)
у1=уcos-xsin.
Запишем геометрические характеристики в новой системе координат по определению и сделаем замену «новых» координат на предыдущие:
Iх1= ==
= =
= -+=
= Iхcos2 - Iхуsin2 + Iуsin2 ; (13)
Iу1= ==
= =
= ++=
= Iycos2 + Iхуsin2 + Ixsin2 ;
Iх1у1= ==
= =
= -+-
- = Iхуcos2 - 0,5Iysin2 +0,5Ixsin2 - Iхуsin2 =
= Iхуcos2 - 0,5sin2(Iy - Ix) .
Необходимо помнить, что угол , входящий в формулы, необходимо подставлять с учетом знака.
Сложим выражения для осевых моментов инерции при повороте координатных осей.
Iх1 + Iу1 = Iх(cos2 + sin2) + Iу(sin2 + cos2 ) + Iху(sin2- sin2) = Iх + Iу.
Отсюда можно сделать вывод, что при повороте координатных осей сумма осевых моментов инерции неизменна и равна полярному моменту инерции относительно начала координат.
Рассмотрим частный случай. Пусть оси Х1Y1– главные центральные, тогда
Iх1у1= Iхуcos2 - 0,5sin2(Iy – Ix) = 0,
tg2= . (14)
Необходимо помнить, что при решении задач угол, рассчитанный по формуле (14), откладывается против часовой стрелки, если он положителен и по часовой стрелке, если отрицателен.