Kolozova_Operacionnoe_ischislenie

Министерство образования и науки Российской Федерации Омский государственный технический университет

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Методические указания для студентов заочной формы обучения

Омск 2004

Составитель Колозова Ольга Алексеевна, старший преподаватель

Методические указания предназначены для студентов заочной формы обучения. Они состоят из теоретической части, которая содержит определения, теоремы, формулы, примеры и практической части, в которой приводятся 30 вариантов индивидуальных заданий.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета

2

Операционное исчисление – это один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев свести решение дифференциальных и некоторых типов интегральных уравнений к решению более простых алгебраических задач.

Операционное исчисление играет важную роль при решении прикладных задач, что особенно важно для студентов технического вуза.

С помощью операционного исчисления можно также находить решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных, уравнений в конечных разностях (разностных уравнений); производить суммирование рядов; вычислять интегралы. При этом решение этих и других задач значительно упрощается.

1. Оригиналы и их изображения

Основными понятиями операционного исчисления являются понятия функ-

ции-оригинала и функции-изображения.
Пусть f (t ) – действительная							функция действительного переменного			t (под
t будем понимать время или координату).
Функция			f (t ) называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим
условиям:
1.	f (t ) ≡ 0		при			t < 0.
2.	f (t ) – кусочно-непрерывная при t ³ 0, т. е. она непрерывна или имеет точки
разрыва 1-го рода, причем на каждом конечном промежутке оси									t таких точек
только конечное число, причем							f (0) = f (+ 0).
3. Существуют такие числа M > 0 и s ³ 0 , что для всех								t	выполняется не-
равенство			f (t)		£ M × es t , т. е. при возрастании t функция			f (t ) может возрас-
тать не быстрее некоторой показательной функции. Число								s0	= inf s	(точная

нижняя граница таких s) называется показателем роста f (t ).

Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого момента времени; удобнее считать, что в момент t = 0. Третьему условию удовлетворяют ог-

раниченные функции	(s0 = 0),			степенные tn (n > 0)	и многие другие.
Не являются оригиналами, например, функции вида					f (t) = aet 2	(не выполняется
условие 3), функции	f (t) =	a	,	n > 0 (не выполняется условие 2).
		tn

Условия 1) – 3) выполняются для большинства функций, описывающих различные физические процессы.

Замечание. Функция f (t ) может быть и комплексной функцией действительного переменного, т. е. иметь вид f (t) = f1(t) + if2 (t); она считается оригиналом, если действительные функции f1(t) и f2 (t) являются оригиналами.

3

Изображением оригинала f (t ) называется функция

F(p)

комплексного пе-

ременного

p = s + id, определяемая интегралом

∞

F(p) = ∫ f (t )× e−p t × dt.

(1)

0

Операцию перехода от оригинала

f (t ) к изображению

F(p)

называют преоб-

разованием Лапласа.

Соответствие

между оригиналом

f (t )

и изображением

F(p) записывается в виде

f (t) =& F(p)

или

F(p) =& f (t), а также

F(p) = L(f (t ))

(принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения –

соответст-

вующими большими буквами).

Теорема 1 (существование изображения). Для всякого оригинала

f (t ) изо-

бражение F(p) существует

в полуплоскости

Re p = s > s0 , где s0 - показатель

роста функции

f (t ), причем функция

F(p)

является аналитической

в этой по-

луплоскости

(s > s0 ) .

d

Докажем первую

часть

теоремы. Пусть

p = s + id

произвольная

точка полуплоскости

Re p = s > s0

(рис. 1). Учитывая, что

Re p > s0

f (t)

£ M × es 0 t , находим

∞

∞

0 s0

s

∫f (t )×e−p t

£ ∫

f (t )×e−p t

dt £

Рисунок 1

0

0

∞

∞

∞

£ M ∫ esot

e−p t

dt = = M ∫ eso t e−s t dt = M∫e−(s−so )t dt =

M

,

s - s0

0

0

0

так как s - s0

> 0 и

e−p t

=

e−s t × e−i δ t

= e−s t ×

cos d t - i sin dt

= e−s t .

∞

M

Таким образом,

F(p)

=

∫f (t )× e−pt

dt

£

.

(2)

0

s

- s0

Отсюда вытекает абсолютная сходимость интеграла (1), т. е. изображение F(p) существует и однозначно в полуплоскости Re p = s > s0 .

4

Следствие (необходимый признак существования изображения). Если

функция	F(p) является изображением функции f (t ), то
			lim F(p) = 0.
			p→∞
Это утверждение			непосредственно вытекает из неравенства	(2), когда
Re p = s → +∞.
Так как		F(p) –	аналитическая функция в полуплоскости	Re p > s0 , то
F(p) → 0	при	p → ∞ по любому направлению. Отсюда, в частности, следует, что
функции	F(p) = 2,		F(p) = p3 не могут быть изображениями.

Отметим, что из аналитичности функции F(p) следует, что все ее особые точки должны лежать левее прямой Re p = s = s0 или на самой этой прямой. Функция F(p), не удовлетворяющая этому условию, не является изображением функции f (t ). Не является изображением, например, функция F(p) = tg p (ее особые точки расположены на всей оси s).

Теорема 2 (о единственности оригинала). Если функция F(p) служит изо-

бражением двух оригиналов f1 (t) и f2 (t), то эти оригиналы совпадают друг с другом в тех точках, в которых они непрерывны.

Пример 1. Найти изображение единичной	1(t)
функции Хевисайда
	1

1(t) =		t ³ 0,
1	при
0	при	t < 0		0		t
(рис. 2).						Рисунок 2
Решение. По формуле (1) при s = Re p > 0 (s0 = 0)				находим

	∞	b		1			b
	F(p) = ∫ 1×e−p t dt = lim	∫ e−p t	dt = lim -		× e− p t
				p
	b→∞		b→∞				0
	0	0

=1 , p

т. е. F(p) =	1	или, в символической записи, 1(t ) =&	1	,	или 1 =&	1	.
	p		p
						p

Замечание. В дальнейшем функцию-оригинал будем кратко записывать в виде f (t ), подразумевая, что

f (t ) = f (t )	при	t ³ 0,
0	при	t < 0.

5

Пример 2. Найти изображение функции f (t ) = ea t ,

где

a − любое число.

Решение. Данная функция является оригиналом. По формуле (1) имеем

¥

b

F(p) =

∫

ea t e-p t dt = lim

∫

e-(p-a )t dt = - lim

1

× e-(p-a )t

b

=

- a

b®¥

b®¥ p

0

0

0

1

e-(p -a )×b

1

= lim

-

=

,

- a

p - a

b®¥ p

p - a

	если Re(p − a ) > 0.
	Таким образом,	eat =&	1	(Re p > Re a ) .	(3)
			p - a

2. Свойства преобразования Лапласа

Свойства преобразования Лапласа облегчают задачу нахождения изображений для большого числа функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.

Линейность.

Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбина-

ция изображений, т. е. если f (t) =&	F (p),	f	2	(t ) =&	F (p),	C	и C	2	-
1	1				2	1

постоянные числа, то C1 × f1 (t) + C2 × f2 (t) =& C1 × F1 (p) + C2 × F2 (p) . Используя свойства интеграла, находим

¥									¥					¥
∫	(C × f	(t ) + C			× f		(t ))× e	-p t dt = = C ×	∫	f	(t )× e-p t dt + C		×	∫	f		(t )× e-p t dt =
	1 1			2		2		1		1		2				2
0									0					0
								= C1 × F1 (p) + C2 × F2 (p).
Пример 3.			Найти изображения функций								sin ω t, cos ω t (ω – любое число),

C(соnst).

Решение. Пользуясь свойством линейности и формулой (3), находим

i w t -i w t

e

- e

1

1

1

w

sin w t =

=&

-

=

,

- i w

p2 + w2

2i

2i p

p + i w

т. е.

sin w t =&

ω

.

p2

+ w2

6

cos w t =&

p

Аналогично получаем формулу

.

p2 + w2

Далее, c = c ×1 =& c ×

1

,

т. е. c =&

c

.

p

p

Подобие

Если f (t) =& F(p),

> 0,

(lt ) =&

1

p

то f

× F

, т.

е.

умножение аргумента

l

l

оригинала на положительное число

λ приводит к делению изображения и его

аргумента на это число.

λ t = t1 , получим

По формуле (1), полагая

∞		∞					∞
f (l t ) =& ∫f (l t )× e−pt × dt =	1	−	p	t1	1
		× ∫ f (t1 )× e λ			× dt1 =		× ∫
	l					l
0		0					0

−	p	t		1	p
f (t )×e λ			dt =		× F
				l
					l

(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегрирования).

				cos t =&		p
Например, пусть								.
					p2 +1
1				p / ω					p
Тогда cos w t =&		×				=				.
	w		(p / w)2 +1				p2 + w2
Смещение изображения
Если f (t ) =& F(p),				a = const ,					то eat × f (t) =& F(p - a),

т. е. умножение оригинала на функцию	ea t влечет за собой смещение перемен-
ной p.
В силу формулы (1)
∞	∞
ea t × f (t ) =& ∫ ea t × f (t )e−p t dt = ∫ f (t )× e−(p−a )t dt = F(p - a )
0	0

(Re(p − a ) > s0 ).

Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия между оригиналами и их изображениями:

7

eat ×sin w t =&

ω

,

(p - a )2

+ w2

eat × cos w t =&

p − a

.

(p - a )2

+ w2

Запаздывание оригинала

Если f (t ) =& F(p),

τ > 0,

то

f (t - t) =& e−p τF(p) ,

т. е. запаздывание оригинала

на положительную величину

τ

приводит к умножению изображения оригинала

без запаздывания на

e−p τ .

Положив

t − τ = t1 , получим

∞

∞

f (t - t) =& ∫f (t - t)×e−p t dt = ∫f (t1 )e−p (t1+τ )dt1 =

0

−τ

∞

∞

= ∫f (t1 )×e−p t ×e−p t1 dt1 = ∫f (t )e−p t dt =e−p τ F(p).

0

0

Поясним термин «запаздывание». Графики функции

f (t )

и f (t − τ) имеют оди-

наковый вид, но график функции

f (t − τ)

сдвинут

на

τ

единиц вправо

(рис. 3). Следовательно, функции f (t )

и

f (t − τ)

описывают

один и тот же

процесс, но процесс, описываемый функцией

f (t − τ),

начинается

с опозда-

нием на время

τ.

f (t )

f (t )

f (t )

f (t − τ)

0

t

0

t

Рисунок 3

1(t − τ)

Свойство

запаздывания

удобно

1

применять при отыскании изображения

функций, которые на разных участках

задаются различными аналитическими

0

τ

t

выражениями; функций, описывающих

импульсные процессы.

Рисунок 4

8

				1	при		t ³ t,
Функция	1(t - t) =							называется	обобщенной единичной
				0 при			t < t
функцией (рис. 4).
Так как	1(t ) =&	1	,	1(t - t) =&		1	× e− p τ .
		p				p
								0	при	t < 0,
Пример 4. Найти изображение функции f (t ) = 1									при	0 £ t £ 3,
									при	t > 3.
								0

Решение. Данная функция описывает единичный импульс (рис. 5), который можно рассматривать как разность оригиналов единичной функции 1(t ) и обобщенной единичной функции 1(t - 3). Поэтому

f (t) = 1(t) -1(t - 3) =& 1 - 1 × e− 3 p = F(p). p p

f (t )

1

0

3

t

Рисунок 5

Дифференцирование оригинала

Если f (t) =& F(p) и функции	f ¢(t), f ¢¢(t), K , f (n )(t)	являются оригинала-
ми, то
′	&
f (t ) = p × F(p) - f (0),		(4)
f ¢¢(t ) =& p2 × F(p) - p × f (0) - f ¢(0),		(5)
f ¢¢¢(t ) =& p3 × F(p)- p2 × f (0)- p × f ¢(0)- f ¢¢(0),		(6)

		f (n )(t) =& pn × F(p) - pn −1 × f (0) - K - f (n −1) (0),								(7)
				∞
	По определению изображения f ¢(t ) =& ∫f ¢(t )e−pt dt.
			0		− p t		−pt		′
	Возьмем интеграл по частям, полагая		u = e			, du = -pe		,		v = f (t ).
									dv = f (t )dt ,
		∞				∞
	Тогда	f ¢(t ) =& ∫ f ¢(t )e−p t dt = f (t )e− pt		0∞ + p		∫ f (t ) e−pt dt = -f (0) + p F(p).
		0				0

9

Итак, f (t ) =& p × F(p) - f (0). Пользуясь полученным результатом, найдем изображение второй производной:

f ¢¢(t) = (f ¢(t))′ =& p(p × F(p) - f (0)) - f ¢(0) = p2 × F(p) - p × f (0) - f ¢(0).

Аналогично найдем изображение третьей производной:

f ¢¢¢(t ) =& p(p2 × F(p) - p × f (0) - f ¢(0))- f ¢¢(0) =p3 ×F(p) - p2 × f (0) - p × f ¢(0) - f ¢¢(0).

Применяя формулу (4)	(n − 1)	раз, получим формулу (7).
Замечание. Формулы (4) – (7)			просто выглядят при нулевых начальных усло-
виях: если f (0) = 0, то	′	&	′	то
	f (t) = p		× F(p); если f (0) = f (0) = 0,
f ¢¢(t) =& p2 × F(p), и, наконец, если			f (0) = f ¢(0) = K = f (n −1)(0) = 0,	то

f (n ) (t ) =& pn × F(p), т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на p .

Свойство дифференцирования оригинала вместе со свойством линейности широко используется при решении линейных дифференциальных уравнений.

Дифференцирование изображения

Если f (t ) =& F(p), то

F′(p) =& -t × f (t ),

F¢¢(p) =& (-1)2 × t2 × f (t ),

,

F(n )(p) =& (-1)n × tn × f (t ),

т. е. дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на (- t).

Согласно теореме 1 существования изображения, F(p) является аналитической функцией в полуплоскости Re p = s > s0 . Следовательно, у нее существует производная любого порядка. Дифференцируя интеграл (1) по параметру p получим

10