Понятие устойчивости

Под устойчивостью понимается свойство системы возвращаться в состояние установившегося равновесия после устранения возмущения, нарушившего это состояние. Свойство устойчивости системы автоматического управления принято иллюстрировать состояниями равновесия шара, находящегося на разных поверхностях (рис. 40).

В случае на рис. 40а – система устойчива, и шар возвращается в начальное положение, после исчезновения силы, сместившей его из этого положения, на рис. 40б –система неустойчива, на рис. 40в изображенобезразличноеположение равновесия шара.

При приложении к САУ внешних воздействий (управляющих воздействий или возмущений) в системе возникает переходный процесс у(t), который складывается из двух составляющих: свободные движения системыy_c(t), определяемые начальными условиями и свойствами самой системы, и вынужденные движенияy_в(t), определяемые внешним воздействием и свойствами системы:

y(t)=y_c(t)+y_в(t) .

Система будет устойчива, если её свободные движения затухают со временем и в системе устанавливается вынужденный процесс:

.

Для неустойчивых систем это условие не выполняется и практическое их использование является невозможным.

Таким образом, свойство устойчивости САУ является весьма важным свойством, совершенно необходимым для обеспечения работоспособности системы. Поэтому исследование устойчивости САУ является важным элементом теории автоматического управления.

Показателем устойчивости или неустойчивости системы служит вид переходной характеристики системы. Для устойчивой системы переходная характеристика сходится, т.е. стремится к установившемуся значению выходной величины (рис. 41а). Свободный процесс в устойчивой системе затухает (1 – колебательный процесс, 2 – апериодический процесс).

Для неустойчивой системы переходная характеристика расходится (рис. 41б). При этом в системе не устанавливается постоянное значение управляемой величины в соответствии с задающим воздействием, а изменение этой величины будет происходить до некоторого предельного состояния системы, определяемого её свойствами.

Неустойчивая система не обеспечивает адекватной реакции на задающее воздействие, поэтому такая система неработоспособна. В общем случае для получения переходной характеристики системы необходимо решить дифференциальное уравнение системы. По графику переходного процесса можно сделать заключение об устойчивости системы и об особенностях переходного процесса.

Условие устойчивости системы

Обыкновенная линейная система автоматического управления описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

Для устойчивости системы необходимо, чтобы свободный процесс в ней был сходящимся. Свободные движения системы описываются левой частью дифференциального уравнения и, следовательно, уравнение свободного процесса в системе

.

Характеристическое уравнение замкнутой системы

.

Характеристическое уравнение системы получается приравниванием к нулю знаменателя передаточной функции замкнутой системы.

Общее решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения, имеющего порядок n:

,

где A_i– постоянные интегрирования;p_i – корни характеристического уравнения;n– число корней.

Корни характеристического уравнения могут быть как вещественными, так и комплексными (попарно сопряжёнными). Каждый комплексный корень порождает в решении уравнения слагаемое вида

,

где – начальная фаза,А_i– начальная амплитуда.

Затухание процесса со временем возможно только в том случае, когда вещественная часть корня _i отрицательна. В этом случае для всех слагаемых

и, следовательно, свободный процесс затухает, а система устойчива.

Можно сформулировать математическое условие устойчивости для системы автоматического управления.Система автоматического управления будет устойчива, если все вещественные корни характеристического уравнения системы отрицательны, а все комплексные корни имеют отрицательные вещественные части.

Если корни характеристического уравнения изобразить на комплексной плоскости, то для устойчивости системы необходимо, чтобы все они лежали в левой полуплоскости (рис. 42). На рис. 42 корни характеристического уравнения изображены кружками на комплексной плоскости. Границе устойчивости будет соответствовать нахождение хотя бы одной пары корней на мнимой оси (для них вещественная часть равна нулю).

Поскольку корни характеристического уравнения определяются величиной и знаком коэффициентов дифференциального уравнения, то изменение коэффициентов, вследствие изменения параметров системы, может привести к нарушению условия устойчивости. Для исследования устойчивости системы автоматического управления необходимо проверить выполнения условия устойчивости для дифференциального уравнения системы. Система, для которой условие устойчивости выполняется, будет устойчивой (т.е. работоспособной).