- •Методические указания по проведению лекции
- •1. Введение
- •2. Подготовка к занятию
- •3. Требования к форме одежды
- •4. Цели и задачи (результат занятия)
- •5. Хронокарта занятия и аудиторная деятельность студента Типовой регламент проведения лекционного занятия (2 часа)
- •6. Оснащение:
- •7. Внеаудиторная самостоятельная работа студента
- •7. Критерии оценок деятельности студента, при освоении учебного материала представлены:
- •9. Рекомендации для студентов, пропустивших лекционное занятие.
- •10. Приложения для самостоятельной работы студентов
- •Лекционное занятие №9.
- •Распределение дискретной случайной величины
- •Функция распределения случайных величин
- •Свойства функции распределения f(X) случайной величины X
- •2. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики
- •Математическое ожидание и его свойства
- •Вероятностный смысл математического ожидания
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия и ее свойства
- •Свойства дисперсии
- •Среднее квадратическое отклонение
- •3. Основные законы распределения случайных величин (срс)
- •Вопросы к практическому занятию:
Распределение дискретной случайной величины
На первый взгляд может показаться, что для задания ДСВ достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их — различные.
Поэтому для задания ДСВ недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.
Законом распределения ДСВназывают соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно представить в виде таблицы, формулы, графически.
При табличном задании закона распределения ДСВ первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины, а вторая — их вероятности:
X |
x1 |
x2 |
… |
xn |
P |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Приняв во внимание, что в одном испытании СВ принимает одно и только одно возможное значение, получаем, что события ,,…,образуют полную группу, следовательно, сумма вероятностей этих событий, то есть сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице:.
Для наглядности закон распределения ДСВ можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки с координатами , а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником (полигоном) распределения.
Функция распределения случайных величин
Для ДСВ так же как и для НСВ, вводится понятие функция распределения.
Функцией распределения случайной величины X называется функция действительной переменной x, определяемая равенством F(x)=P(X < x). Ее также называют интегральной функцией распределения ДСВ и НСВ.
Геометрически это означает следующее: F(x) — вероятность того, что случайная величина X примет значение, которое изображается точкой на числовой прямой, расположенной слева от точки x.
Если дискретные значения случайной величины x1, x2, …, xn расположены в порядке возрастания, то каждому значению xi этих величин ставится в соответствие сумма вероятностей всех предыдущих значений и вероятности pi:
x1 |
x2 |
x3 |
… |
xn |
p1 |
p1 + p2 |
p1 + p2 + p3 |
… |
p1 + p2 + p3 + … +pn |
Так как до значения x1 случайная величина X не встречалась, то и вероятность события X < x1 равна нулю.
Для всех значений x1 < x ≤ x2 вероятность события X < x совпадает с вероятностью значения x1, т.е. p1.
Но при x > x2 СВ уже может принимать два возможных значения x1 и x2, поэтому вероятность события X < x для x2 < x ≤ x3 будет равна сумме вероятностей p1 + p2 и т. д.
Нанося на график возможные значения ДСВ X и соответствующие суммы вероятностей, получаем ступенчатую фигуру, которая и является графиком функции распределения вероятностей.
Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям СВ, и равны вероятностям этих значений.
Свойства функции распределения f(X) случайной величины X
;
если , то;
= ;
где символ означает, что суммируются вероятности тех значений, которые меньше. Эта функция является разрывной.