Рис. 5. Окно ввода параметров уравнений
Здесь необходимо задать абсолютную магнитную проницаемость среды μrμ0 и плотность тока для области проводника с током (для остальных областей плотность тока будет равна нулю).
Построение сетки, решение задачи, визуализация результатов
В режиме сетки кроме построения и сгущения сетки конечных элементов в меню Mesh имеется возможность показа номеров узлов и треугольников сетки. В параметрах можно указать максимальный размер сетки maximum edge size. Снизу отображается информация о количестве узлов и треугольников в сетке.
Пакет PDETool переходит в режим решения PDE задачи по команде Solve/Solve PDE. Когда заканчивается процесс решения, PDETool переходит либо в режим визуализации решения. Время решения и точность зависят от числа узлов, количества элементов, регулярности сетки, типа задачи и т.п. После решения задачи отображается график с картиной поля. График достаточно детально настраивается в окне параметров. Отображаемые физические величины перечислены в таблице 1.
Таблица 1. Перечень физических величин для визуализации
Тип задачи |
Пункты |
Описание пунктов меню |
|
ниспадающего |
(что визуализируется при выборе данного |
|
меню группы |
пункта меню) |
|
Property |
|
|
|
|
Electrostatics |
electric potential |
Электрический потенциал |
|
|
|
|
electric field |
Напряжённость электрического поля |
|
|
|
|
electric displacement |
Электрическое смещение |
|
|
|
Magnetostatics |
magnetic potential |
Z-составляющая векторного магнитного |
|
|
потенциала |
|
|
|
|
magnetic flux density |
Магнитная индукция |
|
|
|
|
magnetic field |
Напряжённость магнитного поля |
|
|
|
Дальнейшая работа проводится либо с графиками, либо в среде MATLAB, куда можно экспортировать входные и выходные данные расчета.
Лабораторная работа № 4. Анализ точности численного расчета постоянного магнитного поля двухпроводной линии
1. Цель работы
Ознакомиться с возможностями пакета PDE Toolbox MATLAB и проанализировать влияние размера сетки конечных элементов на точность расчета постоянного магнитного поля двухпроводной линии методом конечных элементов.
2. Теоретическая справка
Для анализа влияния размера сетки конечных элементов на точность расчетов методом конечных элементов целесообразно рассмотреть задачу, точное решение которой известно. Для этих целей рассмотрим задачу расчета постоянного магнитного поля
двухпроводной линии. Результирующий вектор магнитной индукции в произвольной точке можно определить по методу наложения как геометрическую сумму
23
составляющих этого вектора |
и от каждого провода в отдельности: |
|
||||
(рис. 1). Модули векторов |
и определяются по формулам: |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
d
r1 B2 |
B |
r2 |
|
|
1 |
I 
M B M 
I
Bmax Bmax
Рис. 1. Магнитное поле двухпроводной линии
Для целей анализа точности численного расчета будем рассчитывать максимальное значение магнитной индукции.
3.Вопросы для коллоквиума
1.Каковы особенности пакета PDE Toolbox?
2.Как в нем вводится геометрия модели, задаются граничные условия?
3.Как и какие указываются свойства материалов? Как и какие задаются параметры уравнений?
4.Какие вы ожидаете результаты влияния размера сетки на точность решения задачи?
4.Рабочее задание
1.Определите расчетную область, оси симметрии и антисимметрии задачи. Исходные данные даны в таблицах 1 и 2. Начертите схему задачи. Рассчитайте максимальное значение магнитной индукции, задавая ток в проводниках равным 1 А.
Таблица 1
Номер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бригады |
|
1, 11, |
|
2, 12 |
|
3, 13 |
4, 14 |
|
5, 15 |
6, 16 |
7, 17 |
8, 18 |
9, 19 |
10, |
||||||||
(номер |
|
21 |
|
|
|
20 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
компьютера) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rпровода, см |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Номер группы |
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|||
d, см |
|
|
10 |
|
12 |
|
14 |
|
16 |
|
18 |
|
20 |
|
22 |
|
24 |
|
26 |
|||
Номер группы |
|
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
|
17 |
|
18 |
|||
d, см |
|
|
28 |
|
30 |
|
32 |
|
34 |
|
36 |
|
38 |
|
40 |
|
42 |
|
44 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Откройте MATLAB. Откройте PDE Toolbox. Для этого введите в командном окне pdetool, либо найдите пакет Partial Differential Equation в меню Start.
Постройте геометрическую модель.
3.Задайте граничные условия, свойства материалов (относительная магнитная проницаемость проводников и воздуха μ=1, магнитная постоянная μ0 = 4π·10-7 Гн/м). Рассчитайте и задайте плотность тока в проводнике, учитывая что она равномерна.
4.Сформируйте сетку конечных элементов и постройте картину поля векторов магнитной индукции. Проверьте, что максимальное значение магнитной индукции находится на границе провода.
5.Сохраните результаты численного моделирования с помощью команд
Solve>>Export Solution, Mesh>>Export Mesh. В основном окне MATLAB в
рабочей области Workspace появились массивы u – данные векторного магнитного потенциала в узлах сетки, p – координаты x,y узлов, e – информация о сторонах треугольников, t – номера узлов треугольников.
Двойным щелчком мыши откройте массив t и проверьте информацию об узлах треугольников. Для этого в режиме построения сетки выберите Show Node Labels, Show Triangle Labels. Зарисуйте 2-3 треугольника.
6.Известно, что вектор магнитной индукции находится через векторный
магнитный потенциал следующим образом: ( |
|
|
|
). Найдите |
|
|
производные векторного магнитного потенциала. Для этого в командном окне MATLAB введите функцию вычисления градиента векторного магнитного потенциала в каждом треугольнике [ux,uy]=pdegrad(p,t,u);.
7.Введите выражение для расчета компонент вектора магнитной индукции Bx, By. Рассчитайте модуль вектора магнитной индукции: B = sqrt(Bx.*Bx + By.*By);.
8.Откройте массив B. Если все сделано правильно, в нем каждому треугольнику соответствует значение модуля вектора магнитной индукции. Найдите треугольник с максимальным значением магнитной индукции. Проверьте правильность решения по графику и с помощью выражения
[Bmax, triangle] = max(B).
9.В PDE Toolbox в режиме построения сетки определите количество узлов и треугольников сетки (при необходимости перестройте сетку). Нажмите кнопку сгущения сетки, запишите количество узлов и треугольников сетки. Засеките время решения задачи. Определите максимальное значение магнитной индукции. Повторите данный шаг несколько раз.
10.Постройте график зависимости точности расчета максимального значения магнитной индукции и времени решения задачи от количества треугольников сетки.
5.Вопросы к защите
1.Как размер сетки конечных элементов влияет на точность решения? Подтвердите результатами расчета.
2.В каком случае расчет покажет меньшее максимальное значение магнитной индукции: при густой или редкой сетке конечных элементов? Почему?
3.Имеет ли значение, в каком месте расчетной области задачи сетка густая, а в каком редкая? Можно ли сохранить точность расчета, уменьшив количество треугольников?
4.При каком расчете значение магнитной индукции больше? При численном или аналитическом? Почему?
25
5.Какие возможности пакета PDE Toolbox для расчета задач электромагнитного поля вы можете назвать?
6.Назовите основные этапы работы с пакетом PDE Toolbox.
26