Типовой расчет 4-1

1

ЗАДАНИЕ на типовой расчет по курсу «Электротехника»

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ИСТОЧНИКАМИ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ И ЭДС

В рассматриваемых схемах с нелинейным резистивным элементом (полупроводниковым диодом) происходит замыкание ключа в одной из ветвей.

1.Графическим методом определить рабочий участок вольт-амперной характеристики нелинейного элемента (ВАХ НЭ) для анализа переходного процесса в заданной схеме.

2.Применяя метод кусочно-линейной аппроксимации (два отрезка ло-

маной линии на рабочем участке ВАХ НЭ), рассчитать ток i или напряжение и нелинейного элемента в переходном процессе. Построить зависимости и(t)

или i(t).

3.Аппроксимировать рабочий участок характеристики нелинейного элемента полиномом второй степени y=ax+bx2 и определить коэффициенты аппроксимации по граничным точкам рабочего участка.

4.Рассчитать ток i или напряжение u нелинейного элемента методом аналитической аппроксимации.

5.Составить уравнения состояния для определения напряжения u или тока i нелинейного элемента с учѐтом полученной аналитической аппроксимации НЭ.

Выбор схемы и числовых данных

1.Номер схемы рис. 1 должен соответствовать номеру п, под которым студент числится в аудиторном журнале.

2.Значения компонентов схемы следующие: Е=0,5(N+20) В,

J=4(N+40) мА, L=0,01(N+1) Гн, С=0,1 N мкФ, где N - номер учебной груп-

пы, R=40 Ом, r =100 Ом.

3. Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента задана в табл. 1 для всех схем.

Таблица 1

U, В	0	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
I, мА	0	3	5	9	14	20	30	42	60	100	160

Варианты расчетных схем находятся у преподавателя.

2

1. Графический метод определения рабочего участка ВАХ НЭ

Рис. 1. Исходная схема

Вольт-амперная характеристика диода представлена в табл. 2 и на рис. 2:

Таблица 2

U, В	0	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
i, мА	0	3	5	9	14	20	30	42	60	100	160

Рис. 2. Вольт-амперная характеристика диода

3

1.1.Определение рабочего участка вольт-амперной характеристики нелинейного элемента графическим методом для анализа переходного процесса в заданной схеме

Определим начальную и конечную точку рабочего участка ВАХ НЭ:

Рис. 3. Схема в установившемся режиме до коммутации

ННУ: t 0 , т.е. ключ замкнут.

iL (0) 0 мА.

t 0 Ключ разомкнут.

Рис. 4. Схема для первого момента времени после коммутации

iд (0) iL (0) 0 мА, - это начальная точка рабочего участка.

Установившийся режим соответствует моменту времени t при разомкнутом ключе. Рассчитаем параметры эквивалентного генератора относительно диода:

U р JR 0,168 40 6, 72 В,

Iк J 0,168 А, rвх 40 Ом .

4

Рис. 5. Определение рабочего участка ВАХ НЭ

На рис. 5 показано определение конечной точки рабочего участка ВАХ

НЭ.

Uд 5,96 В, iд 19,74 мА (по точке пересечения ВАХ диода и резистора).

Слева рабочий участок ограничивается осью i . Таким образом, найденный рабочий участок ВАХ диода [2]:

Напряжение на диоде U изменяется от 0 до 5,96 В; Ток на диоде i изменяется от 0 до 19,74 мА.

2. Расчѐт тока и напряжения диода в переходном процессе с

помощью метода кусочно-линейной аппроксимации

Рис. 6. Схема после коммутации

Разобьѐм рабочий участок ВАХ диода на два отрезка ломаной линии.

5

Рис. 7. Кусочно-линейная аппроксимация рабочего участка ВАХ диода

1) 0 t t1

Параметры эквивалентной схемы замещения диода на первом участке линейной аппроксимации:

RЭ1 ctgα1 ctg0,002 600 Ом, EЭ1 = 0 В.

Рис. 8. Эквивалентная расчѐтная схема

Проведѐм расчѐт необходимых токов и напряжений на первом участке:

t

1 ,

i

L

(t) i

Lуст

i

Lсв

i

Lуст

K e

1

iLуст J

R

0,168

40

10,5

мА.

R RЭ1

640

Постоянная времени на первом участке:

		L		L	47 мкс.
1		Rвх		R RЭ1

6

Из ННУ: i (0) i

K

K 0,01, А.

Lуст

1

1

L

0

Значение тока на диоде:

i

L

(t) i

(t) 0,01 0,01e 21333 t , А.

д

Напряжение на катушке индуктивности:

L

diL

uL (t)

uL (t) 213Le 21333 t 6, 4e 21333 t , В.

dt

Напряжение на резисторе:

uR (J iL ) R 6, 72 0, 4 0, 4e 21333 t

6,32 0, 4e 21333 t , В.

Значение напряжения на диоде:

u (t) u

R

(t) u

L

(t) 6,32 0, 4e 21333 t 6, 4e 21333 t 6,32 6e 21333 t , В.

д

Определение момента перехода с первого участка на второй t1: Из рис.7 определяем значение тока диода на границе двух участков, т.е.

i (t ) 0, 005 0, 01 0, 01e 21333 t1						e 21333 t1	0,5;
д	1
t		ln 0,5		33 мкс.
1	21333

2) t t1 (расчѐт второго участка аппроксимации)

Расчѐтная схема эквивалентна рис. 8. Параметры эквивалентной схемы замещения диода на втором участке линейной аппроксимации:

RЭ2 ctgα2 ctg0,3 200, Ом, EЭ1 2 В.

ННУ для второго участка: iL (t1 ) iL (t1 ) 5мА.

Рассчитаем ток на катушке индуктивности:

t

iL (t ) iLуст2 iLсв2

2 ,

где t t t1 ,

iLуст2 K2e

i

Lуст2

JR EЭ2

20 мА.

R

RЭ2

Постоянная времени на втором участке:

τ

L

L

125 мкс.

1

Rвх

R RЭ2

Из ННУ: iL (t 0) iLуст2 K2

K2 0,005 0,02 0,015 А.

Значение тока на диоде на втором участке:

iL (t) iд (t) 0,02 0,015e 8000 (t 33 10 6 ) , А.

7

Напряжение на катушке индуктивности:

L		diL		u		(t)	u		(t) 120Le 8000 (t 33 10 6 ) 3, 6e 8000 (t 33 10 6 )	, В.
					L			L
			dt
						Напряжение на резисторе:
u	R		(J i ) R 6,72 0,8 0,6e 8000 (t 33 10 6 ) 5,92 0,6e 8000 (t 33 10 6 ) , В.
						L

Рис. 9. Временные зависимости тока и напряжения на диоде

3.Аппроксимация рабочего участка характеристики диода полиномом

второй степени и определение коэффициентов аппроксимации по граничным точкам рабочего участка

Заданный вид аналитической аппроксимации рабочего участка ВАХ диода:

uд aiд biд2 .

Для граничных точек рабочего участка:

u	(0) ai		(0) bi2 (0),
д		д		д
u		ai		bi2 .
		дуст		д уст
дуст

Поскольку первое уравнение системы вырождается в тождество, то вместо него возьмѐм значения тока и напряжения в заданной точке из табл.1 u 3 В, i = 5 мА. Таким образом, получаем

u	ai		bi2		,
д3		д3		д3
u		ai		bi2 .
		дуст			дуст
дуст

8

В численном виде:

3 5 10 3 a 2,5 10 5 b,
		2			4
	2 10		a 4	10		b.
5,96

Значение коэффициентов аналитической аппроксимации:

a 701,

b 20223.

Итак, уравнение аналитической зависимости между напряжением и током на диоде записывается в виде:

uд (iд ) 701iд 20223iд2 , В.

4. Расчѐт тока i диода методом аналитической аппроксимации

Рис. 10. Расчѐтная схема

Система уравнений Кирхгофа для схемы на рис. 10:

J iR iд ,uд uL uR .

С учѐтом компонентного уравнения для напряжения на катушке индуктивности и аналитической аппроксимации для напряжения на диоде получаем нелинейное дифференциальное уравнение:

uд L didtд (J iд ) R ,

701iд 20223iд2 0, 03 didtд 40iд 6, 72 ,

9

didtд 674100iд2 24700iд 224 .

Решаем уравнение методом разделения переменных:

		diд			dt ,
674100i2		24700i		224
	д		д
	1, 4810 6 di					dt .
				д
i2	36, 64 10 3 i		0,33 10 3
д		д

После нахождения корней знаменателя раскладываем его на простейшие множители:

1, 4810 6 di

д

dt .

iд 1,59 10 2 iд 2,07 10 2

По методу неопределѐнных коэффициентов вычисляем:

1,48 10 6

A

B

i 1,59 10 2 i

2,07 10 2

,

i

1,59 10 2

i

2,07 10 2

д

д

д

д

1,48 10 6 A i

2,07 10 2 B

i 1,59 10 2 ,

д

д

i 1,59 10 2

1,48 10 6 0,48 10 2 A

A 3,08 10 4 , с,

д

i 2,07 10 2

1,48 10 6 0,48 10 2 B

B 3,08 10 4 , с.

д

4

diд

diд

3, 0810

dt .

i 1,59 10 2

i 2, 07 10 2

д

д

По таблице интегралов записываем решение:

t 3,08 10 4 ln

i

1,59 10 2

ln

i

2,07 10 2

c ,

д

д

t 3,08 10 4 ln

i

1,59 10 2

д

c .

i

2,07 10 2

д

Значение константы с определим из нулевого момента времени:

				1,59 10 2
	t 0		c 3,08 10 4 ln			8,13 10 5 , с.
				2,07 10 2

10

Аналитическая зависимость между током диода и временем:

t 3,08 10 4 ln	i	1,59 10 2		8,13 10 5
	д				,	с.
	i	2,07 10 2
	д

5. Составление уравнений состояния для определения тока i диода

По принципу компенсации диод можно заменить на источник напряжения, а катушку индуктивности ― на источник тока (рис. 11).

Рис. 11. Схема для составления уравнений состояния

Воспользуемся методом наложения для нахождения напряжения на катушке [1], [3]. Схемы для расчѐта “частичных” напряжений представлены на рис. 12 ― 14.:

U JR,

L

iR J

Рис. 12

U i R,

L L

iR iL

Рис. 13

U U ,

L д

iR 0 Uд

Рис. 14

По методу наложения с учѐтом аналитической аппроксимации для напряжения на диоде записываем систему уравнений: