Из уравнения (21) выразим

(22)

Уравнение (22) подставим в (21):

Сгруппировав члены и приведя их к общему знамена­телю, получим дифференциальное уравнение второго по­рядка:

(23)

Характеристическое уравнение:

(24)

Проверка. Составим характеристическое уравне­ние по входному сопротивлению.

Комплекс входного сопротивления запишем следую­щим образом:

Заменим нар. Тогда

а соответственно,

Приравняв числитель к нулю, получим характеристиче­ское уравнение (24). Подставив числовые данные, най­дем корни характеристического уравнения:

Итак, корни комплексные и сопряженные:

5. Для нахождения искомого тока i2 предварительно найдем закон изменения напряжения на емкости:

(25)

Уравнение (25) дифференцируем:

(26)

Уравнения (25, 26) записываем при t=0₊:

(27)

6. Для определения систему уравнений (18......20) Кирхгофа записываем при t=0:

Подставляем известные числовые значения:

Решив систему, уравнений, получим:

Так как , то

В систему уравнений-(27) подставляем числовые значе­ния:

Решение дает:

Итак,

7. Определяем искомую величину i2

Примечание. При сложении двух синусоид удобно пользоваться символическим методом: записав их в комплексной форме, сложить полученные комплексные числа, а затем обратно перейти к синусоидальной функции.

Операторный метод расчета переходных процессов рекомендуемая литература

1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники.—М., 1978, том 1, § 8.31—&3&, 8.41—8,49

2. Зевеке Г. В., Ионкин П. А., Нетушил А. В., Страхов С. В. Основы теории цепей.—М., 1975, § 14.1—14.3.

3 Теоретические основы электротехники. /Под ред. Ионкина П. А.—М., 1976, том 1, § 16.1—16.3.

1. Изучить основные понятия операторного метода расчета:

заданную функцию действительного переменного f(t) преобразуют специальным математическим приемом, в функцию комплексного переменного F(p). При этом f(t) называют оригиналом, F(р)- изображением. Вместо исходных дифференциальных уравнений получаются опе­раторные уравнения для изображений;

полученные операторные уравнения решаются относи­тельно комплексного переменного F(р) для искомой функции;

специальным математическим приемом осуществляет­ся переход от функции комплексного переменного F(р) к ее оригиналу, т. е. к искомой функций времени f(t).

Таким образом, сложные математические операции решения дифференциальных уравнений заменяются ре­шением простых - алгебраических уравнений, записанных в операторной форме.

Для преобразования функции вещественного пере­менного f(t) в функцию комплексного переменного F(р) пользуются преобразованием Лапласа.

.(28)

Следует отметить, что между изображением и ориги­налом нет равенства, а есть только соответствие. Это важное положение подчеркивается условной записью, связывающей изображение с оригиналом.

Имеются более 1500 оригиналов и соответствующих им изображений. Самые распространенные из них приведе­ны в табл. 2.

Заключительным этапом расчета переходных процессов операторным методом является нахождение оригина­ла функции по известному изображению. Это можно сде­лать по таблицам, приведенным в учебниках по ТОЭ, и в справочниках.

Таблица 2
Оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение
А
		t

При выполнении домашнего задания следует восполь­зоваться аналитическим методом перехода от изображе­ния к оригиналу, а именно с помощью формулы разло­жения:

(29)

Рассмотрите ряд примеров применения формулы раз­ложения.

Пример 5. Дано изображение

Найти оригинал f(t).

Обозначим F₁(р)=120; F₂(р)=р²+160 р+6000.

Найдем корни многочлена знаменателя F₂(р)=0;

р² +160 р+6000=0;

Применим формулу разложения

F₁(p₁)=F₁(p₂)=F₁(p)=120.

Производная знаменателя F₂^/ (р) == 2р +160.

Подставляем в нее поочередно корни:

F₂^/(p₁)=2(-40)+160=40

F₂^/(p₂)=2(-100)+160= - 40

По формуле разложения найдем оригинал:

Пример 6. Найти оригинал по заданному изобра­жению:

Определяем корни знаменателя F₂(р) = 0:

р(р²+40р+500)=0;

р₁=о;

Вычисляем числитель, подставляя в него корни р₁ р₂, р₃:

F₁(р)=10р+200; F₁(р₁)=200;

F₁(р₂)=10( -20+j10)+200=j100;

Р1(Рз)= -j100, так как корни комплексные и сопряженные

Вычисляем знаменатель:

Применяем формулу разложения:

Таким образом, подстановка в формулу разложения комплексных сопряженных корней приводит к получению

в качестве оригинала затухающей синусоидальной функ­ции.

Итак, вычисление оригинала по формуле разложения следует вести в следующем порядке:

1) приравнивая F₂(р) нулю, определяют корни p₁, p₂, p₃и т. д.;

2) вычисляют производную знаменателя дроби F (р) и подставляют в нее поочередно корни p₁, p₂, p₃...;

3) вычисляют числитель F₁(р), подставляя в него корни p₁, p₂, p₃...;

4) рассчитывают оригиналf(t), производя вычисления отдель­ных слагаемых и суммируя их.

Изучив математические основы операторного метода интегрирования дифференциальных уравнений, рассмот­реть его особенности для расчета переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами.