- •Министерство образования и науки российской федерации
- •2012 Г.
- •Тема 1. Построение моделей оптимального формирования пакета ценных бумаг (на примере задачи линейного программирования).
- •Тема 2. Решение транспортной задачи.
- •Тема 3. Определение показателей эффективности системы массового обслуживания (на примере многоканальной системы с неограниченной очередью).
- •Тема 4. Нахождение оптимальных смешанных стратегий игры с нулевой суммой.
- •Тема 5. Прогнозирование временных рядов.
- •Тема 6. Применение метода экстраполяции к непрерывным математическим моделям (на примере дифференциального уравнения).
Тема 6. Применение метода экстраполяции к непрерывным математическим моделям (на примере дифференциального уравнения).
Дифференциальные уравнения часто выступают в качестве непрерывных математических моделей для многих прикладных задач. В некоторых случаях требуется не только найти решение дифференциального уравнения, но и определить для этого решения экстраполированное значение зависимой переменной при указанном значении независимой переменной.
Пример 6.1.
Для проведения оздоровительной процедуры в соляной ванне используются баки с соляным раствором. В первом баке находилось 100л. раствора, содержащего 10кг соли. В него втекает 5л. воды в минуту, а смесь с той же скоростью переливается в другой 100-литровый бак, первоначально заполненный чистой водой. Избыток жидкости из него выливается. Какое количество соли во втором баке будет наибольшим?
Решение.
Пусть Q1(t), Q2(t) – количество соли в кг в первом и втором баке соответственно в момент времени t от начала переливания, – время переливания соли из первого бака во второй, а также время выливания соли из второго бака.
Тогда имеем
(
;
где
Из последнего уравнения получим при
, откуда
.
Поскольку Q1(0) =10, то решение задачи
.
Аналогично, используя первое уравнение для Q2(t),
имеем
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Его частное решение Q2(t) находится при условии Q2(0)=0.
Исследуя функцию Q2(t) на экстремум, найдем сначала максимальное время tmax, а затем уже экстраполированное значение Q2max=Q2( tmax).
Контрольное задание №1
1.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
12 10 |
18 16 |
25 20 |
2.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
12 12 |
18 16 |
25 20 |
3.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
15 20 |
20 20 |
20 25 |
4.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
20 25 |
12 10 |
25 10 |
5.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
20 25 |
16 25 |
20 20 |
6.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
20 20 |
16 25 |
20 25 |
7.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
12 20 |
18 16 |
25 25 |
8.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
20 16 |
20 24 |
20 25 |
9.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
20 20 |
10 24 |
20 25 |
10.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
20 20 |
24 10 |
20 25 |
11.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
13 11 |
19 17 |
26 21 |
12.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
13 13 |
19 17 |
26 21 |
13.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
16 21 |
21 21 |
21 26 |
14.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
21 26 |
13 11 |
26 11 |
15.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
21 26 |
17 26 |
21 21 |
16.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
21 21 |
17 26 |
21 26 |
17.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
13 21 |
19 17 |
26 26 |
18.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
21 17 |
21 25 |
21 26 |
19.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
21 21 |
11 25 |
21 26 |
20.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
21 21 |
25 11 |
21 26 |
21.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
14 12 |
20 18 |
27 22 |
22.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
14 14 |
20 18 |
27 22 |
23.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
17 22 |
22 22 |
22 27 |
24.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
22 27 |
14 12 |
27 12 |
25.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
22 27 |
18 27 |
22 22 |
26.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
22 22 |
18 27 |
22 27 |
27.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
14 22 |
20 18 |
27 27 |
28.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
22 18 |
22 26 |
22 27 |
29.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
22 22 |
12 26 |
22 27 |
30.
Вид акции |
Ожидаемая доходность i,% |
Среднее квадратическое отклонение от доходности , % |
Рыночная цена акции p, руб. |
1 2 |
22 22 |
26 12 |
22 27 |
Контрольное задание №2
На трех складах А1, А2, А3 хранится а1=70, а2=200, А3=50+10k единиц одного и того же груза. Этот груз требуется доставить трем потребителям B1, B2, B3, заказы которых составляют b1=190+5k, b2=120 и b3=5k=10 соответственно. Стоимость cij перевозок единиц груза с i –го склада j-му потребителю указаны в правых верхних углах соответствующих клеток распределительной таблицы:
|
B1 |
B2 |
B3 |
aI |
A1 |
4
|
2 |
l +2 |
70 |
A2 |
l
|
5 |
3 |
200 |
A3 |
1
|
l +1 |
6 |
50+10k |
bj |
190+5k |
120 |
5k+10 |
|
Используя метод потенциалов, составить оптимальный план X*, обеспечивающий минимальную стоимость перевозок
f min = f (X*) и найти эту стоимость.
Числовых данных параметров k и l определяются по двум последним цифрам своего шифра (А – предпоследняя цифра, В - последняя цифра). Значение параметра k выбирается из таблицы 1, а значение параметра l - из таблицы 2. Эти два числа k и l и нужно подставить в условия контрольного задания.
Таблица 1 (выбор параметра k)
A |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Таблица 2 (выбор параметра l)
B |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
l |
3 |
5 |
4 |
2 |
1 |
5 |
4 |
1 |
3 |
2 |
Например, если шифр студента 1604 – 037, то А=3, В=7, и из таблиц находим, что k=4, l=1.
Контрольное задание № 3
В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью
=81 чел./час. Средняя продолжительность обслуживания кассиром одного покупателя 2 = 2
Определить:
минимальное количество nmin кассиров, при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие показатели эффективности при n=nmin;
оптимальное количество nопт кассиров, при котором относительная величина затрат Cотн= будет минимальна при условии, что
n ≤ 7.
час, 2.час,
час, 4.час,
час, 6.час,
час, 8.час,
час, 10.час,
час, 12.час,
час, 14.час,
час, 16.час,
час, 18.час,
час, 20.час,
час, 22.час,
час, 24.час,
час, 26.час,
час, 28.час,
час, 30.час,
Контрольное задание № 4
Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию, которую логично сразу отправить потребителю (стратегия А1) или подвергнуть дополнительной обработке для длительного хранения (стратегия А2). Потребитель может немедленно приобрести продукцию (стратегия В1) или после длительного периода времени ( стратегия В2), Проверить имеет ли данная игра 2×2 нулевую точку и если нет. То найти решение игры в смешанных стратегиях. Матрица затрат (платёжная матрица) Р =.
В задачах с нечетными номерами найти аналитическим методом, и- геометрическим методом. В задачах с четными номерами найтиметодом, и- аналитическим методом.
Контрольное задание №5
Данные по объему выпускаемой продукции предприятия (тыс.штук) в течение четырех лет представлены в таблице в виде временного ряда. Определить точечный и интервальный прогноз по объему продукции на указанный год, если:
год
1994
1995
1996
1997
28
26
27
25
Время прогноза -2003 год
3.
год
1995
1996
1997
1998
22
28
23
20
Время прогноза -2007год
5.
год
1998
1999
2000
2001
25
29
30
31
Время прогноза -2009 год
2.
год
1996
1997
1998
1999
23
25
29
30
Время прогноза -2006 год
4.
год
1997
1998
1999
2000
30
31
28
27
Время прогноза -2008 год
6.
год
1999
2000
2001
2002
21
30
18
31
Время прогноза -2010 год
7.
год
2004
2005
2006
2007
18
21
25
20
Время прогноза -2015 год
9.
год
2002
2003
2004
2005
25
22
30
21
Время прогноза -2010 год
11.
год
1995
1996
1997
1998
29
27
28
26
Время прогноза -2004 год
13.
год
1996
1997
1998
1999
23
29
24
21
Время прогноза -2008 год
15.
год
1999
2000
2001
2002
26
30
31
32
Время прогноза -2010 год
17.
год
2005
2006
2007
2008
19
22
26
21
Время прогноза -2015 год
19.
год
2003
2004
2005
200
26
23
31
22
Время прогноза -2010 год
21.
год
1996
1997
1998
1999
30
28
29
27
Время прогноза -2005 год
8.
год
1997
1999
2000
2001
24
30
25
22
Время прогноза -2009 год
10.
год
2003
2004
2005
2006
30
25
28
31
Время прогноза -2010 год
12.
год
2000
2001
2002
2003
27
31
23
30
Время прогноза -2011 год
14.
Год
1997
1998
1999
2000
24
26
30
31
Время прогноза -2007 год
16.
год
1998
1999
2000
2001
31
32
29
28
Время прогноза -2009 год
18.
год
2004
2005
2006
2007
31
26
29
32
20.
Год
2000
2001
2003
2004
22
31
19
32
22.
год
2001
2002
2003
2004
28
32
24
31
Время прогноза -2012 год
23.
Год
1998
1999
2000
2001
25
27
31
32
Время прогноза -2008 год
24.
год
1999
2000
2001
2002
32
33
30
29
Время прогноза -2010 год
26.
год
2000
2001
2002
2003
27
31
32
33
Время прогноза -2011 год
28.
год
2006
2007
2008
2009
20
23
27
22
Время прогноза -2017 год
30.
год
2004
2005
2006
2007
27
24
32
23
Время прогноза -2012 год
25.
год
2001
2002
2003
2004
23
32
20
33
Время прогноза -2012 год
27.
год
2005
2006
2007
2008
32
27
30
33
Время прогноза -2012 год
29.
год
2002
2003
2004
2005
29
33
25
32
Время прогноза -2013 год
Контрольное задание №6
В баке находится «а» л. Раствора, содержащего «в» кг соли. В бак втекает «с» л. Воды в минуту, причем смесь с той же скоростью переливается в другой «а» литровый бак, первоначально заполненный чистой водой. Избыток жидкости из него выливается. Какое количество соли во втором баке будет наибольшим?
1. a=100, b=10, c=3 2. a=200, b=10, c=5
3. a=150, b=10, c=2 4. a=250, b=20, c=10
5. a=200, b=20, c=5 6. a=100, b=10, c=2
7. a=250, b=20, c=5 8. a=300, b=40, c=10
9. a=150, b=10, c=5 10. a=100, b=5, c=2
11. a=105 b=115 c=5 12. a=205 b=15 c=10
13. a= 155 b= 15 c= 7 14. a=255 b=25 c=15
15. a= 205 b= 25 c=10 16. a=105 b=15 c=7
17. a= 255 b= 25 c=10 18. a= 305 b= 45 c=15
19. a=155 b= 15 c=10 20. a=105 b=10 c=7
21. a= 110 b= 20 c=13 22. a=210 b=20 c=15
23. a= 160 b= 20 c= 12 23. a=260 b=30 c=20
25. a=220 b= 30 c=15 26. a=110 b= 20 c=12
27. a= 260 b= 30 c=15 27. a=310 b= 50 c=20
29. a=160 b= 20 c=15 30. a= 110 b= 15 c= 12
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
а) основная литература:
1. Бережная В.Е., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. – М.: Финансы и статистика,2006.- 432 с.
2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ, 2007.- 551 с.
3.Минько Э.В., Минько А.Э. Методы прогнозирования и исследования операций. – М.: Финансы и статистика,2010. – 480 с.
4. Партыка Т.Л., Попов И.И. Математические методы. – М.: ФОРУМ – ИНРРА- М, 2009.- 464 с.
б) дополнительная литература:
1. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. – М.: КомКнига, 2007.- 192 с.
2. Никитин С.И. Классические методы оптимизации социально-экономических процессов сферы сервиса. – СПб.: ГУСЭ,2010. – 151с.
3. Хемди А.Таха. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2007.- 912 с.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
algebraik.ru – математическая энциклопедия, matem.h1.ru – формулы и справочная информация по математике, mathnet.ru – общероссийский математический портал, statsoft.ru – статистический портал.