22

Л.4. Инерциальный метод навигации

Содержание

4.1. Основное уравнение инерциальной навигации, первичные навигационные измерения

4.2. Принцип интегральной коррекции

4.3. Алгоритмы идеальной работы автономных ИНС

4.4. Исторический очерк об основных этапах создания отечественных корабельных инерциальных навигационных систем

4.1. Основное уравнение инерциальной навигации, первичные навигационные измерения

Как и для метода счисления пути суть инерциального метода навигации заключается в интегрировании в реальном масштабе времени дифференциальных уравнений поступательного движения ц.м. подвижного объекта. В качестве исходной информации (первичных навигационных измерений) здесь используются измерения вектора кажущегося ускорения, которые осуществляются с помощью акселерометров.

Линейные акселерометры – это измерительные приборы, которые реагируют на линейное ускорение своего основания (корпуса) по отношению к свободно падающему телу и используются для измерения этого, т. е. кажущегося ускорения основания, на котором они установлены.

Принцип действия линейного акселерометра поясняет идеализированная схема пространственного акселерометра, представленная на рис.4.1.

Рис.4.1. Принципиальная схема пространственного акселерометра

Инерционная или чувствительная масса подвешена в корпусе прибора в трехстепенном невесомом упругом подвесе. При этом предусмотрено демпфирование колебаний массы относительно корпуса прибора, которое на рис.4.1 не показано. Точкаявляется центром масс (ц.м.) инерционной массы, которая при отсутствии внешних сил, действующих на корпус акселерометра, находится в точке- положении равновесия. Выходной характеристикой, т.е. измеряемым параметром прибора, является векторсмещения чувствительной массы относительно точки(положения равновесия). В современных акселерометрах пружина и демпфер могут иметь различные конструктивные исполнения, поэтому под пружиной здесь понимается элемент, создающий восстанавливающую силу, пропорциональную перемещению массы относительно центра подвеса, а под демпфером - пропорциональную скорости перемещения чувствительной массы относительно корпуса прибора.

Для вывода уравнений движения чувствительной массы введем некоторую “абсолютную” инерциальную (неподвижную) систему координат с началом в центре инерции нашей Солнечной системы (т.е. совокупности небесных тел, состоящих из Солнца, всех планет и всех их спутников). Пусть корпус линейного акселерометра, с которым свяжем правый ортогональный трехгранник, произвольно движется в инерциальном пространстве. Кроме того, введем систему координатс началом в центре масс Земли.

На чувствительную массу прибора действуют, очевидно, лишь сумма сил ньютонова притяжения чувствительной массы всей совокупностью небесных тел, включая, строго говоря, и притяжение массой объекта, на котором установлен прибор, и сила, обусловленная действием подвеса, т.е.

(4.1.1)

где - удельная сила притяжения Земли или напряженность гравитационного поля Земли в точке;- удельная сила притяжение Луны или напряженность гравитационного поля Луны точке;- удельная сила притяжение Солнца или напряженность гравитационного поля Солнца точке;

(4.1.2)

где - тензор (пространственный коэффициент) жесткости пружин подвеса;- тензор (пространственный коэффициент) демпфирования подвеса;- означает производную по времени относительно корпуса прибора, т.е. дифференцирование в подвижной системе координат.

Применяя второй закон Ньютона для описания движения чувствительной массы линейного акселерометра в инерциальном пространстве, имеем

, (4.1.3)

где - означает дифференцирование абсолютное, т.е. дифференцирование в инерциальной системе координат.

Из рис.4.1 очевидно, что

(4.1.4)

Далее, полагая, что корпус акселерометра, т.е. трехгранник вращается в инерциальном пространстве с угловой скоростьюи используя теорему Кориолиса, можно записать

(4.1.5)

Кроме того движение центра масс Земли в инерциальном пространстве в соответствии с вторым законом Ньютона описывается уравнением

(4.1.6)

где - масса Земли;- удельная силы притяжения Луны и Солнца в центре масс Земли, т.е. в точке.

Подставляя соотношения (4.1.4) и (4.1.5) в уравнение (4.1.3) и разрешая его относительно вектора перемещения чувствительной массы акселерометра относительно его корпуса, получим

(4.1.7)

где обозначению соответствует матрица

Уравнение (4.1.7) является достаточно строгим векторным дифференциальным уравнением движения чувствительной массы акселерометра относительно его корпуса. Обычно это уравнение упрощают, принимая следующие допущения:

1. Полагают, что конструкция прибора и угловая скорость его вращения такие, что и

2. Разность удельных сил притяжения Земли в центре прибора и в центре чувствительной массы пренебрежимо малы, а разности удельных сил притяжения небесных тел в центре масс Земли и в центре движущейся вблизи ее поверхности массы имеют порядок, который для большинства разработанных акселерометров лежит ниже уровня шумов; поэтому этими разностями также можно пренебречь. Так уклонение отвеса, вызванное разницей сил притяжения Солнца в ц. м. Земли и на её поверхности не превышает 0,008"; для Луны - 0,017". В то же время уклонения отвеса, вызванные неравномерностью распределения масс Земли, имеют порядок нескольких угл. с.

С учетом этих допущений имеем

. (4.1.8)

Отметим, что правая часть в (4.1.8) представляет собой вектор негравитационной удельной силы, действующей со стороны прибора на его крепление к основанию (т.е. сила, приходящаяся на единицу массы прибора). В соответствии с третьим законом Ньютона эта сила равна по величине и противоположна направлена вектору негравитационной удельной силы, действующей со стороны основания (места крепления) на корпус прибора и называемой кажущимся ускорением основания. Обозначая кажущееся ускорение (которое и измеряется акселерометрами) вектором , получим

(4.1.9)

где

(4.1.10)

здесь - радиус-вектор, определяющий положение корпуса прибора относительно ц.м. Земли;- удельная сила притяжения Земли в центре корпуса акселерометра и являющаяся функцией радиус-вектора.

Акселерометры отличаются друг от друга по принципу действия, габаритам, весу, конструкции, диапазону измеряемых величин, чувствительности. Основные различия между акселерометрами состоят в следующем.

1. По характеру зависимости между измеряемым ускорением и выходным сигналом акселерометры можно разделить на простые, однократно интегрирующие, двукратно интегрирующие.

2. По виду перемещения инерционной массы акселерометры разделяются на датчики с линейным (осевым) перемещением подвижной системы – осевые акселерометры, и на датчики с угловым перемещением подвижной системы – маятниковые акселерометры.

3. По способу подвеса инерционной массы акселерометры подразделяются на четыре группы:

• с пружинным подвесом подвижной системы;

• с механическим подвесом подвижной системы в жестких опорах;

• с гидравлическим (гидростатическим или гидродинамическим) и электромагнитным подвесом подвижной системы;

• с комбинированным подвесом подвижной системы.

По виду преобразования измеряемой величины акселерометры разделяются на датчики с прямым преобразованием и на акселерометры с уравновешивающим преобразованием, которые получили название компенсационных или акселерометров с обратной связью.

Р

Рис. 4.2.

ассмотрим работу маятникового акселерометра с чувствительной массой (ЧМ)в подпружиненном маятниковом подвесе рис. 4.2.

Измерительная ось Xтакого акселерометра перпендикулярна вертикальной осиOY, соединяющей ось вращения с центром тяжести маятника, находящегося в нейтральном положении. При постоянном линейном ускорении(), действующем по измерительной осиOX, маятник перейдет в некоторое равновесное положение и отклониться на угол, при котором момент инерционной силы уравновешивается моментом пружины

, (4.1.11)

где - длина маятника (смещение ц.м. ЧМ относительно точки подвеса),- угловая жесткость пружины. Очевидно, что уголне имеет линейной зависимости от, однако при малых углах(когда) угол отклонения маятника от вертикали можно считать пропорциональным линейному ускорению.

Дифференциальное уравнение движения ЧМ акселерометра относительно его корпуса при малых углах ее отклонения имеет следующий вид:

, (4.1.12)

где - момент инерции подвижного узла маятникового акселерометра,- коэффициент углового демпфирования,- совокупность вредных моментов по оси подвеса.

Таким образом, первый член в левой части уравнения (4.1.12) определяет инерционный момент маятника, второй – силы демпфирования, третий – восстанавливающий момент.

Разделив обе части уравнения (4.1.12) на , получим

, (4.1.13)

где

- квадрат частоты собственных колебаний подвижного узла акселерометра;

- относительный коэффициент демпфирования.

Проинтегрировав уравнение (4.1.13) без учета влияния вредных моментов и приняв, что собственные колебания (решение однородного уравнения) быстро затухают, запишем вынужденное решение в следующем виде:

. (4.1.14)

Из полученного решения следует, что по показаниям акселерометра принципиально нельзя найти мгновенное значение кажущегося ускорения . Однако жесткость подвесаи коэффициент демпфированияв реальных приборах выбирают таким образом, чтобы величиныиоказались существенно большими, чем максимальная из учитываемых частот в спектре функции. В этом случае в подынтегральном выражении решения (4.1.14) эту функцию можно считать постоянной, а значение угла- пропорциональным среднему значению функцииза период колебаний ЧМ акселерометра.

Таким образом, из изложенного следует, что:

• акселерометры измеряют кажущееся ускорение;

• акселерометры, используемые в навигационных системах в качестве чувствительных элементов, являются относительно низкочастотными приборами.

Уравнение (4.1.10) иногда называют основным уравнением инерциальной навигации, т.к. в его интегрировании и состоит сущность метода инерциальной навигации. Т.е. по измеренным составляющим вектораи априори известной зависимостипутем двойного интегрирования при известных начальных условиях и заданной или вычисленной ориентации измерительных осей акселерометров относительно навигационных осей можно определять линейную скорость и координаты местоположения подвижного объекта.

Идея интегрирования показаний акселерометров, удерживаемых в горизонте и по меридиану с помощью гироскопов, для вычисления приращений координат места движущегося объекта была известна ещё в начале века. Однако при ближайшем рассмотрении предлагаемых схем так называемых инерциальных систем разомкнутого типа оказалось, что практическая реализация данной идеи является несостоятельной из-за значительного уровня методических погрешностей.

Реальный сдвиг в продвижении идей инерциальной навигации произошёл в 30-е годы. Российскими инженерами Кофманом и Левенталем (1932 г.) была предложена схема искусственного моделирования на подвижном объекте невозмущённого физического маятника с периодом 84,4 мин. Эта модель маятника М. Шулера, использующая акселерометры, гироскопы и интеграторы и реализующая принцип интегральной коррекциигироскопа, представляет собой замкнутую динамическую систему. Полученная таким образом искусственная, не возмущаемая ускорениями при движении объекта вертикаль, впоследствии получившая название инерциальной вертикали, является основой современных инерциальных навигационных систем (ИНС).

Согласно зарубежным источникам начало инерциальной навигации связывается с именем австрийского морского офицера Бойкофа, который в 1926 г. создал аппаратуру, названную им гирогоризонтом. В 1935 г. он получил патент на гироприбор, использующий гироскопы и акселерометры. Однако до практического применения он его не довёл, умер в 1935г.