Конспект для теоретического зачета по алгебре .

( 3 четверть / 9 Политехнический класс.)

Числовые множества. Определения.(рациональных, иррациональных чисел) Арифметические операции .(на каких множества, какие типы операций существуют.) Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную.

Множество и элемент множества относятся к числу первичных понятий, для которых не существует определений в строгом смысле слова. Поэтому обычно говорят о множестве как о наборе предметов ( элементов множества ), наделённых определёнными общими свойствами. Множество книг в библиотеке, множество автомобилей на стоянке, множество звёзд на небосводе, растительный и животный мир Земли – всё это примеры множеств. 

Конечное множество состоит из конечного числа элементов, например, множество страниц в книге, множество учеников в школе и т.д.  

Пустое множество ( ) не содержит ни одного элемента, например, множество крылатых слонов, множество корней уравнения  sin x = 2  и т.д. 

Бесконечное множество состоит из бесконечного числа элементов, т.е. это множество, которое не является ни конечным, ни пустым. Примеры: множество действительных чисел, множество точек плоскости, множество атомов во Вселенной и т.д.  

Счётное множество – множество, элементы которого можно пронумеровать. Например, множества натуральных, чётных, нечётных чисел. Счётное множество может быть конечным ( множество книг в библиотеке ) или бесконечным ( множество целых чисел, его элементы можно пронумеровать следующим образом:

 

элементы множества:    …, –5,   – 4,   –3,   –2,   –1,   0,   1,   2,   3,   4,   5, …

 

номера элементов:           ...   11       9      7      5      3    1    2    4    6    8   10 ...  ) . 

Несчётное множество – множество, элементы которого невозможно пронумеровать. Например, множество действительных чисел. Несчётное множество может быть только бесконечным ( продумайте, почему ? ). 

Выпуклое  множество – множество, которое наряду с любыми двумя точками А и В содержит также весь отрезок  АВ. Примеры выпуклых множеств: прямая, плоскость, круг. Однако, окружность не является выпуклым множеством. 

Способы задания множеств. Множество может быть задано следующим образом: 

– перечислением всех его элементов по их названиям ( так описываются множество книг в библиотеке, множество учеников в классе, алфавит любого языка и т.д.);

 – заданием общей характеристики ( общих свойств ) элементов данного множества ( например, множество рациональных чисел, собаки, семейство кошачьих и т.д.);  

– формальным законом построения элементов множества ( например, формула общего члена числовой последовательности, Периодическая система элементов Менделеева и т.д.).

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Запись  a R  означает, что элемент  а  принадлежит множеству R , то есть  а  является элементом множества R В противном случае, когда  а  не принадлежит множеству  R , пишут  a R .   

Два множества А и В называются  равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества  А  является элементом множества  В  и наоборот, каждый элемент множества  В  является элементом множества  А . 

Говорят, что множествоА содержится в множестве В ( рис.1 ) или  множество А  является подмножеством множества  В ( в этом случае пишут А В ), если каждый элемент множества  А одновременно является элементом множества  В . Эта зависимость между множествами называется  включением. Для любого множества  А имеют место включения:  А  и  А А .

Сумма ( объединение ) множеств  А и В ( пишется  А В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А , либо В. Таким образом,  е А В  тогда и только тогда, когда либо  е А ,  либо  е В . 

 произведение ( пересечение ) множеств  А и В ( пишется  А В , рис.2 ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит и А , и В . Таким образом,  е А В  тогда и только тогда, когда   е А  и  е В .

Разность множеств А и В ( пишется  А – В , рис.3 ) есть множество элементов, которые принадлежат множеству А , но не принадлежат множеству В. Это множество называется также дополнением множества В относительно множества А.

Симметричная разность множеств А и В ( пишется  А \ В  ) есть множество:

 

А \ В  = ( А – В ) (В – А ).

 

 Свойства операций над множествами:

П р и м е р ы.  1. Множество детей является подмножеством всего населения. 

                         2. Пересечением множества целых чисел с множеством поло-

                             жительных чисел является множество натуральных чисел. 

 3. Объединением множества рациональных чисел с множест-

                             вом иррациональных чисел является множество действи-

                             тельных чисел. 

                         4. Нуль является дополнением множества натуральных чисел

                             относительно множества неотрицательных целых чисел.

Многочлены. Степень многочлена. Сумма коэффициентов, сумма коэффициентов стоящих на четных (нечетных) местах. Метод неопределенных коэффициентов. Теорема Безу. Корни многочлена.

Равносильные уравнения и уравнения следствия. Основные методы решения уравнений.( однородные, возвратные) возведение в п степень. Треугольник Паскаля. Отыскания рациональных корней уравнения с целыми коэффициентами.

Того кто еще не знает, что такое треугольник Паскаля,нужно предупредить, что это не геометрический треугольник с тремя углами и тремя сторонами. Треугольником Паскаля называют одну важную числовую таблицу, с помощью которой можно решать ряд вычислительных задач. В этой таблице по боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц, получается как сумма двух предшествующих чисел.

Иэвестно, что (a+b)^o=1 (a+b)¹=a+b (a+b)²=a²+2ab+b² (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Но, как раскрывать скобки при вычислении выражения (a+b)ⁿ? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема

Имеет место равенство:  (a+b)ⁿ = C^o_n aⁿ b^o + C¹_n a^n-1 b¹ +.....+  C^k_n a^n-k b^k +.....+  Cⁿ_n a^o bⁿ   (1)

где С^k_n= n! / (k!(n-k)!)

Где n!=1*2*3*4*....*n так называемый факториал числа n. И тех же трех жен из семи можно выбрать столькими вариантами: C³7 =7!/3!/4!=1*2*3*4*5*6*7/1*2*3/1*2*3*4=5040/6/24=35 А значения биномиальных коэффициентов определяются по формуле причем, они же и являются, как мы выяснили, строками треугольника Паскаля, связывая непостижимым образом этот треугольник с комбинаторикой и разложением двучлена по степеням.

Доказательство неравенств. Решение неравенств( линейные неравенства. рациональные, дробно рациональные.)

Для того чтобы доказать неравенство

1. необходимо найти разность- сравнить с нулем

2. найти отношение – сравнить с единицей

3. использовать для доказательство неравенство Коши

5. Уравнения и неравенства содержащие знак модуля.

1\Самый распространённый, а иногда и единственно возможный метод решения уравнений с модулем – раскрытие модуля согласно определению:

Пример 1

Решите уравнение |x – 5| – |2x + 8| = –12.

Решение

Выражения, стоящие под знаком абсолютной величины, обращаются в нуль при x = –4 и x = 5. Значит, нужно рассмотреть 3 случая:

1) x ≤ –4; 2) –4 < x ≤ 5; 3) x > 5.

Получим три уравнения, в каждом из которых на неизвестное наложено ограничение. На рисунке схематично показано, какой знак будут иметь подмодульные выражения на каждом из трёх промежутков.

1

Рисунок 3.1.8.1

1. x ≤ –4. В этом случае 2x + 8 < 0, x – 5 < 0. Следовательно, С учётом этого уравнение принимает вид

x = –25 удовлетворяет ограничению x ≤ –4.

2. –4 < x ≤ 5. Этот корень удовлетворяет нужным ограничениям.

3. 3. x > 5. Этот корень не удовлетворяет нужным ограничениям.

Ответ.−25; 3.

2/Этот метод удобно применять, когда подмодульные выражения довольно просты (линейны), и можно сразу понять, где они обращаются в нуль. Рассмотрим простейшее уравнение с модулем вида

|f (x)| = g (x),

(9)

где функция f (x) проще функции g (x). Это уравнение равносильно следующей системе уравнений:

Убедиться в справедливости этого утверждения можно, перебрав все возможные варианты.

Если же под модулем стоит функция, найти корни которой затруднительно, то условие равносильности можно переписать так:

Пример 2

Решите уравнение 2|x²+ 2x  – 5| = x – 1.

Решение

Этому уравнению соответствуют два уравнения 2(x²+ 2x  – 5) = x – 1  и 2(x²+ 2x  – 5) = 1 – x, среди корней которых нужно отобрать удовлетворяющие условию x ≥ 1. Имеем:

1. Корни этого уравненияи x = –3, из которых подходит первый корень.

2. Корни этого уравненияОпять подходит только первый корень, так как второй заведомо отрицателен.

Ответ.

Вслучае вложенных знаков модуля применим этот метод несколько раз. Здесь тоже можно рассмотреть весь набор получающихся при раскрытии модуля уравнений среди решений которых содержатся решения исходного уравнения, а потом отобрать из всех полученных решений подходящие хотя бы с помощью проверки.

6. Числовые функции. Определения. Способы задания. Операции над функциями. Композиция функций. Преобразования графиков функций.

функция — это закон, по которому каждому значению элемента x из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.

П р и м е р .

Температура  T  кипения воды и атмосферное давление  p связаны функциональной зависимостью, потому что каждому значению давления соответствует определённое значение температуры и наоборот. Так, если  p = 1 бар, то T = 100° C;  если  p = 0.5 бар, то T = 81.6° C.

Переменная, значения которой заданы, называется аргументом или независимой переменной; другая переменная, значения которой находятся по определённому правилу – называется функцией. Аргумент обычно обозначается через  x, а функция – через  y.

П р и м е р .

Тело бросают вверх; h – его высота над землёй, t - время, прошедшее с момента бросания. h  - однозначная функция  t, но  t  - двузначная функция  h, потому что тело попадает на одну и ту же высоту дважды: один раз при подъёме, другой раз при падении. Формула                                                          связывающая переменные  h  и  t ( начальная скорость  v0 и ускорение свободного падения  g  здесь постоянны ), показывает, что мы имеем только одно значение  h  при заданном  t , и два значения  t  при заданном  h  ( они определяются решением квадратного уравнения ).

Многие из функций могут быть представлены ( точно или приближённо ) с помощью простых формул. Например, зависимость между площадью круга  S  и его радиусом  r  задаётся формулой  S = r ² ; предыдущий пример показывает зависимость между высотой  h  брошенного тела  и временем полёта  t . Но эта формула практически приближённая, так как не учитывает ни сопротивления воздуха, ни уменьшения притяжения Земли с высотой. Очень часто невозможно представить функциональную зависимость с помощью формулы, или эта формула неудобна для вычислений. В этих случаях функцию представляют с помощью таблицы или графика.  

П р и м е р .  Функциональную зависимость между давлением  p и температурой   T  кипения воды невозможно представить одной формулой, но можно задать таблицей:

Очевидно, что любая таблица не может содержать все значения аргумента, но пригодная для практических целей таблица должна содержать столько значений, чтобы их было достаточно для работы или для получения дополнительных значений путём интерполяции уже содержащихся в ней.