Физика 1 семестр - Механика

Конспект лекций по Физике для студенческих групп Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k 1

Механика

Разделы механики: кинематика, динамика и статика.

Кинематика изучает движение, лишь наблюдая за ним и не вдаваясь в причины, его побудившие.

Динамика изучает движение вместе с причинами, его вызывающими.

Статика изучает условия неподвижности тел и систем.

Основные абстракции в механике:

1.Материальная точка – тело, размеры и форма которого не имеют значения в поставленной задаче. Одно и то же тело в одной задаче может являться материальной точкой, а в другой – нет (автомобиль на пути из Петербурга в Москву – материальная точка, а тот же автомобиль, заезжающий в гараж – нет).

2.Абсолютно твердое тело – тело не меняющее своих размеров, формы и структуры в поставленной задаче. Одно и то же тело может в одной задаче рассматриваться как абсолютно твердое, а в другой – нет (ключ, открывающий дверь – АТТ, а ключ, потерянный во дворе – скорее материальная точка).

3.Абсолютно упругое взаимодействие – починяющееся закону Гука

F = kx,

где F – сила взаимодействия, k – коэффициент жесткости, x – величина деформации тела. Очень часто абсолютно упругими можно считать лишь взаимодействие с небольшой деформацией.

Кинематика материальной точки.

Сначала введем основные кинематические понятия.

Система отсчета – это система тел, которые в данной задаче рассматриваются как неподвижные и часы. С системой неподвижных тел обычно связывают систему координат. Самые простые – декартовы координаты. В пространстве три координатные оси x, y, z. Системы координат бывают правые и левые. Они как правая и левая рука, вроде бы абсолютно одинаковые, но на правую руку не наденешь левую перчатку.

Конспект лекций по Физике для студенческих групп	Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k	2
z	y

	x		x
y	левая	z	правая

Рис. 1. Правая и левая системы координат

Всем телам, системам и всем физическим процессам безразлично, в какой системе координат мы их рассматриваем. Однако, некоторые формулы выглядят по-разному в правой и левой системах координат. Поэтому нужно остановиться на одной системе координат, а про другую – забыть. В физике пользуются только правой системой координат.

y

j
i	x
k

z

Рис. 2. Декартова система координат

Вдоль координатных осей откладывают единичные вектора i , j, k ,

которые имеют направления осей и длины, равные единице. Эти вектора называются ортами. Они задают направления координатных осей.

Радиусом – вектором r называется вектор, проведенный из начала координат в выбранную точку. Любой вектор в трехмерном пространстве можно представить как сумму трёх взаимно перпендикулярных векторов или как линейную комбинацию трёх ортов

			(1)
r	= i	× x + j × y + k × z.
В этом выражении x, y, z – координаты концов радиуса –			вектора или проек-
ции этого вектора на соответствующие координатные оси.

Конспект лекций по Физике для студенческих групп Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k 3

Если материальная точка перемещается в пространстве, т.е. r = r (t) ,

то конец радиуса вектора вычерчивает в пространстве линию, которая называется траекторией. Длина этой линии – путь, пройденный телом – S. Путь

– скалярная сугубо положительная величина.

r1

r

ℓ

O r2

Рис. 3. Траектория и перемещение.

Вектор r , соединяющий начало и конец траектории, называется перемещением. Подчеркнем, что перемещение – векторная величина. Длина этого вектора r ≤ S . Равенство наблюдается для перемещения вдоль прямой линии, при котором не меняется направление движения.

Скоростью материальной точки называется производная от радиуса – вектора по времени

υ =	d r	.	(2)
	d t

Дробь стоящая справа – есть отношение очень малого перемещения к промежутку времени, за который это перемещение происходит. Это перемеще-

ние настолько мало, что вектор	d r практически не отклоняется от траек-
тории. Написанное равенство (2)	обозначает, что вектора υ и d r име-

ют одинаковое направление, т.е. скорость всегда направлена по касательной к траектории.

Продифференцируем выражение (1) по времени и получим:

d r

d x

d y

d z

υ

=

= i

×

+ j

×

+ k

×

= i

×υx

+ j

×υy

+ k

×υz .

(3)

d t

dt

dt

dt

Здесь υx , υy , υz - проекции скорости на направления координатных осей.

Ускорением материальной точки называется производная по времени от скорости или вторая производная по времени от радиуса вектора:

Конспект лекций по Физике

для студенческих групп

Z3111,

Z3221, Z3442k,

Z3532k

4

d υ

d 2 r

a =

=

.

(4)

d t

d t 2

Снова продифференцируем выражение (3)

по времени и получим:

dυ

x

dυy

dυ

z

a

= i ×

+

j ×

+ k ×

= i

× ax + j × ay + k × az .

(5)

d t

dt

d t

Здесь ax , ay , az - проекции ускорения на направления координатных осей.

При криволинейном движении ускорение в отличие от скорости направлено не по касательной к траектории, а под некоторым углом к ней. При плоском криволинейном движении (перемещение на очень малом участке криволинейной траектории всегда можно считать плоским движением по дуге окружности с радиусом R) ускорение имеет две компоненты тангенциаль-

ную – аτ и нормальную – an .

a = τ × aτ + n × an .

(6)

n	τ
an	aτ
R
	a

Рис 4. Ускорение при плоском криволинейном движении.

Единичный вектор τ направлен по касательной вдоль траектории (по направлению скорости), тангенциальное ускорение аτ задает изменение скорости по величине

a =

d υ

.

(7)

τ

d t

Единичный вектор n направлен перпендикулярно траектории (к центру дуги окружности), нормальное ускорение an задает изменение скорости по направлению

an	= υ 2 .	(8)
	R

Конспект лекций по Физике для студенческих групп					Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k	5
Компоненты ускорения аτ и an обязательно перпендикулярны друг
другу, поэтому величину полного ускорения				a	можно найти по формуле:
a =
	a	2 + a	2 .		(9)
	τ	n

Кинематика абсолютно твердого тела (АТТ).

Поступательным называется такое движение АТТ, при котором любая прямая, остается параллельной самой себе. При поступательном движении тело сохраняет свою ориентацию относительно системы отсчета. Все точки АТТ в этом случае двигаются с одинаковыми скоростями и ускорениями.

Вращательное движение АТТ задается неподвижной осью, вокруг которой все точки тела двигаются по окружностям с центром на этой оси. Плоскости этих окружностей перпендикулярны оси. Все точки АТТ за одинаковые промежутки времени поворачиваются на одинаковые углы.

Вращение АТТ вокруг неподвижной оси задается функцией времени от угла поворота ϕ(t). Угол поворота в международной системе единиц – СИ измеряется в радианах. Угловая скорость – это производная по времени от угла поворота

ω =	d ϕ	.	(10)
	d t

Угловая скорость в системе единиц СИ измеряется в радианах за секунду.

Если рассмотреть целый поворот, когда угол поворота 2π рад, а время равно периоду, получим еще одну удобную формулу:

ω =	2π	.	(11)

T

Угловое ускорение – это производная по времени от угловой скорости или вторая производная по времени от угла поворота

ε =	dω	=	d 2ϕ	.	(12)
	dt dt2

Угловое ускорение в СИ измеряется в радианах за секунду в квадрате.

Одно АТТ может совершать одновременно несколько (не более трех) независимых вращений вокруг разных осей. Мы рассмотрели два типа дви-

Конспект лекций по Физике для студенческих групп

Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k

6

жения АТТ: поступательное и вращательное. Никаких других типов движения АТТ нет.

Любое движение АТТ сводится к суперпозиции поступательного и вращательного

Угол поворота ϕ связан с длиной дуги S и радиусом окружности R соотношением

R ϕ = S (13)

R

S

ϕ

Рис. 5. Радианная мера угла.

Фактически это соотношение есть определение радианной меры угла. Продифференцируем по времени соотношение (12) и получим связь угловой и линейной скоростей:

d ϕ	=	1		d S	,	ω = υ .	(14)
d t R d t						R

Еще раз продифференцируем по времени выражение (14) и получим связь углового и тангенциального ускорений:

d ω	=	1		d υ	,	ε =	aτ	.	(15)
d t R d t							R

Законы Ньютона.

1. Закон инерции. Первым к пониманию этого закона пришел Галилей.

Существуют такие системы отсчета, в которых свободное* тело сколь угодно движется прямолинейно и равномерно.

Такие системы отсчета называются инерциальными.

*Свободным называется тело, на которое не действуют другие тела или действия других тел скомпенсированы.

Конспект лекций по Физике для студенческих групп

Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k

7

2.Перед формулировкой второго закона Ньютона нужно дать определение силы. Сила – это векторная величина, характеризующая воздействие одного тела на другое. Логически строгого определения силы не существу-

ет, поэтому определение через процедуру измерения (как нужно по опре-

делению измерять силу). Чтобы измерить приложенную к телу силу, нужно с помощью динамометра приложить компенсирующую силу, которая равна приложенной. Приложенная сила – сила сжатия пружины, может быть вычислена по закону Гука:

F = kx,

(16)

Ускорение тела прямо пропорционально векторной сумме всех приложенных к нему сил и обратно пропорционально массе.

a = ∑ Fi .	(17)
m

Масса во втором законе выступает в роли коэффициента пропорциональности между равнодействующей всех сил и ускорением. Определение – процедура измерения массы будет дана после формулировки третьего закона

3.Третий закон Ньютона говорит о том, что любое воздействие носит характер взаимодействия, причем силы взаимодействия центральные

Тела взаимодействуют с силами, одинаковыми по величине, противоположными по направлению, лежащими на прямой, соединяющей их центры.

F1 = −F2 .

(18)

Могут быть силы притяжения или отталкивания.

Можно вернуться к определению массы. Рассмотрим два взаимодействующих тела. Считаем, что других сил нет. В таком случае

m a		= −m a		;	m a = m a				;	m = m		a1		.	(19)
1	1	2	2		1	1	2	2		2	1 a		2

Последняя написанная формула обозначает, что если нам известна масса первого тела и ускорения обоих тел, то можно найти массу второго тела. Неизвестная масса тела измеряется методом сравнения ее с известной массой, т.е. с эталоном. Единицей массы в системе единиц СИ является килограмм – кг.

Конспект лекций по Физике для студенческих групп

Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k

8

Основная задача динамики.

Уравнение (17) называется основным уравнением динамики. Решение этого уравнения является основной задачей динамики. Задача имеет две постановки – прямую и обратную.

– В прямой задаче требуется по закону движения тела r (t) найти за-

кон действующих сил.

– В обратной задаче – по закону действующих сил и по начальным условиям r0 и υ0 требуется найти закон движения тела r (t) . На обратной задаче динамики базируется принцип детерминизма. Поскольку решение обратной задачи существует, можно точно знать положение тела или состояния системы в любой момент времени. Такие расчеты часто бывают очень трудоемкими, но они возможны. Очень точны прогнозы различных астрономических явлений.

Законы движения планет и закон Всемирного тяготения.

Законы Кеплера

1.Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2.За равные промежутки времени радиус вектор пересекает равные площа-

ди.

	2
3	3

	4	Рис.6. Второй закон Кеплера
	C

Если промежутки времени равны t12 = t34, то площади треугольников С12

иС34 тоже равны.

3.Отношение квадратов периодов обращения планет вокруг солнца равно отношению кубов больших осей эллипсов

	T	2	b		3
	1		=	1		(20)
T2			b2

Конспект лекций по Физике для студенческих групп

Z3111, Z3221, Z3442k, Z3532k

9

b1

C

b1

Рис. 7. Третий Закон Кеплера

Пусть две планеты движутся по круговым орбитам с радиусами r1 и r2 Формула (20) будет переписана в виде:

	T	2	r		3	(21)
	1		=	1	.
T2			r2

r1

C

r2

Рис. 8. Круговые орбиты двух планет

На планету, движущуюся по круговой орбите, действует сила притяжения к Солнцу, которая является центростремительной. Отношение сил, действующих на первую и на вторую планеты равно:

				m υ 2
			1		1				mυ
F	=			r				=			2r
1			1						1	1		2	.
F			m υ 2						m υ			2r
2			2		2				2	2		1
				r2

Конспект лекций по Физике											для студенческих групп																			Z3111,					Z3221,				Z3442k,						Z3532k	10
Учтем, что скорость планеты																υ связана с радиусом орбиты и перио-
дом Т обращения (годом) соотношением:																										υ =				2π r		,			и продолжим.
																														T
F			=			m r ×υ 2									=	m r				×			4π 2r				2			T 2					=		m r T 2
F						m r ×υ 2										m r								T	2			× 4π 2r 2									m r ×				T 2 .
1					1 2							1				1 2									1					2							1 1				2
2					2 1							2				2 1							1							2							2		2		1
Далее пользуемся формулой (21)
	F						m r					T		2				m r						r	3						m r 2							m			r 2
	1		=					1 1			×	2			=			1 1					×	2			=				1 2				=				1	×	2		.
	F																														m r							r
							m r T 2											m r r 3																2					2		m
2								2		2		1				2				2			1							2 1							1				2
Собираем все величины с индексом 1																									слева, а с индексом 2 – справа.
				F r 2		=			F r			2					Fr 2					= const;												F =		const × m
				1 1						2	2		;																													.			(22)
				m					m									m																				r 2
			1								2

По третьему закону Ньютона: какая сила действует на планету со стороны Солнца, такая же сила действует и на Солнце со стороны планеты. Но в последней формуле тогда будет не масса планеты m, а масса Солнца М. Таким образом, в числителе формулы (22) должно стоять произведение масс.

Оставшуюся часть константы обозначаем буквой G и получаем закон все-

мирного тяготения:

	F = G	mM	,	(23)
		r2

где m и М – массы взаимодействующих тел, r – расстояние между их центрами, G = 6,7·10-11 Н·м2/кг2 – гравитационная постоянная.

Преобразования Галилея.

Преобразования Галилея связывают положение тела, скорость и ускорение в двух разных инерциальных системах отсчета (рис.9). Одна из них – система K покоится, а вторая – система K’ движется относительно первой с постоянной скоростью υ. Будем считать, что в начальный момент времени координатные оси двух систем совпадали. В дальнейшем скорость υ направлена вдоль оси (ох).