Олимпиада по математике

Задания студенческой Олимпиады по математике 2012 г.

1. Вычислить 1			0	0		.
		0	1	0		5225
(2 балла)		0	0	1

2. Упростить выражение 2 arctg x + arcsin	2x
	1+x	2	.

(3 балла)

3. Изобразите на комплексной плоскости множество тех чисел z, для которых jz2 3z + 1j < jzj + jz 3j.

(3 балла)

4. Вычислить lim cos x cos x : : : cos			x	.
			n
n!1	2	4	2

(4 балла)

5.Найти многочлен f(x) минимальной степени, такой что x = 1 его точка максимума и f(1) = 6, à x = 2 - его точка минимума и f(2) = 3.

(5 баллов)

6.Оконная ниша имеет форму прямоугольника, на который опирается полукруг. Периметр ниши - 8 метров. При какой ширине ниши площадь окна будет наибольшей?

(6 баллов)

7.Можно ли осветить всю плоскость конечным числом прожекторов, если каждый прожектор освещает область, находящуюся внутри некоторой параболы?

(7 баллов)

8.	(7 баллов)	∫0
		2
	Вычислите интеграл	sin(sin(x) + x)dx.

9.Доказать, что у числа 111 : : : 11 (2012 единиц) не может быть ровно 365 делителей.

(8 баллов)

10.На плоскости выбран отрезок длины меньше 1. За один вопрос можно узнать расстояние от любой точки до ближайшей точки этого отрезка.

а) Докажите, что за конечное число вопросов можно узнать координаты концов отрезка.

(4 балла)

б) Докажите, что это можно сделать за 10 вопросов.

(6 баллов)

Решения сдавать Франку В.И.

или на кафедру высшей математики (ауд. 24-13 на Гастелло) до 25 декабря.

1