20_PloskostiProstranstva

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 22 (2007). С. 127–138

УДК 514.11

КОНЕЧНЫЕ ГЕОМЕТРИИ

c 2007 г. В. В. АФАНАСЬЕВ

АННОТАЦИЯ. В работе приведен обзор результатов по конечным геометриям на языке инцидентностных структур.

СОДЕРЖАНИЕ

1.Проективные плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

2.Проективные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.Аффинные плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.Плоскости Мёбиуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.Ельмслевовы плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.Гиперболические плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.Частичные геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Конечные геометрии появились в конце XIX в. как синтез комбинаторики, теоретико-групповых представлений, методики планирования экспериментов и статистической обработки данных. В этот период на смену единственно допускаемой евклидовой геометрической системе пришли наряду с неевклидовыми геометриями пришли дискретные геометрии, к которым принадлежат и конечные геометрии, исключающие аксиомы непрерывности.

Пример такой геометрии впервые построили фон Штаудт [58] и Веронезе [65], а арифметические модели дискретных геометрий известны с конца XIX в. Впервые термин конечные геометрии появился в начале XX в. статьях Гессенберга [31], в которых проективная геометрия строилась над полем вычетов по модулю p.

Конечные геометрии обычно рассматривают в терминах общей комбинаторной теории или инцидентностных структур. Соединение геометрических и комбинаторных средств оказалось плодотворным для развития комбинаторной топологии, дискретных геометрий, геометрической теории чисел, теории графов, комбинаторной геометрии.

Дальнейшее изложение будем вести на языке инцидентностных структур. Инцидентностной структурой называется тройка множеств P, L; I , где P ∩ L = , I P × L. Элементы множества P и L называются точками и прямыми, соответственно, а I — отношением инцидентности. Инцидентностная структура называется конечной, если множества P и L, а, следовательно, и I являются конечными множествами. Интерес к конечным инцидентностным структурам обусловлен тем, что соответствующая теория нашла непосредственные выходы в прикладную математику.

Учение об инцидентностных структурах восходит к классическим задачам комбинаторного анализа, поставленным в работах Л. Эйлера [27], Т. Киркмана [39], Я. Штейнера [59].

1.ПРОЕКТИВНЫЕ ПЛОСКОСТИ

Наиболее изученными видами инцидентностных структур являются конечные проективные плоскости. Конечной проективной плоскостью P (2, n) порядка n называется инцидентностная структура π = P, L, I , удовлетворяющая следующим аксиомам:

P1 Для любых двух различных точек P и Q существует единственная прямая l такая, что P I l

и Q I l.

c 2007 РУДН

127

128	В. В. АФАНАСЬЕВ

A4

	A2 A3		A7
	A1		A5
		A6
		РИС. 1
P2	Для любых двух различных прямых l и m существует единственная точка P такая, что P I l
	и P I m.
P3	Существуют четыре точки, никакие три из которых не инцидентны одной прямой.
P4	Существует прямая, инцидентная ровно n + 1 точке.
Простейшая из конечных проективных		плоскостей — плоскость Фано — состоит		из семи то-
чек	Ai, i = 1, 2, . . . , 7, и семи прямых	{A1, A2, A4}, {A2, A3, A5}, {A3, A4, A6},		{A4, A5, A7},

{A5, A6, A1}, {A6, A7, A2}, {A7, A1, A3} (рис. 1).

В P (2, n) каждая точка (прямая) инцидентна n+1 прямой (точке), а число точек плоскости равно числу прямых и равно n2 + n + 1. Остается невыясненным вопрос: для каких значений n существует проективная плоскость P (2, n)? Доказано существование конечной проективной плоскости, порядок которой есть степень простого числа (см. [10]). Доказано также (см. [16]) отсутствие проективных плоскостей P (2, n) для широкого класса чисел; если n сравнимо с 1 или 2 по модулю 4 и если в разложении этого числа на простые множители встречается в нечетной степени хотя бы одно простое число, сравнимое с 3 по модулю 4, то P (2, n) не существует; таковы, например, n = 6, 14, 21, 22, . . .. Сравнительно недавно (1989) был получен отрицательный ответ для n = 10 (см. [44]). Вопрос относительно n = 12, 15, 18, . . . остается открытым.

Наиболее вероятным является предположение о том, что каждая конечная проективная плоскость имеет порядок, равный степени простого числа.

Вопрос о единственности проективной плоскости данного порядка изучен также не полностью. Так, конечные проективные плоскости порядка меньше 9 единственны и являются плоскостями над соответствующими полями Галуа. С другой стороны известно, что проективные плоскости порядка pk (pk > 8 и k > 1) не единственны, например, существуют (по крайней мере) четыре неизоморфные плоскости порядка 9 (см. [50]) и 13 плоскостей порядка 16 (см. [51]).

Проективная плоскость характеризуется своими подплоскостями, о которых известно, что если P (2, m) является собственной подплоскостью конечной проективной плоскости P (2, n), то m2 + m ≤ n или m2 = n (см. [16]). У плоскости может существовать много подплоскостей, но для всех известных конечных проективных плоскостей порядок m ее подплоскость не является делителем порядка плоскости только в случае m = 2. Характеристикой плоскости является порядок минимальной подплоскости, построенной для всех четырехвершинников. Существуют проективные плоскости, не имеющие характеристики, а все плоскости простого порядка имеют характеристики, совпадающие с его порядком. Заметим, что проективные плоскости, в которых диагональные точки любого полного четырехвершинника коллинеарны, называются плоскостями Фано. Глисон [29] доказал, что любая плоскость Фано изоморфна плоскости Галуа четного порядка.

Специфическим для проективных плоскостей является понятие двойственности. Две проективные плоскости называются двойственными, или дуальными, если между точками (прямыми) одной плоскости и прямыми (точками) другой можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее инцидентность. Некоторые проективные плоскости (например, проективные плоскости над полем k) допускают двойственное отображение на себя, которое называется корреляцией, а проективные плоскости, допускающие корреляцию, называются автодуальными. Для проективной плоскости имеет место так называемый малый принцип двойственности: если верно некоторое предложение A о точках и прямых проективной плоскости, сформулированное только в терминах

КОНЕЧНЫЕ ГЕОМЕТРИИ

129

ТАБЛИЦА 1

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12

A13

l1

*

*

*

*

l2

*

*

*

*

l3

*

*

*

*

l4

*

*

*

*

l5

*

*

*

*

l6

*

*

*

*

l7

*

*

*

*

l8

*

*

*

*

l9

*

*

*

*

l10

*

*

*

*

l11

*

*

*

*

l12

*

*

*

*

l13

*

*

*

*

инцидентности между ними, то будет верно предложение B, двойственное A, т.е. предложение, которое получается из A заменой слова «точка» на слово «прямая» и наоборот.

Изоморфное отображение проективной плоскости на себя называется коллинеацией. Коллинеация конечной проективной плоскости P (2, n) является подстановкой множества прямых, причем эти подстановки подобны. Конечная проективная плоскость называется дезарговой, если она имеет группу коллинеаций, дважды транзитивную на ее точках. Группа коллинеаций дезарговой проективной плоскости P G(2, ph) имеет порядок

h(p2h + ph + 1)(p2h + ph)p2h(ph − 1)2.

Группа коллинеаций недезарговой проективной плоскости P (2, n) имеет порядок, не превосходящий

ns(n2 + n + 1)(n2 + n)n2(n − 1)2,

где s ≤ log2 n. Порядки групп коллинеаций известных недезарговых проективных плоскостей не превосходят порядков групп коллинеаций дезарговых плоскостей того же порядка.

Конечную проективную плоскость можно задать таблицей, строки которой обозначают прямые, а столбцы — точки плоскости. Если точка принадлежит прямой, то на пересечении соответствующих строки и столбца запишем знак *. Нетрудно убедиться, что таблица 1 задает проективную плоскость третьего порядка.

Проективные плоскости P G(2, n) над полями Галуа GF (n) — наиболее изученные конечные плоскости. В P G(2, n) справедливы теоремы Дезарга и Паппа. Имеет место и обратное утверждение: дезаргова конечная проективная плоскость порядка n изоморфна плоскости P G(2, n) над полем Галуа GF (n).

Конфигурационные свойства проективной плоскости связаны с тем, какую группу коллинеаций допускает эта плоскость. Существование в плоскости всевозможных (C, l)-коллинеаций равносильно выполнению теоремы Дезарга, а с (C, l)-транзитивностью проективной плоскости связана теорема Паппа и двойственно формулируется (l, m)-теорема Паппа. Конечная проективная плоскость с дважды транзитивной группой коллинеаций паппова [60]. В 1977 г. Бахман доказал, что для любой группы можно найти проективную плоскость, группа коллинеаций которой содержит подгруппу, изоморфную выбранной группе.

В 1943 г. М. Холлом [16] был предложен алгебраический метод исследования проективных плоскостей. Он показал, что над каждым тернаром можно построить проективную плоскость и что задание в проективной плоскости упорядоченной четверки точек общего положения определяет тернар, координатизирующий данную плоскость. Тернарный метод оказался плодотворным

130 В. В. АФАНАСЬЕВ

		A1	A2
	A13
			A3
	A12
			A4
	A11	O
			A5
	A10
			A6

A9
	A7
	A8
	РИС. 2

и позволил устанавливать связи между свойствами группы автоморфизмов проективной плоскости, конфигурационными свойствами плоскости и свойствами алгебраической системы, координатизирующей плоскость. Присоединение к аксиомам проективной плоскости какого-либо конфигурационного постулата влечет появление некоторых квазитождеств в координатизирующих эту плоскость тернарах, и, обратно, привнесение в тернар какого-либо квазитождества означает, что в построенной над ним проективной плоскости будет справедливо некоторое конфигурационное предложение.

На рассмотрении 57 типов множеств T (G) = {(X, x) | G является (X, x)-транзитивной}, определенных для полной группы коллинеаций G, основана классификация Ленца—Барлотти проективной плоскости (см. [19, 46]). Одним из основных путей изучения проективной плоскости является введение в ней координат и тернарной операции. Каждому возможному типу проективной плоскости классификации Ленца—Барлотти соответствует система алгебраических законов, которой должно удовлетворять натуральное тело проективной плоскости, определенное через тернарную операцию. Например, проективная плоскость является дезарговой (папповой) тогда и только тогда, когда во всех ее натуральных телах выполняется ассоциативный (коммутативный) закон. Дезаргова конечная проективная плоскость P (2, n) является папповой.

Особенность дезарговой проективной плоскости P G(2, n) в том, что она обладает коллинеацией порядка n2 +n+1, циклической на точках и прямых. Этот результат дает возможность представить проективную плоскость P G(2, n) в виде циклической таблицы. Такое представление P G(2, n) заключается в том, что точки плоскости, занумерованные натуральными числами от 1 до n2 + n + 1, располагаются в прямоугольной таблице из n + 1 строк и n2 + n + 1 столбцов таким образом, что каждый столбец, означающий прямую со всеми точками на ней, получается прибавлением к каждому элементу предыдущего столбца единицы по модулю n2 + n + 1. Например, представление плоскости P (2, 2) имеет вид

1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	1
4	5	6	7	1	2	3

Плоскость P G(2, n) допускает следующую интерпретацию в евклидовой плоскости: точками плоскости P G(2, n) являются вершины правильного (n2 + n + 1)-угольника, вписанного в окружность, а прямыми — множество (n+1)-вершинников, полученных вращением вокруг центра окруж-

ности одного, все длины сторон и диагоналей которого различны, на углы ϕi = 2360◦ · i, где

n +n+1

i = 1, 2, . . . , n2 + n (см. [10]). Например, P G(2, 3) допускает следующее представление, изображенное на рис. 2. Здесь множество прямых P G(2, 3) — 13 четырехвершинников, полученных вращением A1A2A4A10 вокруг центра окружности на углы ϕi = 36013◦ · i, где i = 1, 2, . . . , 12.

КОНЕЧНЫЕ ГЕОМЕТРИИ

131

2.ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Проективное пространство — совокупность всех подпространств инцидентностной структуры π = P, L; I , где элементы множества P называются точками, элементы множества L — прямыми, а I — отношением инцидентности. Подпространством инцидентностной структуры π называется подмножество S множества P, для которого справедливо условие: если P, Q S и P = Q, то множество точек прямой, проходящей через точки P и Q, также принадлежит S. Инцидентностная структура π удовлетворяет следующим требованиям:

1.для любых двух различных точек P и Q существует единственная прямая l такая, что P I l,

Q I l;

2.каждая прямая инцидентна по крайней мере трем точкам;

3. если две различные прямые l и m пересекаются в точке P и выполнено Q I l и R I l, S I l, T I l, то прямые, проходящие через пары точек R, T и S, Q, пересекаются.

Подпространство S порождено множеством s точек из P (обозначение S = s ) если S является пересечением всех подпространств, содержащих s. Множество точек s называется независимым, если для любого χ s имеет место χ / s {χ} . Упорядоченное максимальное и независимое множество точек подпространства S называется базисом S, а число его элементов d(S) — размерностью подпространства S. Подпространство размерности 0 является точкой, размерности 1 — проективной прямой. Подпространство размерности 2 называется проективной плоскостью.

В проективном пространстве определены операции сложения и пересечения подпространств. Суммой Pm + Pk подпространств Pm и Pk называется наименьшее из подпространств, содержащее Pm и Pk . Пересечением Pm∩Pk подпространств Pm и Pk называется наибольшее из подпространств, содержащееся и в Pm и в Pk . Размерности подпространств Pm, Pk , их суммы и пересечения связаны соотношением

m + k = d(Pm ∩ Pk ) + d(Pm + Pk

Для любого Pm существует Pn−m−1 такое, что Pm ∩ Pn−m−1 (Pn−m−1 — дополнение Pm в Pn), и если Pm Pr , то

(Pm + Pk ) ∩ Pr = Pm + Pk ∩ Pr

).

= P−1 = и Pm + Pn−m−1 = Pn

для любого Pk (дедекиндово правило), т.е. относительно введенных операций проективное пространство является дедекиндовой решеткой с дополнениями.

Проективное пространство размерности больше 2 дезаргово, а следовательно, изоморфно проективному пространству (левому или правому) над подходящим телом k (см. [2]). Например, левое проективное пространство Pnl (k) размерности n над телом k — это совокупность линейных подпространств некоторого (n + 1)-мерного левого линейного пространства Aln+1(k) над телом k; точками Pnl (k) являются прямые в Aln+1(k), т.е. множества классов эквивалентности слева строк (x0, x1, . . . , xn) (строки (x0,x1, . . . , xn) и (y0, y1, . . . , yn) эквивалентны слева, если существует такое λ k, что xi = λy, i = 0, 1, . . . , n); подпространствами Pml (k), m = 1, . . . , n, являются (m+1)-мерные подпространства Alm+1(k). Можно установить некоторое соответствие между левым пространством Pnl (k) и правым пространством Pnr (k), при котором подпространству Psl(k) и соответствует подпространство Pnr−s−1(k) (подпространства Psl(k) и Pnr−s−1(k) называется дуальными друг другу), пересечению подпространств соответствует сумма, а сумме — пересечение. Если некоторое утверждение, основанное только на свойствах линейных подпространств, их пересечений и сумм, справедливо для Pnl (k), то справедливо и соответствующее утверждение для Pnr (k). Это соответствие между свойствами пространств Pnl (k) и Pnr (k) называется принципом двойственности для проективной плоскости (см. [14]).

Конечное тело необходимо коммутативно, следовательно, конечное проективное пространство размерности больше 2 и порядка q изоморфно проективному пространству над полем Га-

луа P G(n, q). Конечное проективное пространство P (n, q) содержит (qn+1 − 1)/(q − 1) точек и

r r

(qn+1−i − 1)/ (qr+1−i − 1) подпространств размерности r (см. [55]).

i=0 i=0

Соммервиль [57] нашел число r-мерных плоскостей конечного n-мерного пространства, проходящих через заданную s-мерную плоскость и лежащих в данной t-мерной плоскости.

132	В. В. АФАНАСЬЕВ

Коллинеацией проективного пространства называется перестановка его точек, которая отображает прямые в прямые, при этом подпространства отображаются на подпространства. Нетривиальная коллинеация проективного пространства имеет не более одного центра и не более одной оси. Группа коллинеаций конечного проективного пространства P G(n, ph) имеет порядок, равный

	n+1
hphn(n+1)/2	(phi − 1).
	i=1

Каждое проективное пространство P G(n, q) допускает циклическую транзитивную группу коллинеаций (см. [25]).

Аналогом поверхности в классической геометрии является шапка в конечных проективных пространствах.

Множество из k точек конечного пространства P (n, q), никакие три из которых не коллинеарны, называется шапкой или k-шапкой. Две шапки называются эквивалентными, если существует коллинеация пространства P (n, q), переводящая одну из них в другую. Нахождение максимального числа m(n, q) точек шапки в P (n, q), построение и классификация m(n, q)-шапки не решены полностью. Известны следующие результаты (см. [32, 52]):

(i)m(n, 2) = 2n: 2n-шапка единственна (с точностью до эквивалентности) и является множеством точек P (n, 2), не лежащих в фиксированной гиперплоскоскости;

(ii)m(2, q) = q + 1, q нечетное: (q + 1)-шапка в P G(2, q) является коникой и единственна;

(iii)m(2, q) = q + 2, q четное: (q + 2)-шапка в P (2, q), вообще говоря, не единственна;

(iv)m(3, q) = q2 + 1, q нечетное: (q2 + 1)-шапка в P (3, q) является эллиптической квадрикой и единственна;

(v)m(4, 3) = 20: 20-шапка в P (4, 3) не единственна;

(vi)m(5, 3) = 56: 56-шапка в P (5, 3) единственна.

Наиболее изученными шапками являются овоиды — множество o точек пространства, которые произвольная прямая пересекает не более чем в двух точках, а прямые, касательные к o в каждой его точке, лежат в гиперплоскости. В проективном пространстве нелинейчатая квадрика является овоидом.

Вконечных проективных пространствах размерности больше 3 овоид не существует. В трехмерных пространствах порядка q > 2 овоид является максимальной k-шапкой и состоит из q2 + 1 точек. Для нечетного q каждый овоид является эллиптической квадрикой (см. [54]). В плоскости порядка q овоид называется овалом и содержит q + 1 точек. В дезарговой плоскости нечетного порядка любой овал однозначно представим невырожденной коникой над полем Галуа (см. [53]).

В1906 году О. Веблен и Н. Г. Басси [64] предложили общий метод построения геометрий размерности больше двух и всех двумерных конечных геометрий над полями Галуа, а также обобщили геометрию Фано на случай произвольного конечного поля Галуа GF (q), подсчитали количество точек, прямых и плоскостей в конечном проективном пространстве.

Так точки проективного пространства P G(3, 2) могут быть представлены как однородные нену-

левые упорядоченные четверки элементов поля Z2 и, следовательно, в P G(3, 2) существует 24 − 1 точек. Поле Галуа GF (24) содержит 15 ненулевых элементов — многочленов от x по модулю непри-

водимого над Z2 многочлена четвертой cтепени, например, f (x) = x4 + x + 1 с коэффициентами из Z2, т.е. 0 и 1. Поскольку x4 = x + 1, то все многочлены являются степенью x:

x0 = 1 = (0, 0, 0, 1);			x8	= x2 + 1 = (0, 1, 0, 1);
x1 = x = (0, 0, 1, 0);			x9	= x3 + x = (1, 0, 1, 0);
x2 = x2 = (0, 1, 0, 0);			x10 = x2 + x + 1 = (0, 1, 1, 1);
x3 = x3		= (1, 0, 0, 0);	x11 = x3 + x2				+ x = (1, 1, 1, 0);
x4	= x + 1 = (0, 0, 1, 1);		x12		= x3	+ x2	+ x + 1 = (1, 1, 1, 1);
x5	= x2	+ x = (0, 1, 1, 0);	x13		= x3	+ x2	+ 1 = (1, 1, 0, 1);
x6	= x3	+ x2 = (1, 1, 0, 0);	x14		= x3	+ 1 = (1, 0, 0, 1);
x7	= x3	+ x + 1 = (1, 0, 1, 0);	x15		= x0	= 1.

Любые две из 15 точек определяют прямую, которая состоит из этих двух точек и их суммы.

КОНЕЧНЫЕ ГЕОМЕТРИИ

133

A1

		A8				A2
		A7			A0	A3
		A6				A4
	РИС. 3			A5

РИС. 4

3.АФФИННЫЕ ПЛОСКОСТИ

Инцидентностная структура c параллельностью A = P, L; I, называется аффинной плоскостью, если выполняются следующие условия:

A1	Для любых двух различных точек P и Q существует единственная прямая l такая, что P I l
	и Q I l.
A2	Для любой точки P и любой прямой m существует единственная прямая l такая, что P I l и
	l m.
A3	Если для прямых l и m не существует точки, инцидентной одновременно l и m, то l m.
A4	Существуют три точки, не инцидентные одной прямой.

Между проективными и аффинными плоскостями существует тесная связь. Если из проективной плоскости удалось удалить некоторую прямую l и инцидентные с ней точки, а отношение параллельности определить на множестве L = L {l} оставшихся прямых следующим образом:

(m n) ( P P | P I m, P I l, P I n),

то инцидентностная структура с параллельностью Al = P , L ; I, , где P = P {P P | P I l}, I = (P × L ) ∩ I будет аффинной плоскостью.

Заметим, что при различном выборе удаляемой прямой из данной проективной плоскости получаются, вообще говоря, неизоморфные аффинные плоскости.

Простейшей аффинной плоскостью является плоскость четырех точек и шести прямых. Аффинную плоскость третьего порядка можно получить, удалив из проективной плоскости P (2, 3) произвольную прямую. Оставшиеся 9 точек и 12 прямых образуют аффинную плоскость с тремя точками на каждой прямой (см. рис. 3).

Точками геометрической интерпретации плоскости A(2, 3) могут служить вершины правильного 8-угольника, вписанного в окружность с центром A0, а прямыми — множество разносторонних треугольников, полученных вращением A1A2A4 вокруг A0 на углы φi = 3608 0 · i (i = 1, 2, . . . , 7),

ичетыре вырожденных треугольника, проходящих через центр окружности (см. рис. 4).

В1938 г. индийский математик Боуз установил соответствие между аффинными плоскостями порядка n и полным набором попарно ортогональных латинских квадратов того же порядка [21]. На основе утверждения об отсутствии даже пары ортогональных латинских квадратов порядка 6 было получено доказательство несуществования аффинной плоскости порядка 6.

В1978 г. Билиотти установил [20], что аффинная плоскость с группой коллинеаций, транзитивной на прямых, является плоскостью трансляций, а любая группа изоморфна группе трансляций некоторой аффинной плоскости.

134	В. В. АФАНАСЬЕВ

ТАБЛИЦА 2

c1

c2

c3

c4

c5

c6

c7

c8

c9

c10

c11

c12

c13

c14

c15

c16

c17

c18

c19

c20

c21

c22

c23

c24

c25

c26

c27

c28

c29

c30

P0

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

P1

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

P2

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

P3

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

P4

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

P5

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

P6

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

P7

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

P8

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

P9

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

В конечной аффинной плоскости порядка n имеется n пучков по n + 1 прямых в каждом, n2 точек и n2 + n прямых.

4.ПЛОСКОСТИ МЁБИУСА

Плоскость Мёбиуса, или круговая плоскость, инверсная плоскость, — плоскость, элементы которой составляют два непересекающихся множества: множество точек и множество окружностей, с симметричным отношением инцидентности (связывающим точку и окружность). Отношение инцидентности удовлетворяет следующим аксиомам:

1.каждые три различные точки инцидентны одной и только одной окружности;

2.через точку, не инцидентную окружности, проходит одна и только одна окружность, пересекающая данную окружность в данной точке;

3.существует по крайней мере четыре различные точки, не инцидентные одной окружности. Каждая окружность инцидентна по крайней мере трем различным точкам.

Из плоскости Мебиуса можно получить аффинную плоскость, если назвать одну из точек плоскости Мебиуса несобственной, а окружности, инцидентные этой точке — прямыми.

Втрехмерном проективном пространстве P3 точки овоида o и плоскости, пересекающей овоид

вболее чем одной точке, с тем же отношением инцидентности, что и в P3, образуют плоскость Мебиуса M (o) (см. [25]). Плоскость Мебиуса называется овалоподобной, если она изоморфна M (o) для некоторого овоида o. Среди овалоподобных плоскостей Мебиуса наиболее известна модель

M (S), где S — сфера в трехмерном евклидовом пространстве, т.е. плоскость, изоморфная M (c), где c — нелинейчатая квадрика в трехмерном проективном пространстве над полем действительных чисел.

Плоскость Мебиуса называют конечной, если она состоит из конечного числа точек и окружностей. На всех окружностях конечной плоскости Мебиуса лежит одинаковое число точек и через каждую точку плоскости проходит одинаковое число окружностей. Число, на единицу меньшее числа точек на окружности, называется порядком плоскости. Плоскость Мебиуса порядка n содержит n2 + 1 точек и n(n2 + 1) окружностей; через каждую точку плоскости проходит n(n + 1) окружностей.

Таблица 2 задает плоскость Мебиуса третьего порядка:

Наиболее известна следующая модель плоскости Мебиуса порядка n = ph. Точками плоскости

	поля Галуа				2h
					GF (p ) и несобственная точка {∞}, а окружностями — образы
	являются элементы h
	множества K = GF (p		) {∞} относительно группы подстановок вида
	xαa + c				a, b, c, d GF (p2h), ad = bc, a Aut GF (p2h).
	x →			,
		xαb + d

Необходимым условием существования плоскости Мебиуса порядка n является существование конечной аффинной плоскости того же порядка. Доказана единственность плоскости Мебиуса порядка n = 2, 3, 4, 5, 7, 11 (см. [9]). Если плоскость Мебиуса порядка n содержит собственную подплоскость порядка m, то m ≡ n(mod 2) и m2 + m ≤ n (см. [26]).

КОНЕЧНЫЕ ГЕОМЕТРИИ

135

Имеются работы по классификации плоскостей Мебиуса (см. [42]).

Установлено, что конечная плоскость Мебиуса тогда и только тогда является мигуэлевой плоскостью, когда она изоморфна нелинейчатой квадрике в пространстве Галуа. При этом точкам плоскости сопоставляются точки квадрики, прямым — плоские ее сечения, содержащие более чем одну точку этой квадрики. В пространстве нечетного порядка любая нелинейчатая квадрика является овоидом и обратно. В пространстве четного порядка это неверно (см. [54]).

В настоящее время известны лишь овоидоподобные плоскости Мебиуса и свойства этих плоскостей зависят от свойств соответствующих овоидов.

Плоскость Мебиуса названа по имени А. Мёбиуса (A. Mobius,¨ 1855), заложившего основы теории окружностей.

5.ЕЛЬМСЛЕВОВЫ ПЛОСКОСТИ

Возможными обобщениями проективных и аффинных плоскостей являются ельсмслевовы плоскости. В 20-е годы ХХ в. Ельмслев рассматривал геометрию над кольцом дуальных чисел, где соединение точек и пересечение прямых оказались неоднозначными (см. [37]).

Инцидентностная структура со смежностью P H = P, L; I, называется проективной ельмслевовой P H-плоскостью, если выполняются следующие условия:

P H1	. Для любых двух точек P и Q существует такая прямая l, что P I l и Q I l.
P H2	. Для любых двух прямых l и m существует такая точка P , что P I l и P I m.
P H3	. P Q в том и только в том случае, если существует по крайней мере две прямые l и m
	такие, что P I l, Q I l, P I m и Q I m. l m в том и только в том случае, если существуют
	по крайней мере две различные точки P и Q такие, что P I l, Q I l, P I m и Q I m.
P H4	. Существует отображение ϕ инцидентностной структуры < P, L; I > на однозначную проек-
	тивную плоскость π такое, что

(1)ϕ(P ) = ϕ(Q) тогда и только тогда, когда P Q,

(2)ϕ(l) = ϕ(m) тогда и только тогда, когда l m.

Заметим, что отношение смежности задается на P, а точка P называется смежной прямой l (P l), если существует точка Q такая, что Q I l и Q P . Прямая m называется смежной прямой l (m l), если каждая точка прямой m смежна прямой l.

Во второй половине ХХ в. были предприняты попытки координатизировать ельмслевовы плоскости. В 1954 г., допустив справедливость малой теоремы Дезарга и аффинной теоремы Паппа, В. Клингеберг [41] c помощью гильбертова исчисления отрезков описал ельмслевовы плоскости алгебраически.

Проективные ельмслевовы плоскости были координатизированы Е. П. Емельченковым [8] с помощью P H-тернара.

Для конечной P H-плоскости с s точками на произвольной прямой l, несмежными точке P I l и

сt точками на прямой l, смежными точке P , выполняются следующие условия:

1.s и t не зависят от выбора l и P ,

2.|P| = |L| = s2 + st + t2,

3.s кратно t,

4.P H-плоскость однородна в том и только в том случае, если s = t2 (плоскость называется однородной, если для любых двух смежных точек P и Q и любых двух смежных прямых l и m из условия P I l, Q I l и P I m следует, что Q I m).

До сих пор не установлено, для каких параметров s и t существуют конечные ельмслевовы плоскости.

Аффинные ельмслевые плоскости (инцидентностные структуры с параллельностью и смежностью) были координатизированы В. Цыгановой [17] с помощью AH-тенара.

6.ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ПЛОСКОСТИ

Гиперболической плоскостью называется инцидентностная структура H = P, L; I , удовлетворяющая следующим аксиомам:

H1. Две различные точки инцидентны единственной прямой.

136 В. В. АФАНАСЬЕВ

ТАБЛИЦА 3

l 1

l 2

l 3

l 4

l 5

l 6

l 7

l 8

l 9

l 10

l 11

l 12

l 13

l 14

l 15

l 16

l 17

l 18

l 19

l 20

l 21

l 22

l 23

l 24

l 25

l 26

P1

*

*

*

*

*

*

P2

*

*

*

*

*

*

P3

*

*

*

*

*

*

P4

*

*

*

*

*

*

P5

*

*

*

*

*

*

P6

*

*

*

*

*

*

P7

*

*

*

*

*

*

P8

*

*

*

*

*

*

P9

*

*

*

*

*

*

P10

*

*

*

*

*

*

P11

*

*

*

*

*

*

P12

*

*

*

*

*

*

P13

*

*

*

*

*

*

H2. Если точка P не инцидентна прямой l, то существуют по крайней мере две прямые, инцидентные P и не пересекающие l.

В конечной проективной плоскости P (2, n) нечетного порядка множество внутренних точек овала c, образуют конечную гиперболическую плоскость (овал — это n + 1 точка, никакие три из которых не лежат на прямой).

Представляет определенный интерес рассматривать конечные гиперболические плоскости с m точками на каждой прямой и (n + m) прямыми, проходящими через любую точку. Такие плоскости H называются регулярными гиперболическими плоскостями или m, n -плоскостями. Необходимым условием существования < m, n >-плоскости является делимость n(n −1) на m. Если m > 2, то m, 2 -плоскость не существует, а 2, n -плоскость является простейшей регулярной плоскостью, состоящей из n + 3 точек и Cn + 32 прямых, состоящих из всевозможных пар точек. Достаточное условие существования m, n -плоскостей неизвестно.

m, n -плоскость содержит (m + n)(m − 1) + 1 точек и mm+n [(m + n)(m − 1) + 1] прямых.2, 2 -плоскость является минимальной m, n -плоскости.

3, 3 -плоскость состоит из 13 точек и 26 прямых и может быть задана таблицей инцидентности (см. таблицу 3).

7.ЧАСТИЧНЫЕ ГЕОМЕТРИИ

Частичная геометрия — это инцидентностная структура S = P, L; I , в которой отношение инцидентности между точками и прямыми симметрично и удовлетворяет следующим аксиомам:

1.каждая точка инцидентна r прямым, r ≥ 2, и две различные точки инцидентны не более чем одной прямой;

2.каждая прямая инцидентна k точкам, k ≥ 2;

3.через каждую точку, не инцидентную прямой l, проходит ровно t ≥ 1 прямых, пересекающих l.

Если частичная геометрия состоит из v точек и b прямых, то

v = k[(k − 1)(r − 1) + t]/t и b = r[(k − 1)(r − 1) + t]/t,

а необходимыми условиями существования такой частичной геометрии являются делимость (k −

1)(r − 1)kr на t(k + r − t − 1), k(k − 1)(r − 1) на t и r(k − 1)(r − 1) на t (см. [13]). Частичные геометрии можно разделить на четыре класса:

(а)частичные геометрии с t = k или (двойственно) t = r. Геометрии этого типа — то же самое, что 2 − (v, k, 1)-схема или 2 − (v, r, 1)-схема;

(б)частичные геометрии с t = k − 1 или (двойственно) t = r − 1. В этом случае частичная геометрия — то же самое, что и сеть порядка k и дефекта 1 или k − r + 1;