Полагая

,

найдем

Отсюда

.

2. Интегрирование подстановкой.

В этом разделе мы ознакомимся с чрезвычайно важным способом интегрирования - способом подстановки. Чтобы понять суть дела полезно рассмотреть несколько примеров.

Пусть требуется вычислить интеграл

(3)

Так как cosxdx=d(sinx), то I можно переписать в виде

Введем новую переменную z, положив sinx=z. Тогда

Остается вернуться к старой переменной x, и мы получим

Справедливость полученного результата легко проверяется дифференцированием.

Рассмотрим еще один пример. Пусть

(4)

Тогда

Введем новую переменную z, положив arctgx=z. Тогда

Остается вернуться к старой переменной x, и мы получим

Мы видим, что использованный прием дал возможность при помощи одной и той же формулы интегрирования вычислить столь разные интегралы как (3) и (4).

Вот еще один пример применения того же способа подстановки:

Положив sinx=z, находим

Рассмотренные примеры делают понятным следующее правило, чтобы вычислить интеграл

надо

1. переписать I в виде

2. заменить буквой z, что приводит к равенству

3. вычислить последний интеграл;

4. в полученном примере произвести обратную замену z на .

Докажем, что это правило действительно приводит к истинному значению I. Для этого допустим, что

(5)

Тогда наше правило приводит к равенству

(6)

Чтобы убедится в справедливости правила (6), продифференцируем его правую часть. Для этого применим правило цепочки, положив =z. Тогда

.

Но , стало быть

Поскольку получилась подынтегральная функция левой части равенства (6), то равенство верно.

Примеры.

В простых случаях введение новой переменной z производят в уме. Например

. (7)

Аналогично

(8)

Формулы (7) и (8) полезно запомнить. Сходным приемом находим

Более общим образом

т.е. интеграл от дроби, числитель которой равен производной знаменателя, равен логарифму знаменателя.

Возвращаясь к правилу подстановки, выскажем его в более общей форме:

Чтобы вычислить интеграл, в котором независимой переменной служит x, можно перейти к другой переменной z, связанной каким- либо образом с x, выразив через z все подынтегральное выражение. После нахождения вновь полученного интеграла надо возвратиться к старой переменной x.

Приведем пример на эту более общую формулировку

Положим x=Rsinz. Тогда откуда

На основании известной тригонометрической формулы имеем:

Осталось перейти к старой переменной x

Используя эти преобразования можно с легкостью выписать решение.

3. Интегрирования по частям. Широко применяется метод интегрирования, называемый метод интегрирования по частям.

Пусть функции u и v – две функции аргумента x, имеющие производные. Как известно,

Это равенство означает не что иное, как то, что произведение uv будет первообразной функцией для . Стало быть,

(9)

Но ведь , и потому (9) можно переписать в виде

(10)