- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Введение
- •Методические указания, примеры выполнения заданий задание 1
- •Решение системы методом определителей.
- •Решение систем матричным методом.
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •Задание 10
- •Задание 11
- •Учебное Пособие для выполнения контрольной работы № 1 по математике
- •394036 Воронеж, пр. Революции, 19.
Решение систем матричным методом.
Квадратной матрицей 3-го порядка называется таблица из 3-х строчек и 3-х столбцов.
. (7)
Внешне матрица похожа на определитель 3-го порядка, но определитель 3-го порядка - число, которое находится по формуле (1), а матрица- набор информации из девяти чисел, расположенных в виде (7). При написании они отличаются тем, что определитель по бокам имеет прямые линии, а матрица – скобки. Элементы матрицыи определителяназываются одинаково: строки, столбцы, главная и побочная диагонали.
Введем определение единичной матрицы:
. (8)
У единичной матрицы на главной диагонали элементы равны 1, а все остальные элементы равны 0.
Матрицы можно транспонировать, т.е. из образовать новую матрицу,которая получается изпутем замены строк соответствующими столбцами.
. (9)
Две матрицы иможно перемножать, в результате получим новую матрицу:
; . (10)
Элементы матрицы находятся по правилу: если индексыито элементравен сумме произведений элементов на-й строке матрицына соответствующие элементы на-ом столбце матрицы.
Пример:
Далее понадобится понятие вектор – столбца. Обычно проекции вектора располагают строчкой . Если эти же проекции расположить вертикально, то получим вектор – столбец:
. (11)
Подобный вектор – столбец используется в произведении с матрицей. Произведением матрицы на вектор – столбецназывается новый векторэлементы которого равны сумме произведений соответствующей строки матрицына элементы вектора – столбца, т. е.
, (12)
где . (13)
Еще необходимо определить обратную матрицу.
Матрица называется обратной матрицей к матрице, если имеют место следующие матричные равенства:
. (14)
Для всякой матрицы , если ее определитель, существует обратная матрица. Обратная матрицастроится следующим образом:
1. Вычисляем определитель данной матрицы.
2. Для элементов матрицывычисляем алгебраические дополненияпо правилу:равно определителю второго порядка взятого со знакоми получаемого вычеркиванием-й строки и-го столбца из определителя.
Например:
3. Из элементов составляем матрицу.
. (15)
4. Каждый элемент матрицы делим на определительи транспонируем полученную матрицу. В результате находим обратную матрицу:
. (16)
Пример вычисления обратной матрицы.
Найдем обратную матрицу для системы (6):
1. Определитель данной матрицы уже найден. Так как, то обратная матрица существует.
2. Найдем алгебраические дополнения :
, ,
, ,
, ,
, ,
.
3. Составим матрицу
4. Найдем обратную матрицу :
. (17)
Проверку сделаем по формуле (14):
.
Алгебраическую систему (2) можно записать в матричной форме
(18)
где – матрица из коэффициентов уравнений,– вектор – столбец из неизвестных,– вектор – столбец из правых частей системы.
Если уравнение (18) слева умножить на , то получим решение системы (2) в виде
.
Пример
Решим систему (6) матричным методом. Обратная матрица для этой системы уже найдена (уравнение (17)). Поэтому сразу найдем .
Ответ: .