Контрольные вопросы и задания

1. Доказать теоремы 2, 3 для бесконечного числа множеств.

2. Доказать, что для любого отображения f выполняется включение f(A  B)  f(A)  f(B), а равенство будет только

тогда, когда f является биекцией.

3. Пусть A – произвольное множество из области определения отображения f. Верно ли равенство f ^-1(f(A)) = A?

4. Пусть B – произвольное множество из области значений отображения f. Верно ли равенство f(f ^-1(B)) = B?

Доказать тождества 5, 6.

5. f ^-1(A \ B) = f ^-1(A) \ f ^-1(B).

6. f(A)  B = f(A  f ^-1(B)).

7. Верно ли равенство f(A \ B) = f(A) \ f(B)? Если нет, то в какую сторону имеет место включение? При каких условиях выполняется тождество?

8. Доказать, что для любой функции f:

а) A  B  f ^-1(A)  f ^-1(B);

б) A  B   f(A)  f(B);

в) f(A) =   A  _а = ;

г) f ^-1(A) =   A  _а = .

9. Пусть  : A  B – взаимно однозначное соответствие. Доказать, что:

а)   ^-1 – взаимно однозначное соответствие между B и A;

б)   ^-1 o  = i; в)   o  ^-1 = i.

10. Доказать, что объединение (пересечение) двух отображений f₁ и f₂ из A в B является отображением из A в B тогда и только тогда, когда f₁ = f₂.

11. Доказать, что:

а) f(A)  B =    A  f ^-1(B) = ;

б*) f(A)  B  A  f ^-1(B).

12*. Можно ли построить сюръективное отображение вида

множества целых чисел на множество рациональных чисел, где коэффициенты a₀, a₁, . . . , a_т, b₀, b₁, . . . , b_ь - целые числа?

13. Пусть f : X  Y, g : Y  Z, h = g o f и B  Z. Тогда h ^-1(B) = f ^-1(g ^-1(B)).

Примеры решения

Задача 11(б).

1) Пусть  f(A)  B и xA. Тогда f(x)f(A), а в силу f(A)  B справедливо f(x)B, что означает xf ^-1(B). Следовательно, A  f ^-1(B).

2) Докажем, что f(A)  B при условии A  f ^-1(B). Пусть yf(A),  это значит, что y = f(x), где xA. Из включения Af ^-1(B) следует, что xf ^-1(B). Тогда y = f(x)f(f ^-1(B)) = B. Что и требовалось доказать.

Задача 13.

Такое отображение построить нельзя. Любая функция f(x), представимая в виде частного от деления двух многочленов, имеет конечный или бесконечный предел при x. Если f(x) = q < , то существует такое N, что для всех k, таких, что |k|>N, выполнены неравенства q–1< f(x) < q+1. Если отображение f является сюръекцией, то конечное множество целых чисел k : |k|  N отображается на бесконечное множество рациональных чисел r, лежащих в множестве (– , q – 1]  [q +1, +), что невозможно. Следовательно, не для каждого рационального r существует прообраз в множестве целых чисел.

Если f(x) = , то рассуждения аналогичны (в этом случае конечное множество целых чисел k, таких, что |k|  N, отображалось бы на множество рациональных чисел отрезка [-A, A], что невозможно. Следовательно, это отображение также не является сюръективным.

4. Мощность множества

Рассмотрим множество всех молекул в земной атмосфере. Это множество содержит очень большое число элементов (примерно 102770105410), но оно конечное, т.е. существует такая константа, которая больше числа элементов этого множества. Помимо конечных существуют бесконечные множества. Одной из задач теории множеств является определение числа элементов множества и исследование вопроса о сравнении друг с другом двух множеств по количеству элементов.

Для конечных множеств самой разной природы эта задача легко решается непосредственным подсчетом. Для бесконечных множеств вопрос о сравнении невозможно решить как для конечных, с помощью подсчета. Поэтому Кантор предложил для сравнения двух бесконечных множеств установить между ними взаимно однозначное (биективное) отображение. Рассмотрим примеры установления такого отображения.

Пример 1. В качестве множества А рассмотрим интервал на числовой прямой, пусть А=(–1, 1), а в качестве множества В –множество действительных чисел R. Это множества одинаковой мощности, т.к отображение f(x) = tg(x/2), хА позволяет установить между ними искомое взаимно-однозначное соответствие.

Пример 2. Пусть А = [–1,1], В = (–1,1). Строим отображение f : A  B по следующему правилу: выделим в А последовательность –1, 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . , 1/n и положим f(–1)=1/2, f(1)=1/3, f(1/2)=1/4, f(1/3)=1/5, т.е. f(1/n) = 1/(n+2), а все точки, не входящие в эту последовательность отобразим сами в себя, т.е. f(x) = х. Следовательно, открытый и замкнутый интервалы эквивалентны.

Мощность множества является обобщением понятия числа элементов множества. Если взаимно однозначное отображение множеств установлено, значит, по определению, в обоих множествах одинаковое число элементов или мощность одного множества равна мощности другого множества. Напоминаем, что множества, между которыми можно установить биективное отношение называются эквивалентными.

Мощность – это то общее, что есть у любых двух эквивалентных множеств. Мощность множества A обозначается m(A) или |A|. Таким образом, m(A) = m(B), если A ~ B.

Если множество A эквивалентно какому-либо подмножеству множества B, то мощность A не больше мощности B (т.е. m(A)m(B)). Если при этом множество B не эквивалентно никакому подмножеству множества A, то m(A) < m(B).

Наименьшим среди бесконечных множеств является множество натуральных чисел  N.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Назовем счетным всякое множество, эквивалентное множеству  N. Другими словами, счетным называется всякое множество, элементы которого можно перенумеровать или составить из них бесконечную последовательность.

Примеры счетных множеств.

1. Множество целых чисел Z={0, 1, 2, . . .}. Построим из его элементов последовательность: a₁ = 0; a₂= – 1; a₃ = 1; a₄ = –2; a₅ = 2;... Формулу для вычисления ее общего члена можно записать в виде

2. Множество Q всех рациональных чисел.

Докажем счетность этого множества. Как известно, рациональные числа – это дроби вида p/q, где pZ, qN.

Запишем их в виде таблицы из бесконечного числа строк и столбцов