n1

Из матриц С и Д видно, что наилучшим является объект Е5.

Задание №5. Оценка сложных систем в условиях риска и неопределенности.

Решено организовать тренажерный зал. По прогнозным оценкам ожидается от 80 до 150 посетителей в день. Определить, сколько закупить тренажёров а_i, если число посетителей k_j.

Матрица эффективности имеет вид (тыс. руб.):

а/к	к1 = 80	к2= 110	к3= 130	к4= 150
а1= 8	3050	3180	3240	3210
а2= 11	4270	4410	2650	2690
а3= 13	3690	13620	19070	17030
а4= 15	2570	2330	15060	17560

1. Критерий среднего выигрыша. Предполагает задание вероятностей состояния обстановки Р_i. Эффективность систем оценивается как среднее ожидание (мат. ожидание) оценок эффективности по всем состояниям обстановки.

Оптимальной системе будет соответствовать максимальная оценка.

К = ∑ Р_i ∙ к _ij

Определим частоту каждого к_i, , пусть:

Р₁ = 0,4; Р₂ = 0,15; Р₃ = 0,15; Р₄ = 0,3.

Тогда:

К(а₁) = 0, 4 ∙ 3050 + 0,15 ∙ 3180 + 0,15 ∙ 3240 + 0,3 ∙ 3210 = 3146

К(а₂) = 0,4 ∙ 4270 + 0,15 ∙ 4410 + 0,15 ∙ 2650 + 0,3 ∙ 2690 = 3574

К(а₃) = 0,4 ∙ 3690 + 0,15 ∙ 13620 + 0,15 ∙ 19070 + 0,3 ∙ 17030 = 11119,5

К(а₄) = 0,4 ∙ 2570 + 0,15 ∙ 2330 + 0,15 ∙ 15060 + 0,3 ∙ 17560 = 8647,5

Оптимальное решение — число тренажеров — а₃ = 13.

2. Критерий Лапласа (достаточного основания).

Предполагается, что состояние обстановки равновероятно, так как нет достаточных оснований предполагать иное.

Имеем P1 = P2 = P3 = P4 = 0,25

К(а₁) = 0,25 ∙ (3050 + 3180 + 3240 + 3210) = 3170

К(а₂) = 0,25 ∙ (4270 + 4410 + 2650 + 2690) = 3505

К(а₃) = 0,25 ∙ (3690 + 13620 + 19070 + 17030) = 13352,5

К(а₄) = 0,25 ∙ (2570 + 2330 + 15060 + 17560) = 9380

Оптимальное решение — число тренажеров — а₃ = 13

3. Критерий осторожного наблюдателя (критерий Вальда). Это максимальный критерий (максимальные доходы, минимальные потери). Он гарантирует определенный выигрыш при худших условиях. Критерий использует то, что при неизвестной обстановке нужно поступать самым осторожным образом, ориентируясь на минимальное значение эффекта каждой системы.

Для этого в каждой строке матрицы находится минимальная из оценок систем

К(а_i) min К_ij.

К(а₁) = min(3050; 3180; 3240; 3210) = 3050.

К(а₂) = min(4270; 4410; 2650; 2690) = 2650.

К(а₃) = min(3690; 13620; 19070; 17030) = 3690.

К(а₃) = min(2570; 2330; 15060; 17560) = 2330.

Оптимальное решение — число тренажеров — а₃ = 13

4. Критерий пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица). Критерий обобщенного максимина. Согласно данному критерию при оценке и выборе систем не разумно проявлять как осторожность, так и азарт. Следует принимать во внимание самое высокое и самое низкое значение эффективности и занимать промежуточную позицию. Эффективность находится как взвешенная с помощью коэффициента α сумма максимальных и минимальных оценок.

Пусть d = 0,6, тогда:

К(а₁) = 0,6 ∙ 3240 + (1−0,6) ∙ 3050 = 3164

К(а₂) = 0,6 ∙ 4270 + (1−0,6) ∙ 2650 = 3622

К(а₃) = 0,6 ∙ 19070 + (1−0,6) ∙ 3690 = 12918

К(а₄) = 0,6 ∙ 17560 + (1−0,6) ∙ 2330 = 11468

Оптимальное решение — число тренажеров — а₄ = 15

5. Критерий минимального риска (критерий Севиджа)

Минимизирует потери эффективности при наихудших условиях. В этом случае матрица эффективности должна быть преобразована в матрицу потерь. Каждый элемент определяется как разность между максимальным и текущим значениями оценок эффективности в столбце.

Матрица потерь

а/к	к1	к2	к3	к4	к(аi )
а1	190	60	0	30	190
а2	140	0	1760	1720	1760
а3	15380	5450	0	2040	15380
а4	14990	15230	2500	0	15230

Оптимальное решение — число тренажеров — а₁ = 8

Результаты всех расчётов записываются в одну табл.

Результаты

а\к	к1	к2	к3	к4	Ср. выигр	Лапласа	Вальда	Гурвица	Севиджа
а1	3050	3180	3240	3210	3146	3170	3050	3164	190
а2	4270	4410	2650	2690	3574	3505	2650	3622	1760
а3	3690	13620	19070	17030	11119,5	13352,5	3690	12918	15380
а4	2570	2330	15060	17560	8647,5	9380	2330	11468	15230

Тип критерия для выбора рационального варианта выбирается на аналитической стадии рассмотрения сложных систем. Очевидно, что по большинству критериев оптимальное решение — число тренажеров — а₃ = 13.

Задание №6. Постановка задачи математического программирования.

На предприятии изготавливается два вида изделий из трёх видов материалов.

a_ij – расход материала вида i на одно изделие j.

b_i – запас материала вида i.

c_i – прибыль от одного изделия вида i.

Сформулировать ЗЛП, чтобы определить, сколько изделий каждого вида следует производить, чтобы максимизировать прибыль. Расход материалов представлен в Таблице.

Расход материала вида i на одно изделие j

Изделие (j)	Вид материала (i)			Прибыль на одно изделие
	1	2	3
1	7	5	6	222
2	66	12	24	144
Запас материалов	1615	1555	2139

Х₁ — объём производства изделий 1-го вида;

Х₂ — объём производства изделий 2-го вида.

Постановка задачи ЛП:

222 ∙ Х₁ + 144 ∙ Х₂ ® мах (максимизировать совокупную прибыль от производства изделий обоих видов);

7 ∙ Х₁ + 66 ∙ Х₂  <= 1615 — ограничение на максимальную загрузку 1-го цеха;

5 ∙ Х₁ + 12 ∙ Х₂ <= 1555 — ограничение на максимальную загрузку 2-го цеха;

6 ∙ Х₁ + 24 ∙ Х₂ <= 2139 — ограничение на максимальную загрузку 3-го цеха;

Х_1, Х₂ >= 0 — изделия должны производиться.