ТВИМС_12_Заоч_0511

Задание 1.

В коробке лежат 5 красных шаров, 6 синих и 3 желтых шара. Из коробки наугад вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что при трехразовом изъятии шаров окажутся вынутыми в 1-ый раз – желтый шар, во 2-ой раз – красный шар и в 3-ий раз – синий шар.

Решение:

Вероятность события:

, где m – число благоприятных исходов;

n – число всех возможных исходов.

Вероятность того, что первым будет вынут желтый шар:

Вероятность того, что вторым будет вынут красный шар:

Вероятность того, что третьим будет вынут синий шар:

Тогда, искомая вероятность, что при трехразовом изъятии шаров окажутся вынутыми в 1-ый раз – желтый шар, во 2-ой раз – красный шар и в 3-ий раз – синий шар:

Р(А) = Р(А₁)*Р(А₂)*Р(А₃) = 0,2143*0,3846*0,5 = 0,0412.

Ответ: 0,0412.

Задание 2.

Плотность вероятности случайной величины имеет вид:

.

Найти её математическое ожидание, дисперсию, построить кривую вероятности; найти вероятности событий: А – случайная величина примет только отрицательные значения, В – случайная величина попадает в интервал длиной в три средних квадратических отклонения, симметричный относительно математического ожидания.

Решение:

Случайная величина имеет нормальное распределение (распределение Гаусса) и называется нормально распределенной, если ее плотность вероятности

, где а – математическое ожидание,

σ – среднее квадратическое отклонение.

В нашем случае:

Т.е. случайная величина Х имеет нормальное распределение.

Математическое ожидание:

М(х) = а = 2

Среднее квадратическое отклонение:

σ = 3.

Дисперсия:

D = σ² = 3² = 9.

Построим кривую вероятности:

Найдем вероятность события А – случайная величина примет только отрицательные значения:

1 – F(0,667) =

= 1 – 0,5828 = 0,4172.

Найдем вероятность события В – случайная величина попадает в интервал длиной в три средних квадратических отклонения, симметричный относительно математического ожидания:

1

Задание 3.

В задании рассматривается прибор, состоящий из двух независимо работающих блоков А и В, каждый из которых состоит из нескольких элементов. Известны вероятности отказов каждого из элементов: p₁=0.3, p₂=0.2, p₃=0.1, p₄=0.1, p₅=0.2, p₆=0.2, p₇=0.3. При отказе блока он подлежит полной замене, причем стоимость замены блока А составляет С_1, блока В – С₂ единиц стоимости. Предполагается, что за период времени Т замененный блок не выйдет ещё раз из строя.

1. Найти случайную величину  – стоимость восстановления прибора за период времени Т:

1.1. построить её ряд и функцию распределения;

1.2. вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

2. Построить модель найденной случайной величины для двадцати приборов (методом жребия получить её 20 значений):

2.1. найти экспериментальные ряд и функцию распределения;

2.2. найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения;

2.3. построить графики теоретического и экспериментального ряда и функции распределения.

3. С помощью критерия Пирсона оценить соответствие экспериментального и теоретического распределений при уровне значимости  = 0,05.

Решение:

Вероятность отказа блока А:

Р(А) = р₁*р₂*р₃ = 0,3 * 0,2 * 0,1 = 0,006

Вероятность отказа блока В:

Р(В) = р₄ + р₅ + р₆ *р₇ = 0,1 + 0,2 + 0,2*0,3 = 0,36

Пусть  – стоимость восстановления прибора за период времени Т, тгда ряд ее распределения и функция распределения:

i	0	7	12	19
pi	0,636	0,004	0,358	0,002
Fi	0,636	0,64	0,998	1

Вероятность того, что не откажет ни один блок:

Р( = 0) = (1 – 0,006)*(1 – 0,36) = 0,994*0,64 = 0,636

Вероятность того, что откажет только блок А:

Р( = 7) = 0,006*(1 – 0,36) = 0,004

Вероятность того, что откажет только блок В:

Р( = 12) = (1 – 0,006)*0,36 = 0,358

Вероятность того, что откажут оба блока:

Р( = 19) = 0,006*0,36 = 0,002

Математическое ожидание случайной величины :

М() = 0*0,636 + 7*0,004 + 12*0,358 + 19*0,002 = 4,362 – средняя стоимость восстановления прибора за период времени Т.

Дисперсия:

D() = (0 – 4,362)²*0,636 + (7 – 4,362)²*0,004 + (12 – 4,362)²*0,358 +

+ (19 – 4,362)²*0,002 = 33,443.

Среднее квадратическое отклонение:

Список использованной литературы:

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Высшая школа,1998.

2. Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel.Ростов-на-Дону : Феникс, 2002.

3. Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая статистика. Наука, 1979.

4. Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика. ИНФРА-М,1997.