Text_1

Пусть светящаяся точка A находится на оптической оси и удалена в бесконечность. В этом случае пучок лучей A N1 , A N 2 ,

A N3 пройдет параллельно оптической оси. Далее каждый луч пре-

ломляется сначала на первой, а затем на второй сферической поверхности. При этом на выходе из оптической системы все лучи пересекутся в плоскости изображения в одной точке F , которая расположена на оптической оси и называется задним фокусом. Если бесконечно удаленную от линзы точку A поместить в пространство изображений, то аналогично получим точку F , которая называется передним фокусом системы. Плоскости, проходящие через фокусы системы перпендикулярно к оптической оси, называются соответственно передней и задней фокальными плоскостями.

	Если продолжить сопряженные лучи				A N	1	и F N ,	A N	2	и
							1
F N	, A N	3	и F N	, то получим точки 1 ,	2 , 3 , которые опреде-
2			3

ляют положение задней главной плоскости. Аналогично, продолжив

сопряженные лучи из точек F и A , определим положение перед-

ней главной плоскости. Точки H и H , образованные пересечением главных плоскостей с оптической осью системы, называются соответственно передней и задней главными точками. Лучи S и S , проходящие через главные точки, взаимно параллельны и называются главными лучами.

От главных плоскостей отсчитывают фокусные расстояния f и f , а также расстояния до предметов и их изображений. При этом

учитывают правило знаков: если направление отрезка совпадает с направлением хода лучей, то этот отрезок имеет знак «плюс»; не совпадает – знак «минус». Главные плоскости обладают важным свойством: они являются сопряженными, в них объект и его изображение проектируются без искажений, т.е. имеют одинаковую величину и направление. Таким образом, главные плоскости являются началом отсчета отрезков, их используют вместо преломляющих поверхностей при построении и расчетах центрированных оптических систем.

Положение кардинальных точек (плоскостей) можно определить также аналитически, по известным из геометрической оптики формулам:

33

d n 1

SOF f 1

;

(34)

nr2

d n 1

SO F

f 1

;

(35)

nr1

S

f

d n 1

;

(36)

OH

nr2

S

f

d n 1

,

(37)

O H

nr1

где r1 и r2

- радиусы кривизны передней и задней сферических по-

верхностей;

d - толщина линзы;

n - показатель преломления опти-

ческого стекла.

В формулах (35, 37)

заднее фокусное расстояние линзы

f

может быть определено через оптическую силу линзы Ф . Оптической силой линзы (оптической системы) называют величину, обратную заднему фокусному расстоянию. При этом за единицу оптической силы принимается диоптрия – сила линзы, находящейся в воздухе, с задним фокусным расстоянием равным 1 м. Если величину фокусного расстояния выразить в миллиметрах, то оптическая сила в диоптриях будет определяться по формуле

			Ф 1000 f					.				(38)
							мм
Из курсов геометрической оптики известно, что оптическая
сила линзы с задним фокусным расстоянием										f вычисляется по
формуле
	1		1			1			d n 1 2
Ф			n 1								.	(39)
	f		r			r			nr r
			1			2		1		2

Если система находится в однородной среде, например в воздухе, то, как доказано в курсах геометрической оптики, f f .

Приведенные выше формулы могут быть использованы для расчета центрированных оптических систем, состоящих из любых

34

линз (тонких, положительных или отрицательны). Например, для тонкой плоско-выпуклой линзы, находящейся в воздухе и для которой можно принять r2 и d 0 , формулы (34-37) и (39) примут

соответственно следующий вид:

SOF SO F f ;			(40)
SOH SO H 0 ;			(41)
Ф	n 1	.	(42)
	r1

3.2.ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ СОПРЯЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ ЧЕРЕЗ ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Пусть оптическая система, представленная в виде двояковыпуклой линзы задана кардинальными точками H , H , F , F (рис. 22). Построим изображение отрезка PS , длиной l , перпендикулярного к оптической оси и отстоящего от передней главной плоскости на расстоянии a .

Поскольку в главных плоскостях объект и его изображение имеют одинаковую величину и направление, то луч P , параллельный оптической оси, пересечет главные плоскости в точках Q и Q .

В пространстве изображений этот луч пойдет через фокус F по направлению Q F . Другой луч, проходящий через передний фокус

F , изменит свое направление в точке R и пойдет в пространстве изображений параллельно оптической оси. Эти два луча пересекутся в точке P , сопряженной с точкой P . Основание перпендикуляра, опущенного из точки P на оптическую ось, является изображением точки S .

Положение сопряженных точек S и S на оптической оси может быть аналитически определено относительно фокусов системы (отрезками x , x ), либо относительно главных точек системы (отрезками a , a ). При этом полагают, что отрезки a , x известны.

35

		a
P				Q	Q
				M M
l
S		F	O	Н Н	F		S
	x		f		O f	x	l
				R	R
							P
					a
Рис. 22. Построение отрезка, расположенного перпендикулярно оптической оси

Определим положение сопряженных точек относительно фо-

кусов системы. Для этого рассмотрим треугольники SPF ,									FHR ,
H Q F , F S P , из подобия которых следует:
	HR				f			;	(43)
		l			x
		l				x	.		(44)
		QH				f

Исходя из свойства главных плоскостей отрезок HR l , а отрезок

Q H l . Тогда формулы (43) и (44) примут вид:
	l				f				;	(45)
	l					x
		l					x		,	(46)
							f
		l

36

Откуда следует, что	f		x	или в другой записи
	x		f
				xx ff .	(47)

Выражение (47) называется уравнением Ньютона, которое определяет положение сопряженных точек относительно фокусов системы.

Согласно рис.22 имеем

x a f или x a f ;	(48)
x a f .	(49)

Подставляя x и x из формул (48) и (49) в уравнение (47), получаемa f a f ff или (после раскрытия скобок и соответствующих преобразований)

af a f aa .					(50)
Выражение (50) поделим на aa . Окончательно получим
	f		f	1.	(51)
	a		a

Равенство (51) называется уравнением Гаусса, которое определяет положение сопряженных точек относительно главных плоскостей системы. Если принять f f , то уравнение (51) примет вид фор-

мулы отрезков:

	1		1		1	.	(52)
	a		a		f

Соотношения (45) и (46) дают линейное или поперечное увеличение системы

	l		f		x	.	(53)
	l		x		f

37

На рис. 22 показаны произвольные сопряженные лучи SM и

S M , которые пересекают главные плоскости на одинаковых рас-
стояниях от оптической оси HM H M . Из этого рисунка следует
x f tg x f tg .	(54)
После подстановки в уравнение (54) значений x и x	из (53), приве-

дения к одному знаменателю и сокращения на общий множитель l l получим

	fltg f l tg или	tg		fl		.	(55)
		tg		f l

Отношение тангенсов называется угловым увеличением . Если система находится в однородной среде, т.е. f f , то равенство (55) примет вид

l l .	(56)
Тогда с учетом (53) получим
1 или 1 .	(57)

Оптическая система дает также продольное увеличение , которое характеризуется отношением сопряженных отрезков x иx , расположенных на оптической оси. Поскольку продольное увеличение изменяется на разных участках оптической оси, то отрезокx должен стремиться к нулю. Известно, что для систем, находя-

щихся в однородной среде, 2 или, учитывая (57),
.	(58)

В зрительных трубах геодезических приборов продольное увеличение определяет глубину резкости изображения вдоль оптической оси.

При построении изображений, получаемых при помощи линзы, могут иметь место четыре случая, различающиеся положением предмета, которым соответствуют различные положения изображения и его величина.

38

1. Если предмет находится в пространстве предметов на расстоянии от линзы, превышающем двойное фокусное расстояние ( a > 2 f ), то по другую сторону линзы получится действительное,

перевернутое, уменьшенное изображение, расположенное между фокусом линзы и точкой, лежащей от линзы на двойном фокусном расстоянии.

2. Если предмет находится в пространстве предметов между фокусом линзы и точкой, лежащей от нее на двойном фокусном расстоянии ( 2 f > a > f ), то по другую сторону линзы получится дейст-

вительное, перевернутое и увеличенное изображение, расположенное от линзы на расстоянии, превышающем двойное фокусное расстояние.

3. Если предмет находится в пространстве предметов между линзой и ее фокусом ( a < f ), то получится мнимое, прямое и увели-

ченное изображение, находящееся по ту же сторону линзы, что и предмет, и расположенное от линзы на расстоянии большем, чем расстояние от линзы до предмета.

4. Изображение, получаемое при помощи рассеивающей линзы, во всех случаях будет мнимым, прямым и уменьшенным.

3.3. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Для того, чтобы практически приблизить реальные оптические системы к идеальным, в оптических приборах обычно используются не отдельные линзы, а их комбинации, с таким расчетом, чтобы ошибки от одних линз компенсировались ошибками от других.

Систему из двух и более
линз можно заменить одной			Л1					Л 2
эквивалентной	системой.			f1				f2
Свойства эквивалентных сис-			H1						H 2
тем из двух линз при прочих
				F1			F2
равных условиях зависят от
оптического	интервала					e
(рис. 23),
e f1 f 2 ,	(59)	Рис. 23. Схема эквивалентной системы
			из двух положительных тонких линз

39

который определяется расстоянием между задним фокусом F1 первой линзы и передним фокусом F2 второй линзы и расстоянием между линзами e . Знак оптического интервала считается положительным, если F2 находится справа от F1 , и отрицательным, если F2 находится слева от F1 .

Для эквивалентной системы, состоящей из двух положитель-

ных тонких линз, возможны следующие варианты:

e <

f1

f 2

-

система работает как положительная линза;

e >

f1

f 2

- система

работает как рассеивающая линза; e

f1

f 2

или 0 - эквива-

лентное фокусное расстояние системы

f экв и такая система на-

зывается телескопической.

Покажем, что две линзы можно заменить эквивалентной им оптической системой, состоящей из одной линзы. В качестве примера возьмем систему из двух тонких линз (собирательной и рассеивающей), применяемую в телеобъективах зрительных труб с внутренней фокусировкой (рис. 24).

	Л	Л1	Л 2
S	D	А

		C
		B
H	H1	F

F	F	H	2	F1 F2
1	2

e

f

Рис. 24. Схема телеобъектива

40

Главные плоскости тонких линз практически совпадают и являются линией, проходящей через точки пересечения их преломляющих поверхностей. Пусть луч S является лучом, исходящим из бесконечно удаленной точки, расположенной на оптической оси. После преломления линзой Л1 он направляется к заднему фокусу

этой линзы. Однако на пути луча АВ расположена рассеивающая линза Л 2 , после преломления в которой луч проходит через задний

фокус всей системы F . Причем линза Л 2 установлена за линзой Л1 на расстоянии e < f (по условию телеобъектива).

Положение фокуса F определено следующим образом. Через главную точку H2 проведена прямая линия, параллельная лучу AB

ипересекающая заднюю фокальную плоскость линзы Л 2 в точке

С. Продолжение отрезка СВ в положительном направлении определяет положение фокуса F в точке пересечения этого отрезка с оптической осью. Продолжение этого же отрезка CB в отрицательном направлении в точке его пересечения с лучом S определяет положение главной плоскости несуществующей, но эквивалентной по своим оптическим действием тонкой положительной линзы Л . Аналогичными геометрическими построениями можно определить положение переднего фокуса эквивалентной оптической системы.

Вкурсах геометрической оптики приводятся формулы для определения кардинальных точек эквивалентных оптических систем. Например, в общем виде формула определения эквивалентного фо-

кусного расстояния f выглядит следующим образом:

f	f1 f 2	.	(60)

Поскольку e f1 f2 , то, подставляя это значение в (60), получим

f	f1 f 2			,	(61)
	f f	2	e
	1

или, учитывая, что система располагается в воздухе, т.е. f 2 f 2 , выражение (61) примет вид

41

f	f1 f 2			.	(62)
	f	f	e
	1	2

Используя известные расчетные формулы для двух линз, можно получить кардинальные точки для эквивалентной системы с любым числом составляющих линз.

3.4. ДИАФРАГМЫ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Диафрагмы применяют для улучшения качества изображения реальных оптических систем, так как не все лучи, исходящие из предмета, участвуют в формировании его изображения.

Различают апертурные (вещественные) и полевые ограничения. Апертурной называется такая диафрагма, которая больше других диафрагм ограничивает угол раствора пучка лучей, исходящих из точки объекта на оптической оси. На рис. 25 изображена система, содержащая две диафрагмы: BC , расположенную впереди линзы, и оправа самой линзы. Апертурной в данном случае является диафрагма BC .

						Диафрагма или ее изо-
		B				бражение, которые видны из
						точки A под передним апер-
	A	B				турным углом 2 A , называ-
			H	2 A	A	ется входным зрачком,			а изо-
		2 A
		C				бражение	входного		зрачка
						всей системы, видимое из
		C				точки A под задним			апер-
	Рис. 25. Апертурная диафрагма					турным	углом,	называется
						выходным зрачком.
		Полевой называется диафрагма, которая больше других огра-
	ничивает поперечные размеры изображаемых объектов. Телесный
	угол, под которым можно видеть пространство предметов в систему
	при ее неподвижном положении, называется углом поля системы. В
	трубах геодезических приборов полевую диафрагму устанавливают
	в передней фокальной плоскости окуляра при наведении трубы на
	бесконечность. Такая полевая диафрагма является диафрагмой сетки

42