Апроксимация функции в MathCAD

Аппроксимация функций с помощью MathCAD

КПРАКТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ

1.Линейная регрессия

Линейная регрессия в системе Mathcad выполняется по векторам аргумента Х и от-

счетов Y функциями:

intercept(X,Y) – вычисляет параметр а1, смещение линии регрессии по

вертикали;

slope(X,Y) – вычисляет параметр a2, угловой коэффициент линии регрессии.

Полученные значения коэффициентов используем в уравнении регрессии y(x) = a1+a2*x.

Функция corr(Y,y(x)) вычисляет коэффициент корреляции Пирсона. Чем он ближе к 1, тем точнее обрабатываемые данные соответствуют линейной зависимости.

2. Полиномиальная регрессия

Одномерная полиномиальная регрессия с произвольной степенью n полинома с произвольными координатами отсчетов в Mathcad выполняется функциями:

regress(X,Y,n) – вычисляет вектор S, в составе которого находятся коэффици-

енты ai полинома n-й степени;

Значения коэффициентов ai могут быть извлечены из вектора S функцией submatrix(S, 3, length(S)-1, 0, 0).

Полученные значения коэффициентов используем в уравнении регрессии y(x) = a1+a2*x+a3*x2.

3. Нелинейная регрессия

Для простых типовых формул аппроксимации предусмотрен ряд функций нелиней-

ной регрессии, в которых параметры функций подбираются программой Mathcad.

К их числу относится функция expfit(X,Y,S), которая возвращает вектор, со-

держащий коэффициенты a1, a2 и a3 экспоненциальной функции y(x) = a1·exp(a2·x) + a3.

В вектор S вводятся начальные значения коэффициентов a1, a2 и a3 первого приближения.

Пример расчетов в среде MathCAD

Исходные данные:

					0	16
					0.4	20
				0.7		25.5
					1	34
					1.5	40.7
		m
						49		x m	0	y m		1
				1.9
					2.5	60
				2.9		69.6
				3.6		89
				4.3		98.3
		0									0
	0	0								0	16
	1	0.4								1	20
	2	0.7								2	25.5
x	3	1							y	3	34
	4	1.5								4	40.7
	5	1.9								5	49
	6	2.5								6	60
	7	2.9								7	69.6
	8	3.6								8	89
	9	4.3								9	98.3

Линейная регрессия:

a1	intercept(x y)
a1	12.665
a2	slope(x y)
a2	19.971
f(x) a1	a2 x	corr(y f(x)) 0.997

100

y

f(x) 50

0

0

2

4

6

x

Полиномиальная регрессия (n=2):
s regress(x y 2)
coeff submatrix(s 3 length(s)				1 0 0)
A coeff
a1 A0		a1 14.494
a2 A1		a2 16.96
a3 A2		a3 0.714
f(x) a1	a2 x a3 x2		corr(y f(x)) 0.998
	150
y	100
f(x)	50
	0	2	4	6
	0
		x

Экспоненциальная регрессия (n=2):
1
s 1
1
				169.694
A expfit(x y s)			A		0.095
				154.614
a1 A0		a1 169.694
a2 A1		a2 0.095
a3 A2		a3 154.614
f(x) a1 ea2 x a3			corr(y f(x)) 0.997
		150
	y	100
	f(x)
		50
		0	2		4	6
		0
				x

Вывод: сравнивая результаты вычислений, можно сделать вывод, что самый высокий коэффициент детерминированности (корреляции) – в случае полиноми-

альной регрессии второй степени (0.998).

Следовательно, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описы-

вает экспериментальные данные.