Средняя квадратичная ошибка.

При ответственных измерениях, когда необходимо знать надежность полученных результатов, используется средняя квадратичная ошибка  (или стандартное отклонение), которая определяется формулой

(5)

Величина  характеризует отклонение отдельного единичного измерения от истинного значения.

Если мы вычислили по n измерениям среднее значение по формуле (2), то это значение будет более точным, то есть будет меньше отличаться от истинного, чем каждое отдельное измерение. Средняя квадратичная ошибка среднего значения равна

(6)

где  - среднеквадратичная ошибка каждого отдельного измерения, n – число измерений.

Таким образом, увеличивая число опытов, можно уменьшить случайную ошибку в величине среднего значения.

В настоящее время результаты научных и технических измерений принято представлять в виде

(7)

Как показывает теория, при такой записи мы знаем надежность полученного результата, а именно, что истинная величина Х с вероятностью 68% отличается от не более, чем на .

При использовании же средней арифметической (абсолютной) ошибки (формула 2) о надежности результата ничего сказать нельзя. Некоторое представление о точности проведенных измерений в этом случае дает относительная ошибка (формула 4).

При выполнении лабораторных работ студенты могут использовать как среднюю абсолютную ошибку, так и среднюю квадратичную. Какую из них применять указывается непосредственно в каждой конкретной работе (или указывается преподавателем).

Обычно если число измерений не превышает 3 – 5, то можно использовать среднюю абсолютную ошибку. Если число измерений порядка 10 и более, то следует использовать более корректную оценку с помощью средней квадратичной ошибки среднего (формулы 5 и 6).

Учет систематических ошибок.

Увеличением числа измерений можно уменьшить только случайные ошибки опыта, но не систематические.

Максимальное значение систематической ошибки обычно указывается на приборе или в его паспорте. Для измерений с помощью обычной металлической линейки систематическая ошибка составляет не менее 0,5 мм; для измерений штангенциркулем –

0,1 – 0,05 мм; микрометром – 0,01 мм.

Часто в качестве систематической ошибки берется половина цены деления прибора.

На шкалах электроизмерительных приборов указывается класс точности. Зная класс точности К, можно вычислить систематическую ошибку прибора ∆Х по формуле

где К – класс точности прибора, Х_пр – предельное значение величины, которое может быть измерено по шкале прибора.

Так, амперметр класса 0,5 со шкалой до 5А измеряет ток с ошибкой не более

Погрешность цифрового прибора равна единице наименьшего индицируемого разряда.

Среднее значение полной погрешности складывается из случайной и систематической погрешностей.

Ответ с учетом систематических и случайных ошибок записывается в виде

Погрешности косвенных измерений

В физических экспериментах чаще бывает так, что искомая физическая величина сама на опыте измерена быть не может, а является функцией других величин, измеряемых непосредственно. Например, чтобы определить объём цилиндра, надо измерить диаметр D и высоту h, а затем вычислить объем по формуле

Величины D и h будут измерены с некоторой ошибкой. Следовательно, вычисленная величина V получится также с некоторой ошибкой. Надо уметь выражать погрешность вычисленной величины через погрешности измеренных величин.

Как и при прямых измерениях можно вычислять среднюю абсолютную (среднюю арифметическую) ошибку или среднюю квадратичную ошибку.

Общие правила вычисления ошибок для обоих случаев выводятся с помощью дифференциального исчисления.

Пусть искомая величина φ является функцией нескольких переменных Х, У, Z…

φ(Х, У, Z…).

Путем прямых измерений мы можем найти величины , а также оценить их средние абсолютные ошибки … или средние квадратичные ошибки _Х, _У, _Z…

Тогда средняя арифметическая погрешность  вычисляется по формуле

где  - частные производные от φ по Х, У, Z. Они вычисляются для средних значений …

Средняя квадратичная погрешность вычисляется по формуле

Пример. Выведем формулы погрешности для вычисления объёма цилиндра.

а) Средняя арифметическая погрешность.

Величины D и h измеряются соответственно с ошибкой D и h.

Погрешность величины объёма будет равна

б) Средняя квадратичная погрешность.

Величины D и h измеряются соответственно с ошибкой _D, _h.

Погрешность величины объёма будет равна

Если формула представляет выражение удобное для логарифмирования (то есть произведение, дробь, степень), то удобнее вначале вычислять относительную погрешность. Для этого (в случае средней арифметической погрешности) надо проделать следующее.

1. Прологарифмировать выражение.

2. Продифференцировать его.

3. Объединить все члены с одинаковым дифференциалом и вынести его за скобки.

4. Взять выражение перед различными дифференциалами по модулю.

5. Заменить значки дифференциалов d на значки абсолютной погрешности .

В итоге получится формула для относительной погрешности

Затем, зная , можно вычислить абсолютную погрешность 

 = 

Пример.

Аналогично можно записать относительную среднюю квадратичную погрешность

Правила представления результатов измерения следующие:

1. погрешность должна округляться до одной значащей цифры:

правильно  = 0,04,

неправильно -  = 0,0382;

2. последняя значащая цифра результата должна быть того же порядка величины, что и погрешность:

правильно  = 9,830,03,

неправильно -  = 9,8260,03;

3. если результат имеет очень большую или очень малую величину, необходимо использовать показательную форму записи - одну и ту же для результата и его погрешности, причем запятая десятичной дроби должна следовать за первой значащей цифрой результата:

правильно -  = (5,270,03)10^-5,

неправильно -  = 0,00005270,0000003,

 = 5,2710^-50,0000003,

 = = 0,0000527310^-7,

 = (5273)10^-7,

 = (0,5270,003) 10^-4.

4. Если результат имеет размерность, ее необходимо указать:

правильно – g=(9,820,02) м/c²,

неправильно – g=(9,820,02).