ФИЗИКА3 БОЛЬШЕ ГОТОВОГО1 / 1-st / Механика / 10 / lab.10_fizik

Министерство общего и профессионального образования РФ

Санкт – Петербургский государственный горный институт

имени Г.В. Плеханова (технический университет)

Кафедра общей и технической физики СПГГИ (ТУ)

отчет

по лабораторной работе №10

Определение момента инерции с помощью маятника Обербека

Выполнил: Строганов А.Л., студент группы ПГ-02

Проверил: Мезенцев А.П.

САНКТ - ПЕТЕРБУРГ

2003

Цель работы - исследовать зависимость момента инерции крестовины с надетыми на нее грузиками от распределения массы относительно оси вращения, проходящей через центр масс.

Общие сведения

В основе эксперимента лежит основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

                             (1)

где М - суммарный момент внешних сил, приложенных к телу относительно оси вращения; J - момент инерции тела относительно той же оси;  - угловое ускорение.

В динамике вращательного движения различают два понятия: момент силы относительно точки и момент силы относительно оси вращения.

Момент силы относительно точки О определяется как векторное произведение

,

где - сила, - радиус-вектор, проведенный из точки О, в точку приложения силы.

Момент силы относительно оси вращения есть проекция на произвольную ось z, которая проходит через точку О:

.

Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому как масса тела является мерой инертности тела при поступательном движении. Момент инерции тела зависит от распределения массы тела относительно оси вращения. Для вычисления момента инерции твердого тела относительно данной оси разобьем мысленно тело на большое число весьма малых элементов - материальных точек (рис.1). Тогда момент инерции тела

или

,

где m_i - масса элемента; r_i - расстояние от элемента до оси вращения;  - плотность вещества в элементе объема dV, находящегося на расстоянии r от оси вращения. Таким образом, задача нахождения момента инерции сводится к интегрированию.

Из формулы (1) следует, что угловое ускорение  вращающегося тела прямо пропорционально моменту внешних сил М и обратно пропорционально моменту инерции J. Следует подчеркнуть, что момент инерции не зависит ни от момента внешних сил М, ни от углового ускорения.

Рис.1

Маятник Обербека состоит из крестовины, на стержнях которой находятся грузы. Они могут перемещаться по стержням и закрепляться в нужном положении (см. рисунок 2 ). Крестовина с грузами насажена на вал, на котором укреплены два шкива различного радиуса. На шкив намотана нить, которая переброшена через блок. К ее концу привязана гирька, момент силы тяжести которой уравновешивает момент сил трения (вес этой гирьки в расчетах не учитывается).

К концу нити подвешивают груз массой m, под действием силы тяжести которого система приводится в движение. На груз действует сила тяжести P=mg и сила натяжения F, поэтому на основании второго закона Ньютона можно записать

                                  (2)

где g - ускорение свободного падения; а - ускорение, с которым движется груз.

Крестовина приходит во вращательное движение под действием момента силы натяжения

М = Fr_о ,                                     (3)

где r_о - радиус шкива.

Из уравнений (1)-(3) можно получить

,                                 (4)

Рис.2

Так как угловое ускорение связано с ускорением а соотношением  = а/r₀ , то формулу (4) можно записать в виде

,                                 (5)

где а = 2h/t²; h - путь, пройденный грузом за время t.

Таким образом,

.                             (6)

Из теоретических соображений следует, что момент инерции крестовины с четырьмя грузами массой , если считать грузы материальными точками

                                    (7)

где J₀ - момент инерции тела при r = 0.

Из формулы (7) следует, что J = f(r²). Следовательно, если построить график этой функции в координатах J - r², то должна получиться прямая, продолжение которой будет пересекать оси ординат в некоторой точке, соответствующей J₀. Такое построение можно сделать приближенно, «на глаз». Однако математические методы обработки результатов наблюдения позволяют сделать такое построение достаточно точным. Наиболее просто это можно сделать, с помощью метода наименьших квадратов, вычислив J₀ и .

Для удобства перепишем формулу (7) в виде

,                                   (8)

где r² = х и 4m' = b. Метод наименьших квадратов позволяет найти J₀ и b:

                 (9)

где число опытов; J_i - экспериментальное значение момента инерции J_э,

Рассчитав J₀ и b по формулам (9), следует построить зависимость J от x по формуле (8). Так как через две точки можно провести только одну прямую, то для построения этой прямой можно взять какие-нибудь две удобные точки. Далее по формуле (8) рассчитать момент инерции J_p для каждого опыта, заполняя последний столбец табл.1.

Среднее квадратическое отклонение

.

По данным опыта и расчетов следует построить график функции в координатах J - r² (8), полученный методом наименьших квадратов.

	r	t		m	r0	h	r^2	JЭ	JP
1	0,24	8,81 8,37 8,48	8,56	0,053	0,04	0,4	0,058	0,076	-2,485
2	0,2	7,46 7,41 7,43	7,43	0,053	0,04	0,4	0,040	0,057	-0,977
3	0,16	6,25 6,54 6,29	6,36	0,053	0,04	0,4	0,026	0,042	0,257
4	0,12	5,18 4,75 5,05	4,98	0,053	0,04	0,4	0,014	0,026	1,216
5	0,08	4,03 4,08 3,95	4,02	0,053	0,04	0,4	0,006	0,017	1,902

График зависимости Jэ от r²

График зависимости Jp от r²

Таблица 1. Вычисление экспериментального значения момента инерции Jэ

r	t	m	r0	h	g	r^2	Jэ	n
0,24	8,56	0,053	0,04	0,4	9,8	0,058	0,076	5
0,2	7,43	0,053	0,04	0,4	9,8	0,040	0,057
0,16	6,36	0,053	0,04	0,4	9,8	0,026	0,042
0,12	4,98	0,053	0,04	0,4	9,8	0,014	0,026
0,08	4,02	0,053	0,04	0,4	9,8	0,006	0,017

Таблица 2. Вычисление Jр по методу наименьших квадратов (МНК)

Xi	Ji	XiJi	Xi*Xi		Jo	b	Jр(МНК)	s
0,144	0,218	0,362	0,006	-0,021	2,45	-85,682	-2,485	2,053
							-0,977
							0,257
							1,216
							1,902

Вывод: Я исследовал зависимость момента инерции крестовины с надетыми на нее грузиками от распределения массы относительно оси вращения, проходящей через центр масс.

6