II Электронная теплоемкость

Металл для газа свободных электронов представляет собой трехмерную потенциальную яму. Поскольку электроны имеют спин равный 1/2 и подчиняются статистике Ферми-Дирака, т.е. для них справедлив принцип Паули, то при Т=0 К все состояния с энергиями ниже некоторой, называемой энергией Ферми E_F, заняты, причем на каждом уровне может быть не более двух электронов. Положение уровня Ферми зависит от концентрации свободных электронов:

При температурах T>0 К уровень Ферми сдвигается в соответствие с формулой

.

Однако этот сдвиг очень мал (при Т=300К отличие от Т=0 К составляет лишь 0,002%) и можно считать, что положение уровня Ферми в металлах с температурой не изменяется.

При повышении температуры электроны должны увеличить свою энергию на kT, что соответствует переходу в состояния с более высокой энергией. Так как состояния ниже уровня Ферми заняты, то основная часть электронов не может изменить свою энергию и лишь их малое количество с энергиями вблизи энергии Ферми может перейти на вышележащие уровни энергии. Эта часть составляет примерно 2kT/E_F. Поэтому энергия электронов единицы объема должна быть порядка

,

а электронная часть теплоемкости

где n – концентрация свободных электронов в металле. Для одного моля электронов n=N_A и

Более аккуратный расчет дает вместо коэффициента 3 величину π²/2:

.

Поскольку энергия Ферми E_F в металлах практически не зависит от температуры, концентрация свободных электронов n также изменяется слабо, то электронная теплоемкость металла оказывается прямо пропорциональной температуре C_эл ~ T.

Вклад подсистем металла в теплоёмкость модно оценить по отношению C_ф/С_эл , которое при комнатных температурах и выше имеет порядок E_F/kT. Энергия Ферми при типичной концентрации свободных электронов в металле 5·10²⁸ м^-3 равна 5 эВ, тепловая энергия kT≈0,025 эВ. Поэтому C_ф/С_эл ~ 200, т.е. теплоемкость металлов при комнатной температуре и выше определяется теплоемкостью кристаллической решетки. Однако при низких температурах в силу линейной зависимости С_эл от температуры она может стать доминирующей. Обычно решеточная и электронная теплоемкости сравниваются при температуре в несколько Кельвинов.

Порядок выполнения работы

1. Получить у преподавателя металлы для исследования.

2 Измерение теплоемкости металлов.

• а) Налить воду в стеклянный стакан и поставить на плитку, включить плитку. Осторожно, плитка нагревается до температуры ~100 ºС.

• б) Связанные вместе два образца первого металла взвесить на весах, предварительно убрав защитную пластину с весов, записать m_Me.

• в) поместить связку металлов в кипящую воду и оставить там примерно на 10 минут для полного прогрева металла;

• г) вынуть металлический стакан из калориметра и взвесить его m_ст1, налить туда холодной воды ~200 г и взвесить стакан с водой m_ст2, по разности m_ст2 и m_ст1 найти массу воды в калориметре m_в ;

• д) вставить металлический стакан в калориметр и установить термометр, записать в табл.1. изменение температуры воды от времени в течение 5 мин. с шагом 1 мин.

• е) вынуть связку металлов из кипящей воды и быстро поместить ее в калориметр; записать температуру калориметра непосредственно перед тем, как положить туда образец tº_k1, и сразу после того tº_k2; выключить плитку;

• ж) записать в табл.1. изменение температуры калориметра во времени сначала в течение 5 мин с шагом 0,5 мин., а затем до 20 мин с шагом 5 мин.

Табл.1.

	t, мин	tº, ºС
без металла	1
	2
	….
	5	tºk1
с металлом	5	tºk2
	5,5
	6,0
	…….
	10
	15
	20

• з) повторить пункты б)-ж) для второго металла.

3. Обработка результатов измерений.

а) По данным табл.1 построить график зависимости tº_k от времени (рис.2).

tº, ºС

tº_k2

tº_k1

5

t, мин

Рис.2. Зависимость температуры калориметра от времени.

б) Из уравнения теплового баланса

следует выражение для расчета теплоемкости металла

,

где c_в =4,187 Дж/(г К)– удельная теплоемкость воды, tº_кип=100 ºС– температура кипения воды, С_k=66±1 Дж/К – теплоемкость калориметра, где tº_k1, tº_k2 – температура калориметра до и после внесения металла.

Рассчитать теплоемкость металлов и поместить данные в табл.2.

Табл. 2.

Металл	mMe, г	mв, г	с, Дж/(г К)	Сμ, , Дж/(г К)	С/С∞