§ 3.4. Предельный переход в неравенствах

 Теорема 3.4.1. Если функция имеет предел при , равныйА и в некоторой проколотой окрестности точки a принимает неотрицательные значения, то .

Доказательство. Будем доказывать методом от противного.

Допустим, что. Возьмем. Тогда

откуда

Получаем, что для любого из пересечения проколотых окрестностейиодновременно выполняются неравенстваи. Тем самым мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

 Теорема 3.4.2.Если для двух функций и , имеющих пределы, соответственно, и, в некоторой проколотой окрестности выполняется неравенство, то.

Доказательство. Обозначим . При этом для любоговыполнено неравенство . По теореме 3.4.1 имеем , т.е.. Теорема доказана. 

Замечание: Эти две теоремы означают, что при переходе к пределу сохраняется нестрогое неравенство.

Замечание: строгое неравенство между функциями может не сохраниться для пределов этих функций. Например, для функций ,  в любой выполняется неравенство , т.е.. Однако,

Теорема 3.4.3 (Теорема о “зажатой” переменной). Если выполняется неравенство, и если, то

Доказательство. Для доказательства данной теоремы докажем лемму:

Лемма 3.4.1. Если выполняется неравенство, и если, то и .

Доказательство. Требуется доказать, что: . Дано:.Выберем число таким, что, а также удовлетворяющим неравенству, из которого следует, что.Тогда для всехвыполнены неравенства, что означает, что. Лемма доказана.

Перейдем к доказательству теоремы и обозначим . При этом удовлетворяют условиям леммы.

Далее, и, по лемме, . Наконец, при (так как и

Таким образом, теорема доказана.

§ 3.5. Односторонние пределы. Пределы при стремлении к бесконечности

Определение 3.5.1. Если , то говорят, что существует предел функциипри стремлении х к а справа и обозначают это так: . Аналогично, если выполнено неравенство, , то говорят, что существует предел функциипри стремлении х к а слева и обозначают это так: .

Теорема 3.5.1. Функция имеет при предел, равный, тогда и только тогда, когда он имеет пределы при стремлениих к а справа и слева, причем оба эти пределы равна А.

Доказательство

Если , то . Поскольку из неравенств иследует неравенство ,справедливы равенства и .

Обратно, тогда и только тогда, когда , а тогда и только тогда, когда .

Положим . Тогда если , то

либо , либо

И в том, и в другом случае , т.е. .

Замечание. Разумеется, для пределов справа и слева верны все теоремы об арифметических свойствах предела и о предельном переходе в неравенствах.

Определение 3.5.2. Если ,то говорят, что существует предел функциипри стремлении х к плюс-бесконечности и обозначают это так

Если ,то говорят, что существует предел функциипри стремлении х к минус-бесконечности и обозначают это так

Если ,то говорят, что существует предел функциипри стремлении х к бесконечности и обозначают это так

Замечание. Разумеется, для пределов при стремлении к бесконечности, перечисленных в определении 3.5.2, верны все теоремы об арифметических свойствах предела и о предельном переходе в неравенствах.

Замечание. Обратите внимание на сходство определений предела функкции при стремлении к плюс-бесконечности и предела числовой последовательности.