§2.5. Верхняя и нижняя грани

Определение 2.5.1. Множество ограничено сверху, если существует такое число , что для всехвыполняется неравенствоПри этом числоназываетсяверхней границей или гранью множества . Множество ограничено снизу, если существует такое число , что для всехвыполняется неравенство. При этом числоназывается нижней границей или гранью множества .

Легко видеть, что если множество ограничено сверху (снизу), то любое число, большее(меньшее) тоже будет его верхней (нижней) границей.

Определение 2. 5.2. Если множество ограничено сверху, то наименьшая из его верхних граней называетсяточной верхней гранью и обозначается.

Следует доказать, что наименьшая среди верхних граней действительно существует – не всякое ограниченное снизу множество имеет наименьший элемент. Например, множество чисел, лежащих в интервале (0,1) ограничено снизу, например, числом 0, но не имеет наименьшего элемента.

Теорема 2.5.1. Если множество A ограничено сверху, то существует точная верхняя грань этого множества.

Доказательство. Выберем множество таким, что для всех и для всехвыполняется неравенство(т.е. – это множество всех верхних граней множества ). Докажем, что множество имеет наименьший элемент. По аксиоме отделимости из параграфа 2.4, существует такое число , что что для всех и для всехвыполняются неравенства. Так как для всехимеем, числоявляется верхней граньюмножества . Так как для всех выполняется неравенство, число – наименьшее среди элементов множества . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Определение 2. 5.3.Если множество ограничено снизу, то наибольшая из его нижних граней называетсяточной нижней гранью и обозначается.

Теорема 2.5.2 Если множество A ограничено снизу, то существует точная нижняя грань этого множества.

Доказательство . Доказательство можно провести двумя способами.

1 способ. Выберем множество таким, что для всех и для всехвыполняется неравенство(т.е. – это множество всех нижних граней множества ). Докажем, что множество имеет наибольший элемент. По аксиоме отделимости из параграфа 2.4, существует такое число , что что для всех и для всехвыполняются неравенства. Так как для всехимеем, числоявляется нижней граньюмножества . Так как для всех выполняется неравенство, число – наименьшее среди элементов множества . Таким образом, , что и требовалось доказать.

2 способ. Определим множество -A так: . ЕслиA ограничено снизу, то -A ограничено сверху, поэтому , кроме того,.

§2.6. Стягивающиеся отрезки

Определение 2.6.1. Система отрезков называется вложенной, если .

Теорема 2.6.1. Любая вложенная система отрезков имеет хотя бы одну общую для всех отрезков точку, т.е. : . Иными словами, : или.

Доказательство. Выберем множества илевых и правых концов системы отрезков, так, что,. Для того чтобы применить аксиому отделимости, необходимо доказать, чтовыполняются неравенства. Выберемm так, что. Тогда,. Значит,: , полагая, получим:. Таким образом,c - общая для всех отрезков точка. Теорема доказана.

Определение 2.6.2. Система отрезковназывается стягивающейся системой отрезков, если длины этих отрезков стремятся к 0 при , т.е. .

Теорема 2.6.2. Общая точка стягивающейся системы отрезков единственна.

Доказательство. Допустим, что есть 2 общие точки и пустьТогдапри всех отрезоксодержится в отрезкеи, следовательно, Возьмем. По определению стягивающейся системы отрезков найдется такоечисло , что для любого выполняется неравенство.

Таким образом, для любого выполняются неравенства ,

откуда следует, что . Тем самым, мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

 Замечания:

1. Точка c является точной верхней гранью множества левых отрезков и точной нижней гранью множества правых концов этих отрезков.

2. Дадим упрощённое «бытовое» объяснение этих теорем. Представьте себе, что концы отрезков представляют собой измерения некоторой величины «по недостатку» и «по избытку». Тогда теорема означает, что результаты измерения стремятся к точному значению этой величины. Казалось бы, это утверждение - очевидное само по себе. Однако эта очевидность лишь демонстрирует очевидность аксиомы отделимости для действительных чисел. Кроме того, всё не так просто! См. следующее замечание!

3. То, что мы рассматриваем систему именно отрезков, существенно! Вложенная система интервалов может не иметь общую точку, как показывает следующий пример.

Пример: Рассмотрим У этих интервалов нет общей точки – докажем это от противного. Если бы общая точкабыла, то она принадлежала бы первому интервалу, т.е.,. Выберем числотак, чтобы, т.е.. Тогдавопреки предположению.