26

2.1.2. Количество теплоты и теплоемкость

Теплота, как и работа, не является функцией состояния, а зависит от процесса изменения состояния системы. Поэтому элементарное количество

теплоты тоже обозначается частным дифференциалом δQ. В системе СИ теплота, как и другие виды энергии, измеряется в джоулях (Дж). На практике широкое распространение имеет и другая единица теплоты - калория (кал). Калория - это количество теплоты, необходимое для нагревания одного грамма воды на один градус. Одна калория составляет 4,18 джоуля:

1кал=4,18 Дж.

Спонятием теплоты тесно связано понятие теплоемкости. Теплоемкостью тела называется величина, равная количеству теплоты, которое надо сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один градус. Если к телу

подведено некоторое количество теплоты δQ, в результате чего температура его увеличилась на dT, теплоемкость тела Cтела равна:

Стела =	δQ	.	(2.3)
	dT

В СИ теплоемкость тела измеряется Дж/К.

Если тело однородно, то используются понятия удельной теплоемкости c и молярной теплоемкости C.

Удельной теплоемкостью c называется теплоемкость единицы массы вещества. Значит, если масса тела равна m, то удельная теплоемкость равна

c=Cтела/m. В СИ c измеряется в Дж/(кг К).

Молярной теплоемкостью С называется теплоемкость одного моля вещества. Она измеряется в Дж/(моль К). Поскольку моль содержит массу

вещества, равную молярному весу µ, можно написать связь молярной и удельной теплоемкостей:

С=µс

(2.4)

Удобство введения понятий удельной и молярной теплоемкостей объясняется тем, что эти величины не зависят от массы тел, а определяются лишь свойством материала3, что облегчает составление таблиц. Если известна молярная или удельная теплоемкости процесса, элементарное количество теплоты можно подсчитать по формулам:

δQ = m c dT , или δQ =	m	C dT .	(2.5)
	µ

2.1.3. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам в идеальном газе

Для равновесных процессов, протекающих в газах, элементарная работа, производимая газом против внешних сил, состоит в работе расширения (2.1), поэтому первое начало термодинамики может быть записано в виде:

δQ=dU+pδV

3 Иногда теплоемкость существенно зависит также от характера процесса, сопровождающего теплообмен. Например, в случае газа различают теплоемкости процессов при постоянном давлении и постоянном объеме. Эти вопросы мы скоро подробно обсудим.}

27

Изохорный процесс (V=const). В этом случае, как уже отмечалось, работа, совершаемая газом против внешней силы, равна нулю. Первое начало термодинамики для изохорного процесса примет вид:

δQ=dU (2.7)

Таким образом, в изохорном процессе вся теплота, подведенная к газу, идет на увеличение его внутренней энергии. Используя уравнение (2.5), выразим изменение теплоты δQ через изменение температуры dT

δQ = mµ Cυ dT ,

где Сυ - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Согласно (2.7) приращение внутренней энергии при этом процессе примет вид:

dU =	m	Cυ dT , или	dU	=	m	Cυ .	(2.8)
	µ		dT		µ

С другой стороны ранее было получено выражение для внутренней энергии идеального газа в зависимости от числа i степеней свободы

составляющих его молекул: U=i mRT/(2µ). Продифференцировав это соотношение по T, получим формулу:

dU	=	im	R ,	(2.9)
dT		2µ

сравнивая которую с (2.8), получим выражение для Cυ:

Сυ	= iR	(2.10)
	2

Таким образом, молярная теплоемкость при постоянном давлении для идеального газа не зависит от термодинамических параметров, а определяется характером газа (числом степеней свободы молекул).

Изобарный процесс (p=const). Примером изобарного процесса может служить процесс теплообмена с газом, находящимся в цилиндре под поршнем (рис.2.1), нагруженным постоянной внешней силой. В соответствии с (2.2) работа, совершаемая газом против внешней силы, равна:

Ар=р (V2-V1)

(2.11)

и может быть найдена как площадь фигуры под линией изобары, которая в координатах (p,V) имеет вид прямоугольника. Уравнение первого начала

термодинамики для изобарного	процесса имеет вид (2.6), в котором давление
следует считать постоянным.
Если обозначить через Ср		молярную теплоемкость газа процесса,
протекающего при постоянном давлении, то согласно (2.5) выражение для
притока тепла при изобарическом нагревании можно записать в виде:
δQ = m C p dT .			(2.12)
		µ
Приравнивая правые части соотношений (2.6) и (2.12), получим:
m C	p	dT = dU + p dV
µ

и делением обеих частей равенства на m dT/µ преобразуем эту формулу к виду:

28

	C p =	µ dU		+	µ	p dV .	(2.13)
		m dT			m
						dT

Значение производной dU/dT, входящей в правую часть полученного равенства, можно подставить из формулы (2.9). При вычислении dV/dT можно

воспользоваться уравнением состояния pV=m/µ RT, но необходимо помнить, что процесс изобарический (p=const). В результате dV/dT=mR/(µp) и выражение (2.13) перейдет в следующее:

Сp=Cυ+R

(2.14)

Это соотношение называется уравнением Майера. Из него следует, что теплоемкость при изобарическом нагревании всегда больше такого же

процесса, происходящего при постоянном объеме (Ср>Cυ). Уравнение Майера справедливо в случае идеального газа, но вывод, что (Ср>Cυ) имеет место в случае любых газов и многих других систем. Он обязан способности тел расширяться при нагревании. При изохорном нагревании подведенная теплота идет только на увеличение внутренней энергии системы, а при изобарном процессе дополнительно затрачивается на работу, производимую телом при его расширении против сил внешнего давления. Поэтому для нагревания на один градус в изобарическом процессе требуется затратить большее количество тепла, а процесс имеет большую теплоемкость.

Таким образом, молярная теплоемкость Cр идеального газа в процессе изобарического нагревания тоже не зависит от термодинамических параметров:

Сp = Cυ + R =		i + 2	R	(2.15)
	2
и количество теплоты при изобарном нагревании от температуры T1 до T2
может быть подсчитано как:
Qp = m C p (Tp −T1 ) .
µ
Изотермический процесс (T=const). Согласно первому началу
термодинамики для любого процесса справедливо:
Q=∆U+A
Для идеального газа внутренняя		энергия U$		определяется его
температурой T, следовательно для изотермического процесса (поскольку ∆T=0
и ∆U=0) первое начало дает:
QT=A.				(2.16)
Таким образом, при изотермическом процессе вся подведенная теплота
расходуется на совершение работы газа.	При этом подвод тепла не приводит к

изменению температуры газа. Теплоемкость газа в таком процессе бесконечна (CТ=∞). Действительно, какое бы ни было большое количество тепла подведено к газу, изменить его температуру (даже на один градус) не удастся (поскольку

T=const).

Найдем работу расширения газа при изотермическом процессе. В соответствии с формулой (2.2)

V2

A = ∫p dV .

V1