НУ

Решение нелинейных алгебраических уравнений

II курс, 2 семестр, 2014

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Дано нелинейное алгебраическое уравнение F(x)=0

Решить уравнение: найти такое x* R: F(x*)=0.

Значение x* называют корнем уравнения.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

y

y=F(x)

x1*	x *	x3* x
	2

Корнями уравнения являются точки x1*, x2*, x3*, в которых функция F(x) пересекает ось x.

УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ КОРНЯ

на отрезке [a,b]

ЕСЛИ: F(x) непрерывна, F(a) F(b)<0 (т.е. на концах интервала функция имеет разные знаки).

ТОГДА: внутри отрезка [a, b] существует хотя бы один корень уравнения F(x)=0.

Условие единственности корня на отрезке [a,b]:

•Корень будет единственным, если F (x) не меняет знак на отрезке [a, b] (т.е. F(x) – монотонная функция)

•Отрезок [a,b], на котором существует единственный корень уравнения - интервал изоляции

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ

•точные (аналитические) → конечное число действий

•приближенные (итерационные) → процесс нахождения решения бесконечен

Приближенным решением называется бесконечная последовательность {xn}, такая, что

lim xn x*

n

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ:	lim xn x*
	n

Предел: (сколь угодно малого), найдется такое N, что при n > N, |xn – x*|< .

xn - последовательные приближения, или итерации.

Заданное малое число - точность метода,

N – количество итераций, которое необходимо выполнить, чтобы получить решение с точностью .

ОБЩИЕ ЭТАПЫ

РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

Задать начальное приближение x0

Найти следующее приближение

xn+1= (xn, xn—1, …, x1, x0)

Не Выполвыполнено нено

Условие

точности

решения

Итерационный цикл

ПРОВЕРКА ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЯ:

1.|xn–x*|<

2.F(xn) <

3.|xn+1–xn|<

Прежде, чем решать уравнение приближенно, его надо исследовать, т.е. найти количество корней и их расположение (начальное приближение)

СПОСОБЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ:

• АНАЛИТИЧЕСКИЙ:
поиск экстремумов функции F(x), участков
возрастания и убывания, поведение на
•ГРАФИЧЕСКИЙ:
построение графика функции F(x) и
определение интервалов, на которых F(x)
меняет знак
1
y
0.5		F(a)
0		x*	b	x
2.5	a	3	3.5	4
		F(b)
-0.5
•ТАБЛИЧНЫЙ : построение таблицы x, F(x) и
определение интервалов смены знака F(x)

x	F(x)
-10	-1619
-9	-1231
-8	-909
-7	-647
-6	-439
-5	-279
-4	-161
-3	-79
-2	-27
-1	1
0	11
1	9
2	1
3	-7
4	-9
5	1
6	29
7	81
8	163
9	281
10	441

Графический метод отделение корней нелинейного уравнения

Построим график функции и найдем интервалы изоляции

ПРИМЕР 1: Дано алгебраическое уравнение

2
2
1
0
f(x)
1
3 2
3	2	1
3			0	1	2
3			x		2

x3 3x2 3 0

Интервалы изоляции:

[-3, -2] [-2. -1], [0, 1]

Уточнение корней

Использовать функцию MathCAD root,

Функция root может иметь два или четыре аргумента:

root( f (x), x) root( f (x), x, a,b)

f(x) – имя функции, задающей уравнение,

x–переменная, относительно которой решается уравнение

a, b – границы интервала локализации корня

Можно искать и вещественные, и мнимые корни

С помощью функции root найти все корни из ПРИМЕРА 1

Пример 2 (начало)

Дано алгебраическое уравнение x3 6x2 21x 52 0

Строим график функции

f(x)=x3-6x2+21x+52

Уравнение должно иметь 3 корня

Один корень вещественный, интервал изоляции [-2, 0]

Два корня комплексные