Стерлядкин В.В. Физика ч

47

Министерство образования РФ

Московская государственная академия приборостроения и информатики

Стерлядкин В.В.

Часть II “ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ”

Конспект лекций

Москва

2001

48

УДК 53

Утверждено Ученым советом МГАПИ

27 декабря 1999 г. в качестве учебного пособия

Рецензент – профессор, д.ф.-м.н. Горелик А.Г.

Учебное пособие предназначено для студентов, изучающих курс физики в течение 4-х семестров.

	49
2 часть курса физики.	Электричество и магнетизм

Введение

Тему “Электричество и магнетизм” можно разделить на 3 раздела:

1.Электростатика - изучает неподвижные заряды и связанные с ними электрические поля.

2.Постояный ток и магнетизм - изучает равномерно движущиеся заряды и созданные ими магнитные поля.

3.Электродинамика--изучает неравномерно движущиеся заряды и создаваемые при этом переменные электромагнитные поля.

Целесообразно в самом начале курса остановится на основных свойствах электрических и магнитных полей. В частности, важно знать, чем создаются поля и на что они действуют.

Электрическое поле создаётся зарядами (как неподвижными, так и движущимися), и действует электрическое поле на заряды.

Магнитное поле создаётся движущимися зарядами (или токами) и действует на движущиеся заряды или токи.

Интересные свойства имеются у переменных полей:

Изменение электрического поля приводит к возникновению магнитного поля, и наоборот, изменение магнитного поля приводит к появлению электрического поля. В результате возникают электромагнитные волны.

Настоящий курс “Электричество и магнетизм” посвящен детальному изучению перечисленных свойств электрических и магнитных полей.

Лекция 1. Электростатическое поле в вакууме

1.1. Атомистичность заряда. Закон сохранения заряда

Известно, что в природе существует два вида зарядов: положительные и отрицательные.

Одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются. (рис1.1).

Существует элементарный заряд, разделить который далее уже невозможно.

Любой произвольный заряд состоит из целого числа элементарных зарядов. Это свойство называют квантованием зарядов.

Величина элементарного заряда равна заряду протона e = 1.6 10-19 Кл. У электрона также заряд e , но только знак отрицателен.

(Бывают заряды : e, 2e, … , 93e, но не бывает 33,5e)

50

Опыт доказывает существование Закона сохранения заряда: суммарный электрический заряд изолированной системы тел не изменяется при любых процессах, происходящих в этой системе. (атомы могут развалиться на электроны и ионы, но в сумме заряд не изменится).

Примечание: Все в мире состоит из кирпичиков: атомы, фотоны (поле), (γ-кванты), кварки.

1.2. Закон Кулона. Электростатическое поле

Заряды называются точечными, если размеры заряженных тел намного меньше расстояний между телами.

В 1785г. Француз Огюст Кулон сформулировал закон:

Сила взаимодействия между точечными и неподвижными зарядами прямо пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль линии соединяющей эти заряды.

При этом одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягиваются.

F =	1			q1q2	(Закон Кулона в вакууме) (1.1)
	4πε			r2
12		o

Где εo = 8.85 10−12 Клм2 - электрическая постоянная.

Задача 1: Как изменятся силы F12 и F21, если: а) первый заряд будет в 2 раза больше? б) расстояние в 3 раза больше?

Ответ: Обе силы будут а) в 2 раза больше; б) в 9 раз меньше.

Заряды взаимодействуют за счет посредника — электрического поля. Первый заряд создает поле, наличие которого можно определить по его действию на второй заряд (пробный).

Различают два вида материи — вещество и поле (то и другое - объективная реальность).

Поле - это материальный носитель взаимодействия между телами (зарядами).

Электростатическое поле создается зарядами и обнаруживается по действию на заряды.

Примечание: В микромире элементарных частиц (R~10-10…10-16м) различие между полем и веществом стирается. Возможны переходы вещества в поле и обратно. Примером может служить аннигиляция. При взаимодействии электрона и позитрона они исчезают (аннигилируют), образуя два фотона. Возможен и обратный процесс возникновения вещества из поля.

Электромагнитное поле — это обмен фотонами (обменное взаимодействие).

51

1.3. Напряжённость электрического поля. Принцип суперпозиции полей. Силовые линии

Как характеризовать поле в точке А, (рис1.3)? Поскольку существование электрического поля обнаруживается по его действию на заряд, нам следует поместить в точку А пробный заряд qпр.

Казалось бы поле в точке А можно характеризовать силой F , которая будет действовать на этот заряд. Но различные люди могут поместить в точку А различные пробные заряды.

А на различные пробные заряды действуют различные силы: на заряд qпр — действует сила F

на заряд 2qпр — действует сила 2F

на заряд Nqпр — действует сила NF

Отношение этих величин F/qпр не зависит от qпр !

Значит F/qпр может характеризовать поле. Эту величину называют напряжённостью электрического поля.

Напряженность электрического поля E в некоторой точке – это вектор,

равный отношению силы F , действующей на пробный заряд qпр , к величине пробного заряда, , помещенного в данную точку.

r	F
E =		(1.2)
	q

Единица измерения: [Е] = Н/Кл = В/м , В – вольт.

Напряженность — силовая характеристика электрического поля. Направление вектора совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд. Ее физический смысл в том, что Е численно равна силе, действующей на единичный пробный заряд.

Задача 2: Найти напряженность поля, созданного точечным зарядом Q на расстоянии r, (рис1.4)

E =

F

=

1

Qqnp

1

=

1

Q

q

np

4πε

o

r2

q

np

4πε

o

r2

Если дана напряженность поля, E то на заряд q действует сила:

F = E q

Сила имеет то же направление, что и E, если заряд положителен q>0, (рис1.5),

И сила направлена противоположно вектору E, если заряд q отрицателен.

(1.3)

(1.4)

52

Основная задача электростатики — по заданному распределению зарядов в пространстве найти напряженность поля в каждой его точке.

Опыт показал справедливость принципа

суперпозиции:

Взаимодействие любой пары зарядов не зависит от наличия других зарядов, (рис. 1.6).

Следовательно, результирующая сила, действующая на пробный заряд, равна:

r

r

r

r

r

n

r

Fрез

= F1

+ F2

+ F3

+ ... + Fn

= ∑Fi

i=1

Соответственно с определением, напряженность в данной точке:

r

r

r

r

Fрез

F

+ F

+ ...

+ F

r

r

r

E

=

=

1

2

n

= E

+ E

+ ... + E

рез

2

n

qnp

qnp

1

Итак, напряженность электрического поля системы зарядов складывается

векторно из напряженностей создаваемых отдельными зарядами.
E = ∑Ei	(1.5)

Задача 3.Найти направление сил, действующих на каждых заряд. Заряды одинаковы, (рис1.6).

Ответ: результирующую силу, действующую на каждый заряд, находим как векторную сумму сил.

Электрический диполь — это система из двух равных по величине, но противоположных по знаку

электрических зарядов.

Расстояние между зарядами l называется плечом диполя.

Вектор l направлен от отрицательного заряда к положительному, (рис. 1.8).

r

Величина pe = q l называется электрическим дипольным моментом. Направлен дипольный момент от минуса к плюсу, (рис1.8).

r	1				2p	e
Eось	=						(1.6)
		4πε	o		r3

Задача 4: Найти поле диполя на оси диполя (рис. 1.9).

Решение: из рисунка 1.9 видно, что результирующее поле E имеет величину:

E = E

− E

=

q

−

q

=

q r2

− r2

≈

q 2r

l

=

2q

l

−

+

2

1

4πε

r2

4πε r2

4πε

o

r2

r2

4πε

o

r

4

4πε

r

3

o +

o −

+

−

o

53
где r+ и r- - расстояния от рассматриваемой	точки	до

положительного и отрицательного заряда, соответственно, и учтено, что при r+ и r-

>> l эти величины приближенно можно заменить на расстояние до центра диполя r. Если диполь pe поместить в электрическое поле,

напряжённостью E, то на заряды действует пара сил F1 и F2 , которая стремится развернуть вектор pe вдоль поля. При этом

r

возникает момент сил M = p× E. (рис. 1.10).

Силовыми линиями называются кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности электростатического

поля E.

Условились, что чем больше напряженность поля E, тем гуще изображаются силовые линии. (Силовых линий в природе нет, их рисуют для наглядности. Силовые линии начинаются на положительных зарядах, а заканчиваются на отрицательных или на бесконечности). (рис. 1.11).

Лекция 2. Теорема Остроградского-Гаусса

2.1. Поток вектора напряженности

Введём понятие вектора площадки dS, (рис. 2.1). Его величина равна площади dS, а направление перпендикулярно к плоскости площадки.

Если ввести единичный вектор n, перпендикулярный к площадке, то

r
dS = n dS, (рис. 2.1).
Элементарным потоком dФЕ вектора	E через участок
поверхности dS называется скалярное произведение:
dΦE = E dS = E dS cosα	(2.1)

Физический смысл потока вектора E через площадку dS — это число силовых линий, пронизывающих данную площадь.

Примеры:

а) Если вектор dS E. (При этом силовые линии скользят параллельно плоскости площадки и не пересекают её),

(рис. 2.3).

54

dΦ	E	= E dS cos90o = 0					(2.2)
Поток равен нулю.				r		r
		б) Если вектор		dS		E . (При этом силовые	линии
	перпендикулярны плоскости площадки, (рис.2.4).
		dΦ	E	= E dS cos0o = E dS			(2.3)
		Поток максимален.
		Если поверхность нельзя представить в виде
		элементарной площадки, тогда полный поток через
		поверхность S вычисляется в виде интеграла:
						r r
						ΦE = ∫(E dS)	(2.2)

S

Физический смысл ФЕ – это число силовых линий, пересекающих площадь S. Отметим, что если линии

вектора E на каком-то участке выходят из поверхности в туже сторону, что и вектор n, то поток будет положителен, если же векторы E и n “противоположны” (точнее угол между ними больше 90о), то поток на дальнем участке – отрицателен.

2.2. Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля в вакууме

Начнём с определения. Теорема Остроградского – Гаусса:

В вакууме поток вектора напряженности через

произвольную

замкнутую

поверхность

S

равен

алгебраической сумме зарядов, охваченных этой

поверхностью, деленной на εо, (рис2.6).

∫

r

r

∫

n

∑

(E dS)=

E

dS =

1

q

(2.5)

i

εo внут.S

S

S

Теорема Остроградского-Гаусса в вакууме. Следует иметь в виду, что обычно единичный вектор нормали n направляют наружу. В этом случае выходящие из поверхности линии дают поток со знаком (+),

а входящие внутрь линии дают поток со знаком (-).

Докажем Остроградского-Гаусса на примере точечного заряда. Окружим точечный заряд q воображаемой сферой радиуса r. Найдём общий поток ФЕ через эту сферу S, (рис 2.7).

Φ = ∫(r r )=∫E cos0o dS

E E dS

SS

55

Напряженность поля точечного заряда равна:

E = 1 q 4πεo r2

r

Поскольку модуль E = E не изменится на поверхности сферы, то величину Е

можно выносить за знак интеграла:

ΦE = E∫dS =	1 q			4πr2	=	q
	4πεo r2					εo
S

Для точечного заряда теорема Остроградского-Гаусса доказана, (рис2.7)

Можно показать, что для произвольной замкнутой поверхности поток будет тем же. На основе принципа суперпозиции теорема Гаусса легко обобщить на произвольное число зарядов и тем самым доказать (2.5) в общем случае.

2.3. Применение теоремы Остроградского – Гаусса к расчёту полей

	Линейная плотность заряда τ по определению равна:
	τ =	dq		(2.6)
		dl

Физический смысл τ — это заряд, приходящийся на единицу длины.

Поверхностная плотность заряда σ по определению равна:

	σ =	dq		(2.7)
		dS

Физический смысл σ - это заряд, приходящийся на единицу площади поверхности.

Задача 5. Найти электрическое поле вокруг бесконечного заряженного тонкого проводника. Линейная плотность заряда τ.

а) Рассмотрим, как направлена E? Из симметрии следует, что E перпендикулярна проводнику.

б) Используем Теорему Остроградского-Гаусса, где в качестве поверхности S возьмём воображаемый цилиндр, (Рис. 2.8)

	r r	1	∑q
	∫(E dS)=
		εo
	S

в) Рассчитаем суммарный поток через поверхность цилиндра, (рис. 2.8).

r	r	∫	r r	r r
∫(E dS)=			(E dS)+ ∫(E dS)=
S		торцы		бок
∫E cos0o dS + ∫E cos90o dS = E ∫dS = E 2πr l
торцы			бок	бок

56
г) Найдем заряд внутри поверхности S:	∑q = l τ
	внут.S

1

д) Подставляя в уравнение Гаусса, получим: E 2πr l = εo l τ, откуда находим напряженность электрического поля на расстоянии r от проводника.

E =			τ	- поле бесконечного линейного заряда.	(2.8)
	ε	o	2πr

Задача 6. Найти поле бесконечной однородной заряженной плоскости, если поверхностная плотность заряда σ.

а) Из симметрии получаем, что E перпендикулярен плоскости. Окружим часть плоскости цилиндром радиуса R, (рис. 2.9), и применим теорему Остроградского-Гаусса.

	r r	1
	∫(E dS)=		∑q
	S	εo

б) Найдём поток вектора Е через поверхность воображаемого цилиндра. Вследствие симметрии, потоки через каждый торец одинаковы, поэтому удваиваем поток через один торец:

r r	r r	r r	∫E cos0o dS +	∫E cos90o dS =
∫(E dS)=2	∫ (E dS)+	∫ (E dS)=
S	торец	бока	торец	бока

= 2E ∫dS = 2E πR2

торец

в) Находим заряд, оказавшийся внутри воображаемого цилиндра:

∑q =σπR2

внутр.

г) Подставляем результаты вычислений в уравнение Остроградского-Гаусса и

получаем: 2EπR2 =	1		σπR2 , откуда находим Е для заряженной плоскости:
	ε	o
			E =	σ			(2.9)
				2ε	o
Напряженность поля заряженной плоскости не зависит от
расстояния, (рис 2.10).

Для отрицательно заряженной плоскости картина будет той же, но направление силовых линий изменится на противоположное, (рис. 2.11).