Линейная алгебра и геометрия методичка

21

плоскости найдено ранее и имеет вид 7x+26y-8z-178=0.) Используя формулу расстояния от точки до плоскости, получаем

d =			7 7 + 26 10 −8 3 −178			=	107	.
			72 + 262 + (−8)2				789

(Отметим, что в одной из предыдущих задач длина высоты пирамиды была найдена другим способом.)

Определим точку K - проекцию точки D на грань ABC. Точка К - это точка пересечения высоты и плоскости АВС. (Их уравнения найдены ранее.) Тогда для определения координат точки К имеем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными

7x + 26y −8z −178 = 0,

x = 7 +14t,

y = 10 +52t,

z = 3 −16t.

Подставляя последние три соотношения в первое, получаем уравнение для определения значения параметра t, соответствующего точке пересечения.

7(7+14t)+26(10+52t)-8(3-16t)-178=0, 1578t+107=0, t = −1578107 .

Подставляя t в последние три соотношения системы, находим

координаты точки K.														107					4774			;
											x = 7 +14		−					=
																			789
														1578
			107				5108			;				107					3223			.
y = 10 +52		−				=					z = 3 −16	−						=
								789											789
			1578											1578
Ответ:		4774			5108				3223
	K			;				;			.
		789			789				789

Точка P - проекция точки D на ребро AB является точкой пересечения прямой АВ и плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно прямой АВ. Тогда нормальный вектор этой

→

плоскости N = AB ={-12;2;-4}. Уравнение плоскости имеет вид

-12(x-7)+2(y-10)-4(z-3)=0 или 6x-y+2z-38=0. Для прямой АВ имеем

x = 10 −12t;

следующее параметрическое уравнение y = 6 + 2t; .

z = 6 − 4t.

Определим точку пересечения прямой АВ и плоскости.

6x - y + 2z - 38 = 0;

x = 10 −12t;

y = 6 + 2t;z = 6 − 4t.

22

6(10-12t)-(6+2t)+2(6-4t)-38=0, 28-82t=0, t=																14	.
				14				242				14			274	41		14				190
Тогда x = 10 −12							=			,	y = 6 + 2			=		, x = 6 − 4				=			.
													41		41				41			41
			41				41
	242		274			190
Ответ: P		;			;				.
	41		41
							41

Задача 12. Решить систему линейных уравнений методом Крамера, методом Жордана-Гаусса и с помощью обратной матрицы.

x + y − z = −5,

3x − 2 y + 4z = 42,5x − 2 y − 3z = 8.

Решение методом Крамера. Напомним некоторые вопросы теории решения систем линейных уравнений. Вопросы теории мы будем излагать на примере системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, однако все изложенное верно и для систем более высокого порядка.

Системой трех линейных уравнений с тремя неизвестными (x,y,z) называется система уравнений вида:

a1 x +b1 y + c1z = h1 ,a2 x +b2 y +c2 z = h2 ,a3 x +b3 y + c3 z = h3 .

Матрицей системы называется матрица

	a		b
коэффициентов при неизвестных:		1	1
	A = a2		b2
			b3
	a3

А, составленная из

c1 c2 . c3

Определителем							системы		называется определитель		матрицы А
					a1	b1	c1	.
=		A		=	a2	b2	c2
					a3	b3	c3
									G	h
										1
Столбцом свободных h называется столбец вида: h										= h2	.
										h3

Если определитель системы не равен нулю Δ≠0, то система уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера:

x = x , y = y , z = z .

23

Где определитель

x получается из определителя системы путем

замены

столбца

коэффициентов

при

неизвестном x на столбец

свободных членов:

h1

b1

c1

.

x =

h2

b2

c2

h3

b3

c3

Аналогично

a1

h1

c1

,

a1

b1

h1

.

y =

a2

h2

c2

z

=

a2

b2

h2

a3

h3

c3

a3

b3

h3

x + y − z = −5,

− 2 y + 4z = 42,

Перейдем к решению системы 3x

5x − 2 y − 3z = 8.

1

−1

1

Определитель системы равен

=

3

− 2

4

=

5

− 2

− 3

=1

− 2

4

−1

3

4

+ (−1)

3

− 2

= (6 +8) − (−9 − 20) − (−6 +10) = 39 .

− 2 − 3

5

− 3

5

− 2

Определители

x ,

y ,

z

соответственно равны:

−5

1

−1

− 2

4

42

4

42

− 2

= 156 ,

=

42

− 2

4

= −5

−

1

−1

x

− 2

− 3

8

− 3

8

− 2

8

− 2

− 3

−5

−1

=

42

4

− (−5)

3

4

−

3

42

= −117 ,

1

3

42

4

1

1

y

8

− 3

5

− 3

5

8

5

8

− 3

1 1 −5

− 2 42

3 42

3 − 2

= 234 .

z

=

3

− 2

42

=

1

− 2

8

−

1

5

8

−5

5

− 2

5

− 2

8

156

y

117

234

= 4 , y=

= −3, z=

= 6 .

Получаем: x=

x

=

= −

z

=

39

39

39

Метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений.

Правило Крамера применимо лишь для решения таких систем, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, и определитель отличен от нуля. Более общим методом является метод Жордана-Гаусса.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

24

a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 ,a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 ,

am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm .

Матрица системы A - составленная из коэффициентов при неизвестных имеет размерность (m×n) :

a11	a12		an1
a21	a22		an2
A =				.
	am2
am1			amn

Расширенная матрица В имеет размерность (m×(n+1)) и получается присоединением к матрице системы А столбца свободных членов (для наглядности отделенного вертикальной чертой):

a	11	a	12	a	1n		b
							1
a21 a22 a2n							b2		. Расширенная матрица полностью определяет
B =
				amn
am1 am2							bm

систему уравнений.

Элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы назовем следующие действия:

а) перестановка местами двух строк (столбцов) матрицы; б) умножение любой строки (столбца) на любое число не равное нулю;

в) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца) умноженной на любое число; г) вычеркивание строки (столбца) , состоящей из одних нулей.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений назовем следующие действия:

а) перестановка местами двух уравнений системы; б) умножение любого уравнения системы на любое число, не равное нулю;

в) прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на некоторое число; г) вычеркивание уравнения, в котором все коэффициенты и свободный член равны нулю.

Элементарные преобразования переводят данную систему линейных уравнений в эквивалентную систему. Элементарным преобразованиям системы соответствуют аналогичные элементарные преобразования строк ее расширенной матрицы.

Суть метода Жордана-Гаусса решения системы линейных уравнений состоит в последовательном исключении неизвестных из

25

уравнений системы. На первом этапе исключается неизвестное x1 из всех уравнений системы, кроме первого. Применительно к расширенной матрице это означает, что с помощью элементарных преобразований строк получаем матрицу, в которой все элементы первого столбца, кроме a11 равны нулю. Этого можно добиться следующим образом:

- переставляем строки расширенной матрицы так, чтобы элемент a11 не был равен нулю (при решении систем с большим числом неизвестных предпочтительна такая перестановка строк, при которой элемент a11 оказывается наибольшим по абсолютной величине);

- из второй строки вычитаем первую, умноженную на

a21

;

a11

- из третьей строки вычитаем первую, умноженную на

a31

;

- аналогично поступаем с остальными строками.

a11

В итоге расширенная матрица примет вид:

a

11

a

12

a

1n

b

1

0

a′

a′

b′

22

2n

2

0

a

′

a

′

b′

m2

mn

m

Если среди элементов второго столбца a22′ ,a32′ ,...,am′2 найдется хотя бы один не равный нулю, то аналогичными элементарными преобразованиями строк, начиная со второй (первая строка не используется) добиваемся того, чтобы все элементы второго столбца, стоящие ниже второго элемента, были равны нулю. Если же a22′ = a32′ =...= am′2 = 0 , то перенумеруем неизвестные так, чтобы среди названных элементов нашелся ненулевой. (Перенумерации неизвестных соответствует перестановка столбцов расширенной матрицы).

Аналогичным образом добиваемся того, чтобы в третьем столбце все элементы, стоящие ниже третьего, были равны нулю и так далее.

Если в процессе элементарных преобразований получается

строка вида (0 0... 0	| di ), где di ≠0, то это соответствует уравнению
0x1 + 0x2 +...+0xn = di ,	которое не имеет решений и, следовательно,
система является несовместной.
Если в процессе элементарных преобразований получается
строка вида (0 0... 0	| 0 ), то ее вычеркиваем.

В общем случае в результате описанных элементарных преобразований получим расширенную матрицу вида:

c110ck1

							26
c	c	c		d	1
12	1k	1n
c22 c2k c2n				d2			, где c11 ≠ 0,c22 ≠ 0,...,ckk ≠ 0. .
ck 2 ckk ckn
				dk

Заметим, что k не обязательно равно m, поскольку некоторые строки в процессе элементарных преобразований могли стать нулевыми и были вычеркнуты.

Рассмотрим два возможных исхода.

1.k=n.

Вэтом случае последней строке расширенной матрицы

соответствует	уравнение:	cnn xn = dn , откуда xn =	dn	. Строке	с
			cnn
номером (n-1)	соответствует уравнение: cn−1,n−1 xn−1 + cn−1,n xn = dn−1 ,				из

которого при уже известном xn определяется xn−1 . Аналогично определяются остальные неизвестные, в этом случае (k=n) система линейных уравнений имеет единственное решение.

2.k<n.

В этом случае полагаем неизвестные xk +1 ,.... xn свободными, то есть, полагаем, что они могут принимать любые значения, а остальные выражаем через них.

Из последней строки расширенной матрицы имеем:

ckk xk + ck ,k +1 xk +1 +....+ckn xn = dk ,

откуда находим:

xk =	d	k	−	ck ,k +1	xk +1 −....−	c	kn	xn .
	ckk			ckk
						ckk

Аналогично с помощью (k-1) строки выражаем неизвестное xk −1 и так далее.

В качестве первого примера рассмотрим решение системы уравнений (ранее решенной по правилу Крамера).

x + y − z = −5,

3x − 2 y + 4z = 42,

5x − 2 y − 3z = 8.

Решение. Расширенная матрица имеет вид:

	1	1		−5
			−1
		− 2	4	42		. Умножим первую строку на 3 и вычтем из второй,
3
	5	− 2	− 3	8

умножим первую строку на 5 и вычтем из третьей, получаем

													27
	1	1		−5
			−1
																	7
	0	−5	7	57 . Умножаем вторую строку на														и вычитаем из
																	5
		− 7	2	33
	0
									1		−1			−5
						1
	третьей, получаем						0		−5		7			57		.
							0		0		−	39		−	234
											5			5
		Последняя строка расширенной матрицы соответствует
	уравнению −				39	z = −		234		. Решая его, получаем z=6.
					5
									5

Вторая строка расширенной матрицы соответствует уравнению -5y+7z=57. Подставляя z=6, получаем -5y +42=57. Тогда y=-3. Из первого уравнения, подставляя z=6, y=-3, получаем x=4.

Пример. Решить систему уравнений.

2x1 + x2 + x3 − x4 = 3,
	.
x1 + 3x2 + 3x4 = 1,
5x1 +5x2 + 2x3 + x4 = 5.

Решение. Расширенная матрица имеет вид:

		2	1		3
				1 −1
						. Умножим первую строку на	1	и вычтем из второй,
	1		3	0 3	1
							2
		5	5	2 1
					5

умножим первую строку на

	2	1	1								3
						−1
	0	5	−	1 7							−	1		. Вторую
		2		2 2								2
		5		1 7								5
	0		−								−
		2		2 2								2
	2	1	1			−1					3
		5		1 7								1
	0	2	− 2 2								−	2
	0	0	0			0					−	2

25 и вычтем из третьей, получаем

строку вычитаем из третьей, получаем.

Последняя строка расширенной матрицы соответствует уравнению0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = −2 . Это уравнение не имеет решений

и, следовательно, система несовместна. Пример. Решить систему уравнений:

28

					2x1 + x2 + 3x3 + x4 = 7,
					x1 + 3x3 − x4 = 3,
					x1 + 2x2 + x4 = 4,
					4x			1			+ 3x					2		+ 6x						3		+ x	4	= 14.
Расширенная матрица системы имеет вид:
2		1		3						1					7
	1	0		3					−1						3																1
																			. Умножим первую строку на													и вычтем из второй,
	1	2		0						1					4
																															2
	4	3		6						1
															14
умножим											первую															строку на			1	и вычтем	из третьей, умножим
																													2
первую строку на 2 и вычтем из четвертой, получаем:
2		1						3								1						7
	0	−		1				3							−			3				−		1
				2				2										2						2
		3								3						1						1				. Умножим вторую строку на (-3) и вычтем из
	0						−
		2								2						2						2
	0	1						0								−1						0

третьей, умножим вторую строку на (-2) и вычтем из четвертой, получаем:

2		1		3		1				7
	0	−	1	3		−	3			−			1
															. Третью строку вычитаем из четвертой.
			2	2			2						2
	0	0		3		− 4				−			1
	0	0		3		− 4				−			1
2		1		3		1				7
	0	−	1	3		−	3			1
															Четвертая строка нулевая, поэтому ее
			2	2			2			2
	0												.
		0		3		− 4				−1
	0	0		0		0				0

		2	1		3		1				7
				1	3			3				1		. Последняя строка
	вычеркиваем. Получаем: 0		−				−				−
				2	2			2				2
	0		0		3		− 4				−1

	расширенной								матрицы				соответствует					уравнению			3x3 − 4x4 = −1.
	Полагая x4 свободной неизвестной, находим x3 . x3 = −																		1	+		4	x4 . Вторая
																			3		3
	строка расширенной матрицы соответствует уравнению
	−	1	x2	+	3	x3 −	3	x4 = −		1	.	Определяем x2 .						Имеем	x2		= 1 + 3x3 − 3x4 .
							2			2
	2			2										1		4
	Подставляем x3 . x2									= 1 +		3	−		+		x4 − 3x4 = x4 . Из первого уравнения
														3		3
	системы 2x1 + x2								+ 3x3 + x4			= 7 получаем 2x1						= 7 − x2 − 3x3 − x4 ;

																	29
											1			4						; x1 = 4 − 3x4 .
2x1 = 7 − x4 −							3		−			+			x4		− x4 = 8 − 6x4
											3			3
Ответ:				x1		= 4 − 3x4 ;								x2		= x4 ; x3 = −		1	+		4	x4 ; x4 - свободная неизвестная.
																				3
																	3
Пример. Решить систему уравнений:
x1 + x2 + x3 + x4 = 4,
			+ 3x2			+ 4x3 + x4 = 10,
2x1																	. Расширенная матрица системы имеет вид
		+ 2x2 + 3x3 = 6,
x1
3x		1	+ 4x		2	+5x		3	+		2x		4	= 14.
	1		1	1		1		4
	2		3	4		1
							10				. Умножим первую строку на 2 и вычтем из второй,
	1		2	3		0		6
			4	5		2
3							14

первую строку вычтем из третьей, умножим первую строку на 3 и вычтем из четвертой, получаем:

	1	1	1	1			4
	0	1	2	−1
							2	. Вычитаем вторую строку из третьей и четвертой.
	0	1	2	−1
						2
		1	2	−1
0							2
	1	1	1	1			4
	0	1	2	−1
							2	. Удаляем две последние строки.
	0	0	0	0
							0
		0	0	0
0							0
	1	1	1	1			4	. Последняя строка соответствует уравнению
		1	2	−1
0							2

x2	+ 2x3 − x4 = 2 .	Неизвестные x3 ,		x4 полагаем	свободными. Тогда
x2	= 2 − 2x3 + x4 .	Из	первого	уравнения	системы следует
x1 + x2 + x3 + x4 = 4 ;			x1 = 4 − x2 − x3 − x4 = 4 − (2 − 2x3 + x4 ) − x3 − x4 ;
x1 = 2 + x3 − 2x4 .
Ответ: x1 = 2 + x3 − 2x4 ;			x2 = 2 − 2x3 + x4 ; x3 , x4 - свободные
неизвестные.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Прежде чем перейти к изложению метода напомним некоторые понятия.

Произведение матриц.

Произведение матриц АВ=С определено только тогда, когда число столбцов в первом множителе (матрица А) равно числу столбцов во втором множителе (матрица В). Результат произведения (матрица С) имеет столько строк, сколько у первого множителя

30

(матрицы А), число столбцов матрицы С равно числу столбцов у второго множителя (матрицы В). Ниже будет указан способ

вычисления	элементов матрицы С.
Пусть	A(aij ) размерности	(m × k) ,	B(bij ) - (k × n) . Тогда C(cij )
(С=АВ) имеет размерность		(m × n) .	Элементы матрицы cij

l=k

вычисляются по формуле cij = ∑ailblj = ai1b1 j + ai2b2 j +....+aik bkj .

l=1

(То есть элементы строки с номером i в первой матрицы умножаются на соответствующие элементы столбца с номером j во второй матрице и полученные произведения складываются.)

Рассмотрим пример.

2

0

1

3

4

Найти матрицу С=АВ, если

1

A =

2

, B

=

0 .

3

4

5

2

Поскольку

первый

множитель

имеет

две

строки,

а второй

два

столбца,

то

матрица С имеет

размерность (2 × 2) .

c

c

C =

11

12

.

Определим элементы матрицы С.

c21

c22

При вычислении c11 берем первую строку матрицы А - (2

0

1) и

3

первый

столбец

матрицы В

1 ,

почленно

перемножаем

и

5

складываем c11 =2 × 3+0 × 1+1 × 5=11.

Аналогично находим :

4

c12 . Первая строка А - (2 0 1), второй столбец В- 0 , тогда

2

c12 =2 × 4+0 × 0+1 × 2=10;

3

c21 . Вторая строка А - (3 2 4), первый столбец В - 1 , тогда

5

c21 =3 × 3+2 × 1+4 × 5=31;

4

c22 . Вторая строка А - (3 2 4), второй столбец В- 0 , тогда

2

c22 =3 × 4+2 × 0+4 × 2=20.

	11	10
Ответ: C =		.
31		20