Линейная алгебра и геометрия методичка

41

x= x1 cosϕ − y1 sinϕ ,

y= x1 sinϕ + y1 cosϕ .

Подставляя эти соотношения в уравнение линии и раскрыв скобки, получим уравнение вида:

A1 x12 + 2B1 x1 y1 + C1 y12 + D1 x1 + E1 y1 + F1 = 0 ,

где:

A1 = Acos2 ϕ + 2B cosϕ sinϕ + C sin2 ϕ ,

2B1 = −2 Acosϕ sinϕ + 2B(cos2 ϕ − sin2 ϕ) + 2C cosϕ sinϕ ,

A1 = Asin2 ϕ − 2B cosϕ sinϕ + C cos2 ϕ ,
D1 = D cosϕ + E sinϕ ,
E1 = −Dsinϕ + E cosϕ ,
F1 = F .
Отметим, что A1 + C1 = A + C , A1C1 − B1	2 = AC − B2 . (При вычислении

коэффициентов рекомендуется проверять выполнение этих соотношений.)

Из условия 2B1 = 0 получаем уравнение для определения угла ϕ.

− 2 Acosϕ sinϕ + 2B(cos2 ϕ − sin2 ϕ) + 2C cosϕ sinϕ = 0 .

Разделив его на 2 cos2 ϕ , получаем уравнение для определения tgϕ .

Btg2ϕ + ( A − C)tgϕ − B = 0 .

Заметим, что данное уравнение определяет два значения tgϕ , которые соответствуют двум взаимно перпендикулярным направлениям. Рекомендуется выбирать положительное значение

tgϕ . Тогда cosϕ =		1	, sinϕ =		tgϕ	.
		+ tg2ϕ
1			1		+ tg2ϕ

После подстановки соответствующего значения угла уравнение примет вид

41

42

A1 x12 + C1 y12 + D1 x1 + E1 y1 + F1 = 0 .

Рассмотрим	систему	координат
( X 2 O1Y2 ) , оси координат которой
параллельны	осям	системы

координат ( X1OY1 ) , а начало (точка

O1 ) в системе координат ( X1OY1 ) имеет координаты ( x0 , y0 ).

Связь между координатами точки М в указанных системах координат определяется формулами:

x1 = x2 + x0 , y1 = y2 + y0 .

Подставляя эти соотношения в уравнение линии и раскрыв скобки, получим уравнение вида:

	A2 x2 2 + C2 y2 2 + D2 x2 + E2 y2 + F2 = 0 ,
где	A2 = A1 ,					C2 = C1 ,		D2	= 2 A1 x0 + D1 ,	E2 = 2C1 y0 + E1 ,
F2 = A1 x0 2 + C1 y0 2 + D1 x0 + E1 y0 + F1 .
Если A1 ≠ 0 и C1 ≠ 0 ,						то выберем x0 , y0 из условия D2				= 0 , E2 = 0 . То
есть		D				E
	x0 = −	1		, y0	= −	1	.
		2 A				2C
			1			1
	Тогда уравнение можно представить в виде:
	A2 x2 2 + C2 y2 2 = H ,
где H = A1 x0			2 + C1 y0		2 − F1 . Это уравнение легко исследуется.
	Если один из коэффициентов								A1 или C1 равен нулю, то выбор

x0 , y0 осуществляется по следующей схеме. Пусть для

определенности

A1 =0. Считаем, что D1

≠ 0 . Значения x0

, y0

выберем

из условия E2

= 0 , F2

= 0 . То есть,

E

1

,

C y 2

− F

.

y0 = −

x0 =

1

0

1

2C

D

1

1

Тогда уравнение примет вид C2 y2

2

+ D2 x2 = 0 . Полученное уравнение

приводится к простейшему уравнению параболы.

E

(Замечание.

В

случае

A1 =0, D1

= 0 ,

полагая y0 = −

, x0 = 0 ,

1

2C

уравнение приводится к виду C2 y2

= 0 .)

1

2

+ F2

Задача 4. Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка 2x2 + 2 3xy = 3 , определить ее тип и сделать схематический рисунок.

В данном уравнении А=2, 2В= 2 3 , С=0, D=0, E=0, F=-3.

42

43

Уравнение для определения угла поворота системы координат

имеет вид		3tg2ϕ + 2tgϕ −				3 = 0 . Решая			квадратное уравнение,
получаем	tgϕ =	1		,	tgϕ = −	3 .		Выбирая	первое значение, имеем
		3
ϕ = π .							1
	Тогда				sinϕ =			,
6						2

cosϕ = 23 .

Всистеме координат

повернутой

на

угол

ϕ = π

6

уравнение

линии

примет

вид

3x1

2 − y1

2

= 3 .

Разделив правую и

левую

части

уравнения

на

3,

получим

x

2

y 2

= 1 .

Данное

1

−

1

2

(

3)

2

1

уравнение

является

каноническим уравнением гиперболы.

Задача 5. Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка x2 + xy + y2 = 3 , определить ее тип и сделать схематический рисунок.

В данном уравнении А=1, 2В=1, С=1, D=0, E=0, F=-3.

Уравнение для определения угла поворота системы координат

имеет

вид

tg2ϕ −1 = 0 . Решая

квадратное

уравнение,

получаем

tgϕ = 1,

tgϕ = −1.

Выбирая первое значение,

имеем

ϕ =

π . Тогда

1

1

4

π

sinϕ =

,

cosϕ =

. В системе координат повернутой на угол ϕ =

2

2

4

3

1

уравнение

линии примет

вид

x1

2

+

y1

2 = 3.

Разделив

правую

и

2

2

x

2

y

2

левую

части уравнения

на 3,

получим

= 1. Данное

1

+

1

2 2

( 6)2

уравнение является простейшим уравнением эллипса.

Задача 6. Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка 4x2 + y2 −8x − 4y −8 = 0 , определить ее тип и сделать схематический рисунок.

В данном уравнении А=4, 2В=0, С=1, D=-8, Е=-4, F=-8.

Поскольку коэффициент В равен нулю, то нет необходимости делать поворот осей координат. Как было уже указано, при переносе начала

43

44

системы координат в точку с координатами (x0 , y0 ) имеем следующие

соотношения: x = x1 + x0 , y = y1 + y0 .

Подставляя их в уравнение линии и раскрывая скобки, получаем

4x12 + y12 + (8x0 −8)x1 + (2 y0 − 4) y1 + (4x0 2 + y0 2 −8x0 − 4 y0 −8) = 0 .

Приравнивая нулю коэффициенты при x1 и y1 , получаем:

8x0 −8 = 0 ,

2 y0 − 4 = 0 .

Тогда	x0 = 1,	y0 = 2 .				Уравнение
примет	вид	4x1	2 + y1	2	= 16 .				Его
перепишем в		виде				x 2		y 2
						1	+	1	= 1.
						2		2
					2			4
Это	уравнение						является

простейшим уравнением эллипса.

Задача 7. Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка y2 + 4x −4 y −8 = 0 , определить ее тип и сделать схематический рисунок.

В данном уравнении А=0, 2В=0, С=1, D=4, Е=-4, F=-8.

Поскольку коэффициент В равен нулю, то нет необходимости делать поворот осей координат. Перенесем начало системы координат в точку с координатами (x0 , y0 ) . Между координатами точки в различных

системах	имеем	следующие
соотношения:		x = x1 + x0 ,
y = y1 + y0 .

Подставляя их в уравнение линии и раскрывая скобки, получаем

y12 + 4x1 + (2 y0 − 4) y1 + ( y0 2 + 4x0 − 4 y0 −8) = 0.

Из условия равенства нулю коэффициента при y1 получаем:

2 y0 − 4 = 0 , y0 = 2 .

Приравнивая нулю свободный член, получаем:

( y0 2 + 4x0 − 4 y0 −8) = 0 , x0 = 3 .

Уравнение примет вид y12 + 4x1 = 0 .

Это уравнение является простейшим уравнением параболы.

44

45

Литература

Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Высшая математика том 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Изд. 5 стереотип. «Дрофа» Москва 2003 г .

Н.В.Ефимов. Краткий курс аналитической геометрии. «Физматлит», Москва 2002 г.

Д.В.Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии. Изд. 17-е стереотип. «Профессия», Санкт-Петербург 2002 г.

Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Сборник задач по высшей математике. «Физматлит», Москва 2001 г.

45