Пределы функций. Точки разрыва функции

Определение 1. Переменная называетсяфункцией переменной , если по некоторому правилу или закону каждому значениюиз множестваставится в соответствие определенное значение.

Зависимость отобозначается как. Переменнаяназываетсяаргументом функции. Если одному значению отвечает одно определённое значение, то функцияназываетсяоднозначной, в противном случае – многозначной.

Например, - однозначная функция, а- многозначная функция.

Определение 2. Говорят, что функция имеет пределом числопри(или в точке), если для каждого числанайдётся такое число, что, лишь только.

При этом пишут:

Определение 3. Предел функции (если он существует) при стремленииксправа называетсяпределом функции справа и обозначается:

или .

Аналогично определяется предел функции слева и обозначается:

или .

При , где- конечное число, функция может иметь и бесконечный предел. При этом пишут:

или .

Определение 4. Функция непрерывна в точке , если выполняется условие:

. (16)

Если условие (16) не выполняется, то говорят, что в точке функция имеетразрыв.

Если разность - конечное число, то говорят оразрыве 1-го рода в точке .

Если эта разность бесконечна, то говорят о разрыве 2-го рода в точке .

Пример 1. Найти односторонние пределы функции в точке разрыва.

Указать вид точки разрыва, построить качественно график функции.

а) ; б).

Решение. А) Находим область определения функции:

.

Точка является точкой разрыва, в которойне существует.

Выясним поведение слева от значенияпри. Примем, гдеи. Тогда:

,

т.е. принимает сколь угодно большие отрицательные значения прислева.

Выясним поведение справа от значения. Имеем:

,

т.е. принимает сколь угодно большие положительные значения присправа.

Таким образом, при имеет разрыв 2-го рода.

Выясняем поведение при:

.

Таким образом, - вертикальная асимптота, а- горизонтальная асимптота. Качественно строим график (рис.1).

Рис.1

Б) Находим область определения функции:

Точка является точкой разрыва.

Выясним поведение слева от значенияпри. Примем, гдеи. Тогда:

,

т.е. принимает сколь угодно большие положительные значения прислева.

Выясним поведение справа от значения. Имеем:

,

т.е. принимает конечное значение 0 присправа.

Таким образом, функция в точкеимеет слева разрыв 2-го рода.

Выясняем поведение при:

.

Таким образом, - вертикальная асимптота, а- горизонтальная асимптота. Качественно строим график (рис.2).

Рис.2

Пример 2. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график.

Решение. Функция непрерывна в точке , если выполняется условие (16). Проверим выполнение этого условия внутри каждого из заданных участков:

а) ;,

б) ;,

в) ;,

Таким образом, внутри каждого из заданных участков функция непрерывна. Выясним непрерывностьна границах заданных участков, т.е. в точкахи. Для этого найдём значениеслева и справа от каждой из этих точек.

а) точка . Имеем:

;

,

т.е. в точке функциянепрерывна.

б) точка . Имеем:

;

,

т.е. в точке функцияимеет конечный разрыв (разрыв 1-го рода) (рис.3).

Рис.3